脈沖時滯Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的正周期解

汪東樹,王全義

(華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建泉州362021)

脈沖時滯Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的正周期解

汪東樹,王全義

(華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建泉州362021)

研究一類具有脈沖和分布時滯的非自治周期的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng).利用重合度理論,得到該系統(tǒng)存在正周期解的新結(jié)果.該結(jié)果表明,脈沖效應(yīng)對該系統(tǒng)正周期解存在性是有影響的.

Lo tka-Volterra競爭系統(tǒng);時滯;脈沖;周期解;重合度理論

生物種群系統(tǒng)的持續(xù)生存和正周期解的存在性都是重要的研究課題,歷來備受學(xué)術(shù)界關(guān)注,并取得了許多成果[1-5].文[2-3]分別研究了具分布時滯的兩種群競爭系統(tǒng),即

1 準(zhǔn)備知識

定義1 稱y(t)=(y1(t),y2(t))T是系統(tǒng)(3)的解.如果yi(t)∈([-T,+∞),(0,+∞)),i=1,2,滿足:(1)yi(t)(i=1,2)分別在區(qū)間(0,t1]和(tk,tk+1](k=1,2,…)上絕對連續(xù)的;(2)對任何tk,k=1, 2,…,yi(t+k)和yi(t-k)都存在且yi(t-k)=yi(tk),i=1,2;(3)yi(t)在[0,+∞)/{tk}上幾乎處處滿足系統(tǒng)(3),且tk是其第一類間斷點(k=1,2,…).

引入重合度理論及延拓引理[6].假設(shè)X,Z是賦范向量空間,L∶Dom L?X→Z為線性映射,N∶X→Z為連續(xù)映射.若dim Ker L=co dim Im L<+∞,且Im L為Z中閉子集,則稱L為指標(biāo)為零的Fredholm映射.如果L是指標(biāo)為零的Fredholm映射,而且存在連續(xù)投影P∶X→X,Q∶Z→Z,使得

則Lp?L|DomL∩KerP∶Dom L∩Ker P→Im L可逆.

設(shè)逆映射為KP,Ω為X中的有界開集,若QN∶ˉΩ→Z與KP(I-Q)N∶ˉΩ→X都是緊的,則稱N在ˉΩ上是L-緊的.由于Im Q與Ker L同構(gòu),因而存在同構(gòu)映射J∶Im Q→Ker L.

引理1[6]設(shè)X,Z,L,N如上定義,而且L是指標(biāo)為零的Fredholm映射.又設(shè)Ω為X中的有界開集,N在ˉΩ上是L-緊的.

假設(shè):(1)對任意的λ∈(0,1),方程L x=λN x的解滿足x??Ω(這里?Ω=ˉΩ/Ω);(2)對任意的x∈?Ω∩Ker L,QN x≠0;(3)Brouwer度deg{JQN,Ω∩Ker L,0}≠0,其中J,Q的定義如上.則有方程L x=N x在Dom L∩ˉΩ內(nèi)至少存在一個解.

2 正周期解存在性

定理1 在系統(tǒng)(3)中,若系數(shù)函數(shù)滿足且

易見,定理2,3的結(jié)果與文[2-3]中的主要結(jié)果是不相同的,不被文[2-3]中的主要結(jié)果所包括.

[1] WANGW,MA Z.Harm less delays for unifo rm persistence[J].J Math Anal App l,1991,158:256-268.

[2] L I Y,XU G.Periodic solutions fo r a distributed delay competition model[J].App l Anal,2001,78:55-61.

[3] L IXian-yi,ZHU De-ming.Global existence of positive periodic solutions fo r a distributed delay competition model [J].Acta Math App l Sini,2003,19(3):491-498.

[4] SA ITO Y.Permanence and global stability fo r general Lotka-Volterra p redato r p rey system sw ith distributed delays [J].Nonlinear Anal,2001,47:6157-6168.

[5] 汪東樹,王全義.一類具時滯和比率的擴(kuò)散系統(tǒng)正周期解[J].華僑大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2006,27(4):358-361.

[6] GA INESR E,MAWH IN J L.Coincidence degree and nonlinear differential equations[M].Berlin:Sp ringer-Verlag, 1977:40-60.

WANG Dong-shu,WANG Quan-yi
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

In this paper,a Lotka-Volterra competition system w ith impulses and delays is investigated.By meansof coincidence degree theory and some analysis techniques,weobtain a new resulton the existenceof positive periodic solutions to the system,w hich show s that impact of impulsive effects on existence of positive periodic to the system.

delay;impulse;positive periodic solution;coincidence degree theo ry

O 175.6

A

(責(zé)任編輯:陳志賢 英文審校:張金順,黃心中)

1000-5013(2010)05-0590-07

2009-05-23

汪東樹(1981-),男,講師,主要從事常微分及泛函微分方程的研究.E-mail:wangds@hqu.edu.cn.

國務(wù)院僑辦科研基金資助項目(07QZR09,09QZR10);福建省自然科學(xué)基金資助項目(Z0511026)