Boussinesq類方程描述有限沙壩地形Bragg反射的性能比較

張俊，張日向，張永剛

（1. 大連理工大學(xué)海岸及近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116023；2. 海軍大連艦艇學(xué)院軍事海洋系，遼寧 大連 116018）

Boussinesq類方程描述有限沙壩地形Bragg反射的性能比較

張俊1，張日向1，張永剛2

（1. 大連理工大學(xué)海岸及近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116023；2. 海軍大連艦艇學(xué)院軍事海洋系，遼寧 大連 116018）

利用Boussinesq方程，采用線性攝動(dòng)展開(kāi)法，求解波浪正向通過(guò)有限沙壩地形的一階反射波解，研究比較Boussinesq類方程描述沙壩地形對(duì)波浪的反射作用的性能。通過(guò)研究反射系數(shù)并與勢(shì)流理論結(jié)果及實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，發(fā)現(xiàn)：鄒志利的高階方程、張永剛及Madsen的方程適用的水深范圍較廣，而Nwogu和Peregrine的方程僅在共振點(diǎn)附近有效；當(dāng)入射波的波長(zhǎng)為沙壩波長(zhǎng)兩倍時(shí)，反射波產(chǎn)生共振效應(yīng)（即Bragg 反射），反射系數(shù)與沙壩振幅和水深的比值以及地形中沙壩的條數(shù)成正比；相對(duì)勢(shì)流理論的共振時(shí)的反射系數(shù)，以張永剛為代表的一系列Boussinesq方程色散精度越高，適用水深范圍越廣，而高階方程適用的水深很淺。

Boussinesq類方程；有限沙壩；線性攝動(dòng)展開(kāi)；一階反射波解； Bragg 反射

Boussinesq方程能夠用于模擬表面重力波傳播過(guò)程中的折射、繞射、反射及淺化，非線性作用等現(xiàn)象。為改善經(jīng)典Boussinesq方程的色散性和非線性，許多科學(xué)工作者提出了一系列改善色散性的技術(shù)和高階方程，形成Boussinesq類方程[1]。致力于改善線性色散性具有代表性的是張永剛等[2]采用不同的兩個(gè)水深層水平速度變量組合導(dǎo)出的新型Boussinesq方程，選擇方程中的速度變量，該方程代表一系列不同型式的Boussinesq方程，例如Peregrine[3]、Madsen[4]及Nwogu[5]的方程。對(duì)于高階方程，有代表性的有Madsen等[6]精確到的方程及鄒志利[7]適應(yīng)任意海底地形的非線性和色散性精確到的方程。

近海岸附近通常存在數(shù)條周期變化的呈一定間距的規(guī)則沙壩。關(guān)于沙壩的形成機(jī)理及其與波浪的相互作用，最先是二戰(zhàn)盟軍諾曼底登陸時(shí)提出該課題，Keulegan通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)平底沙灘上，在長(zhǎng)期的正弦波浪入射下，會(huì)沿著波浪破碎線形成一些周期的沙壩[8]。Davies[9]基于勢(shì)流理論，利用線性攝動(dòng)展開(kāi)法求解得波浪通過(guò)有限正弦沙壩地形的遠(yuǎn)場(chǎng)理論波解，發(fā)現(xiàn)當(dāng)入射波的波長(zhǎng)為沙壩波長(zhǎng)的兩倍時(shí)，反射波將會(huì)發(fā)生共振，即Bragg 反射，并給出反射波共振時(shí)的反射系數(shù)公式。該結(jié)論隨后由Heathershaw[10]及Davies[11]的實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，并引發(fā)了人們利用人造沙壩來(lái)保護(hù)岸線的思路。

由于近岸通常是淺水條件，Boussinesq方程具有較好的適應(yīng)性。本文利用Bossinesq類方程中的幾個(gè)代表方程，忽略底部摩擦及波浪傳播過(guò)程中的能量損失，采用線性攝動(dòng)展開(kāi)法求解出沙壩地形引起的反射波解，給出Bragg反射發(fā)生時(shí)的反射系數(shù)公式。將上述Boussinesq類方程描述Bragg反射的結(jié)果與Davies 勢(shì)流理論結(jié)果及Heathershaw的實(shí)驗(yàn)結(jié)果作對(duì)比，發(fā)現(xiàn)不同Boussinesq方程描述沙壩對(duì)波浪的反射效應(yīng)的性能有差異，為選用Bossinesq方程研究Bragg反射提供理論依據(jù)。

1 有限沙壩地形

圖1 有限沙壩的輪廓圖Fig. 1 Profile of finite sandbar topography

2 Boussinesq類方程中的代表方程

張永剛等[2]采用兩個(gè)水深層水平速度變量組合導(dǎo)出的新型Boussinesq方程的一階線性形式如下：

鄒志利[7]適用于任意海底地形的新型高階方程，方程的色散性近似到O(μ4)階，其一維線性形式如下：

3 Bragg反射問(wèn)題求解

以張永剛等的Boussinesq方程為例，采用攝動(dòng)法求解波浪通過(guò)有限沙壩地形的反射波解。

零階方程組:

