單葉調(diào)和函數(shù)及其反函數(shù)為調(diào)和擬共形的充要條件

胡春英,黃心中

(華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建泉州362021)

單葉調(diào)和函數(shù)及其反函數(shù)為調(diào)和擬共形的充要條件

胡春英,黃心中

(華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建泉州362021)

研究平面上具有形式f(z)=A[αz+β+log(1-exp(-αz-β))-log(1-exp(-αz-β))]+B的保向單葉調(diào)和映照,其中A,B,α,β是常數(shù)且滿足條件A≠0,α≠0.給出了定義在橢圓和上半平面上的單葉調(diào)和函數(shù)及其反函數(shù)都是調(diào)和擬共形映照的充要條件,并推廣到一般的單連通區(qū)域上.

單葉調(diào)和函數(shù);擬共形映照;復(fù)特征;調(diào)和擬共形映照

1 預(yù)備知識(shí)

一個(gè)復(fù)值函數(shù)f(z)=u+i v在平面區(qū)域D上調(diào)和是指u,v在區(qū)域D上實(shí)調(diào)和.如果D是一個(gè)單連通區(qū)域,則f可寫為f(z)=h(z)+g(z),其中h,g為解析函數(shù).Lew y[1]給出了f局部單葉且保向的充要條件為Jf=|h′|2-|g′|2>0,z∈D.文[2]證明了如下定理.

定理A 假設(shè)f(z)=h(z)+g(z)是一個(gè)單連通區(qū)域D上的保向單葉調(diào)和映照,則其反函數(shù)z= f-1(w)在G=f(D)內(nèi)調(diào)和當(dāng)且僅當(dāng)下列3種情形之一成立:(Ⅰ)f(z)在D內(nèi)共形;(Ⅱ)f(z)是仿射變換,即f(z)=αz+βˉz+B,|α|>|β|>0;(Ⅲ)f(z)具有形式為

式(1)中:A,B,α,β是常數(shù)且滿足條件Re(αz+β)>0,z∈D.

單葉調(diào)和函數(shù)何時(shí)為單葉調(diào)和擬共形映照是一個(gè)研究熱點(diǎn).Pavlovic′[3-4]研究了單位圓和上半平面上的單葉調(diào)和函數(shù)為擬共形映照的條件,文[5]中也給出了單位圓到自身上的調(diào)和同胚為調(diào)和擬共形同胚的條件.本文研究單葉調(diào)和映照及其反函數(shù)都是調(diào)和擬共形映照的條件.定理A的結(jié)果表明,只需對(duì)具有形式(1)的情形加以研究.

2 主要結(jié)果和證明

3 一般區(qū)域上的情形

定理3 設(shè)D為有界單連通開(kāi)區(qū)域,其邊界為?D∶φ(x,y)=0,且φ∈C1.f是定義在D上的保向單葉調(diào)和映照,且具有式(1)的形式,則f的反函數(shù)是調(diào)和擬共形映照的充要條件,存在一個(gè)實(shí)常數(shù)c> 0,使得對(duì)任何滿足方程

的z＊,有Re(αz＊+β)≥c.

證明 因D為有界單連通開(kāi)區(qū)域,則￣D為有界單連通閉區(qū)域,所以Re(αz+β)必在邊界?D上取到最小值.由拉格朗日乘數(shù)法,設(shè)

又因?yàn)闈M足方程組(9)的點(diǎn)z＊∈?D,所以有Re(αz＊+β)≥c.

當(dāng)D為無(wú)界單連通開(kāi)區(qū)域時(shí),類似于定理3的證明可得到如下定理.

定理4 設(shè)D為無(wú)界單連通開(kāi)區(qū)域,其邊界為?D∶φ(x,y)=0,且φ∈C1.f是定義在D上的保向單葉調(diào)和映照,且具有式(1)的形式,則f的反函數(shù)是調(diào)和擬共形映照的充要條件,存在一個(gè)實(shí)常數(shù)c> 0,使得α,β滿足以下兩個(gè)條件.

(1)對(duì)任何滿足方程

又因?yàn)闈M足方程組(9)的點(diǎn)z＊∈?D,所以有Re(αz＊+β)≥c.在上述4個(gè)定理中,若令c=0,則可得到函數(shù)f及其反函數(shù)都是調(diào)和映照的充要條件.

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[2] 張兆功,劉禮泉.單葉調(diào)和映照的反函數(shù)[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,1996,25(3):270-276.

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[5] 黃心中.單位圓盤上的調(diào)和擬共形同胚[J].數(shù)學(xué)年刊:A輯,2008,29(4):519-524.

Necessary and Sufficien t Condition that Un ivalen t Harmon ic Functionsand Their Inverse Functions are Harmon ic Quasiconformal Mappings

HU Chun-ying,HUANG Xin-zhong
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

Plannar sense-p reserving univalent harmonic functions w ith the form f(z)=A[αz+β+log(1-exp(-αzβ))-log(1-exp(-αz-β))]+B,are considered,w here A,B,α,βare constantsw ith the condition A≠0,α≠0.Necessary and sufficient condition fo r such harmonic functions defined ellip tic domain or on the upper half p lane and their inverse functions to be harmonic quasiconformalmappingsareobtained.Ourmethodsalso can be app lied to the general simp ly connect domains.

univalent harmonic functions;quasiconformalmappings;comp lex dilatation;harmonic quasiconfo rmal mappings

O 174.51

A

(責(zé)任編輯:陳志賢 英文審校:張金順,黃心中)

1000-5013(2010)05-0586-04

2009-05-21

胡春英(1979-),男,講師,主要從事函數(shù)論的研究.E-mail:huchunying@sina.com.

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2008J0195);華僑大學(xué)科研基金資助項(xiàng)目(09HZR23)