一階方程組:

零階方程組(3.1)描述平底時(shí)波浪的傳播；一階方程組(3.2)反映緩慢變化地形對(duì)波浪傳播的作用。

3.1 零階方程的波解

同時(shí)有：

3.2 一階方程的波解

3.2.1 一階方程傅立葉變換（變量x） 由傅立葉變換定義，方程組(3.2)變換為：

聯(lián)立方程組,消去uα1、uβ1，有：

式(3.9?3.10)中：

對(duì)方程(3.10)進(jìn)行傅立葉逆變換，得到一階波面升高：

3.2.2 無(wú)窮積分 無(wú)窮積分式(3.13)可記為：

式(3.14)中各項(xiàng)關(guān)于變量λ的無(wú)窮積分被積表達(dá)式可表示為（C=x或者和Qiλ分別5次和7次多項(xiàng)式。該類積分可以通過(guò)圍道積分來(lái)實(shí)現(xiàn)。的三個(gè)實(shí)根將對(duì)應(yīng)沙壩地形上的周期波解，而虛根對(duì)非傳播態(tài)的波解有貢獻(xiàn)。由于非傳播態(tài)波解隨傳播距離快速衰減，這里不予考慮。利用留數(shù)定理有[13]，C＞0時(shí)，有：

可以證明，C＜0時(shí)，有：

式(3.16)證明從略。

根據(jù)留數(shù)定義，有：

給出x＜0側(cè)的反射波波面升高如下：

定義反射系數(shù)為反射波波幅與入射波波幅比值，得到反射系數(shù)為：

同理，利用鄒志利的高階方程求解出描述有限沙壩Bragg反射的反射系數(shù)公式，形式同上，結(jié)果略。

4 結(jié)果分析與驗(yàn)證

由式(3.20)及(3.21)可見(jiàn)：反射系數(shù)和沙壩振幅同水深的比值成正比；入射波與沙壩波長(zhǎng)滿足時(shí)，反射波發(fā)生共振，此時(shí)，反射系數(shù)與沙壩地形包含單位沙壩條數(shù)成正比。

Davies[9]給出水平海床上含有數(shù)條小波幅的沙壩時(shí)的反射系數(shù)公式：

圖2給出本文由不同形式的Boussinesq方程求解的有限沙壩共振系數(shù)（式(3.21)）與相對(duì)水深的變化關(guān)系，并與式(4.2)的Davies結(jié)果對(duì)比。圖中假設(shè)，地形中的沙壩條數(shù)m=10，入射波長(zhǎng)等于兩倍沙壩波長(zhǎng)。

由圖2可見(jiàn)，Davies勢(shì)流理論求解的反射波發(fā)生共振時(shí)的反射系數(shù)隨相對(duì)水深增大而減小，相對(duì)水深達(dá)到0.6時(shí)，反射系數(shù)接近零。相對(duì)勢(shì)流理論的結(jié)果，本文選用的以張永剛等人的方程為代表的Boussinesq方程，線性頻散精度越高，在描述Bragg反射時(shí)適用相對(duì)水深范圍越大：Peregine方程在0.15倍波長(zhǎng)水深范圍內(nèi)與勢(shì)流理論結(jié)果誤差控制在5%，隨相對(duì)水深增大，反射系數(shù)相對(duì)勢(shì)流理論結(jié)果偏?。徽`差控制在5%時(shí)，Madsen方程適用相對(duì)水深范圍為0.25，Nwogu方程達(dá)到0.33，張永剛等的方程能達(dá)到0.47，且三者的反射系數(shù)均隨相對(duì)水深增大而偏大；而本文選用的高階方程雖然色散精度達(dá)到0(μ)4，但描述Bragg 反射的反射系數(shù)時(shí)，適用水深很淺，相對(duì)水深在0.1以內(nèi)時(shí)誤差控制在3%，隨相對(duì)水深增大，相對(duì)勢(shì)流理論結(jié)果偏大。

圖2 發(fā)生共振時(shí)，本文選用的五個(gè)Boussinseq方程計(jì)算的反射系數(shù)與Davies勢(shì)流理論的結(jié)果的比較Fig. 2 Comparison of reflection coefficient when oscillation

為驗(yàn)證Davies[9]勢(shì)流理論結(jié)果，Heathershaw[10]在Coastal Engineering Research Center, Virginia進(jìn)行了物理模型試驗(yàn)。在水槽中設(shè)置振幅b=0.05m,條數(shù)m=10，波長(zhǎng)的剛性正弦沙壩，沙壩與水深比值。通過(guò)調(diào)整入射波波長(zhǎng)L，在范圍內(nèi)給出實(shí)測(cè)反射系數(shù)。

圖3給出在該實(shí)驗(yàn)參數(shù)下，本文選用的Boussinesq方程計(jì)算結(jié)果(式(3.20))與由式(4.1)計(jì)算的Davies[9]理論結(jié)果以及Heathershaw[10]實(shí)驗(yàn)結(jié)果的關(guān)于反射系數(shù)隨的變化關(guān)系的對(duì)比。

由圖3可見(jiàn)，在該實(shí)驗(yàn)參數(shù)下，2k/ kd在(0,1.2)范圍內(nèi)（即入射波長(zhǎng)與沙壩波長(zhǎng)滿足L＞1.67Ld）時(shí)，由鄒志利、張永剛等及Madsen方程計(jì)算的結(jié)果與Davies勢(shì)流理論得到的結(jié)果一致吻合，但隨著入射波長(zhǎng)減小，即相對(duì)水深增大，Boussinesq方程的結(jié)果呈周期振蕩并逐漸增大，與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)背離；Peregrine和Nwogu的方程僅在共振點(diǎn)附近與勢(shì)流理論比較吻合，淺水時(shí)結(jié)果偏小，而在水深較大時(shí)結(jié)果振蕩并偏大，與實(shí)際不符。需要指出的是，該實(shí)驗(yàn)中,共振點(diǎn)處的相對(duì)水深為，高階方程的計(jì)算結(jié)果偏大，而Peregrine的結(jié)果偏小，這與圖2的結(jié)論是吻合的。另外，入射波長(zhǎng)與沙壩波長(zhǎng)滿足時(shí)，鄒志利、張永剛等及Madsen的方程的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果趨勢(shì)一致，基本吻合，但是在共振點(diǎn)處Boussinesq方程的結(jié)果偏大。

圖3 本文選用的五個(gè)Boussinesq方程的計(jì)算結(jié)果與Davies理論結(jié)果及Heathershaw實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比Fig. 3 Comparison of Davies’ Potential Theory result and Heathershaw’s experiment result about Reflection Coefficient with several Boussinesq equations.

5 結(jié) 論

本文采用線性攝動(dòng)展開(kāi)法，導(dǎo)出基于一組Boussinesq類方程的波浪通過(guò)含有數(shù)條沙壩地形時(shí)的反射波面升高，通過(guò)研究其反射系數(shù)并與勢(shì)流理論結(jié)果及實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)：

1、當(dāng)入射波的波長(zhǎng)等于沙壩波長(zhǎng)的兩倍時(shí)，反射波發(fā)生Bragg反射；此時(shí)，反射系數(shù)與沙壩振幅和水深的比值、沙壩地形中沙壩的條數(shù)成正比。

2、Boussinesq方程描述沙壩地形對(duì)波浪的反射作用時(shí)，本文所選取的五個(gè)方程中鄒志利的高階方程、張永剛及Madsen的方程適用的水深范圍較廣，而Nwogu和Peregrine的方程僅在共振點(diǎn)附近有效；當(dāng)時(shí)，高階方程適用水深范圍最淺（0.1倍波長(zhǎng)水深范圍內(nèi)相對(duì)勢(shì)流理論的反射系數(shù)誤差控制在2%），其他方程色散精度越高適用水深范圍越廣（反射系數(shù)誤差控制在5%時(shí)，Peregrine、Madsen、Nwogu及張永剛等的方程適用相對(duì)水深范圍分別為0.15，0.25，0.33，0.47）。

附錄A

致謝：感謝威爾士大學(xué)的A G Davies教授提供相關(guān)文獻(xiàn)資料及關(guān)于圍道積分的建議及大連理工大學(xué)倪漢根教授的關(guān)于圍道積分的幫助。

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Comparison among several Boussinesq-type equations about the character of describing Bragg resonance

ZHANG Jun1, ZHANG Ri-xiang1, ZHANG Yong-gang2
（1. State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China；2. Department of Military Oceanography, Dalian Naval Academy, Dalian 116018, China）

In order to make a comparison of the character of the Boussinesq-type equations when these equations are used to describe the Bragg resonance, this paper utilized Linear Perturbation Method on the basis of several types of Boussinesq equations to derive the first order reflection wave solution. Through focusing on the reflection coefficient and making comparisons with both Potential flow theory and experiment data, it demonstrated that Zou Zhili’s higher order equation, the equations of Zhang Yonggang and Madsen are appropriate for a wide range of relative water depth,by contrast, Nwogu’s and Peregrine’s are only available in the vicinity of L=2Ld. For the special cases, where the Bragg Resonance occurs, the reflection coefficient is proportional to both the ratio of amplitude of sandbar to the water depth and to the number of bars; in addition, for these Boussinesq-type equations interpreted by Zhang Yonggang, the one with higher precision of the linear dispersion is applicable to wider range of relative water depth, while the higher order equations of Zou Zhili are only appropriate for the relatively shallow water.

Boussinesq-type equations; finite sandbar; linear perturbation method; first order reflection wave;Bragg resonance

TV139.2

A

1001-6932(2010)02-0295-07

2009-09-14；

2009-10-19

張俊(1984－)，男，碩士，主要從事近岸水動(dòng)力研究。電子郵箱：zhangjun.dlut@gmail.com