23階及32階群的結(jié)構(gòu)

何 美，劉小川

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009）

23階及32階群的結(jié)構(gòu)

何 美，劉小川

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009）

通過有限群中元素的階與群的階的關(guān)系，利用有限群的定義討論了23階及32階群的結(jié)構(gòu)，在同構(gòu)的意義下給出所有的23、32階群.

有限群定義 置換群 循環(huán)群

1 符號意義

＜a＞表示由a生成的循環(huán)群.Sn表示n元置換群，其中元素用（i1,i2,…,ik）表示，其中i1，i2，…，ik是1到n的自然數(shù).元素a的階用o(a)表示，群G的階用｜G｜表示.

2 理論基礎(chǔ)

定義1如果一個帶有一種二元運算·的有限集合G滿足以下條件：

1）二元運算·(也叫乘法)滿足結(jié)合律；2）二元運算·滿足消去律.

則稱集合G對于這個二元運算是一個有限群.

定義2如果一個帶有一種二元運算·的有限集合G滿足以下條件：

3）二元運算·（也叫乘法）滿足結(jié)合律；

4）在代數(shù)運算表中，同一行、同一列中沒有相同元素.則稱集合G對于這個二元運算是一個有限群.定理1在有限群中，元素的階是所在群的階的因子.

定理2任意一個有限群都與一個置換群同構(gòu).

3 階為23的群

｜G｜＝8

3.1 循環(huán)群

如果G中存在一個8階元素，則G與G0＝＜（1，2，3，4，5，6，7，8）＞同構(gòu).

3.2 非循環(huán)群

如果G中不存在8階元素，則G中任意非單位元的元一定是2階或4階的.

如果存在a∈G，且o（a）＝4，則H＝｛1，a，a2，a3｝是G的子群.?b∈G，b∈H，有Hb＝｛b，ab，a2b，a3b｝是G的子集，且H∩Hb＝Φ，H∪Hb＝G.

1)如果o（b）＝2，b2＝1，ba＝ab，則由如下運算表1:

表1 有2、4階元素可換8階群的運算表

于是得G與置換群G1＝｛（1），（1，2，3，4），（1，3）（2，4），（1，4，3，2），（1，3）（2，4）（5，6），（1，4，3，2）（5，6），（5，6），（1，2，3，4）（5，6）｝同構(gòu).

2)如果o（b）＝2，b2＝1，ba＝a3b，則由群的定義有以下運算,見表2：

表2 有2、4階元素不可換8階群的運算表

于是得G與置換群G2＝｛（1），（1，2，3，4），（1，3）（2，4），（1，4，3，2），（1，2）（3，4），（2，4），（1，4）（2，3），（1，3）｝同構(gòu).

3)如果o（b）＝2，b2＝1，ba＝a2b，則由群的定義的封閉性有以下運算：

ba2b＝（ba）（ab）＝a2bab＝a2（ba）b＝a2a2bb＝1，得 a2b＝b，這是不可能的，所以不存在這樣的8階群.

4)如果G中存在兩個4階元a，b，且a4＝1，b2＝a2，ba＝a3b，由群的定義有以下運算表3：

表3 有兩個4階元素的8階群的運算表

于是，G與四元數(shù)群 G3＝｛（1），（1，2，3，4）（5，8，7，6），（1，3）（2，4）（5，7）（6，8），（1，4，3，2）（5，6，7，8），（1，5，3，7）（2，6，4，8），（1，6，3，8）（2，7，4，5），（1，7，3，5）（2，8，4，6），（1，8，3，6）（2，5，4，7）｝同構(gòu).

5)如果G中存在兩個4階元a，b，且a4＝1，b2＝a2，ba＝a2b，由群的定義的封閉性有以下運算：（ba）2＝（ba）（ba）＝a2bba＝a2b2a＝a≠1，（ba）4＝（ba）2（ba）2＝a2≠1，這是不可能的，所以不存在這樣的8階群.

6)如果G中存在兩個4階元a，b，且a4＝1，b2＝a2，ba＝ab，則（ab）2＝1，即ab是2階元素，且是可交換的，于是的G與G1同構(gòu).

3.3 無4階元素群

如果G中不存在8、4階元素，則G中任意非單位元的元一定是2階的，從而得到群G一定是交換群.

設(shè)有三個不等的二階元素a，b，c，則a2＝1，b2＝1，c2＝1，ba＝ab，ca＝ac，cb＝bc，由群的定義有以下運算表4：

從而得G與置換群G4＝｛（1），（1，2），（3，4），（5，6），（1，2）（3，4），（1，2）（5，6），（3，4）（5，6），（1，2）（3，4）（5，6）｝同構(gòu).

于是得到，8階群共有5個，即為G0，G1，G2，G3，G4.

表4 無8、4階元素的8階群的運算表

4 階數(shù)為32的群

｜G｜＝9

4.1 9 階循環(huán)群

如果 G中存在一個 9階元素，則 G＝＜（1，2，3，4，5，6，7，8，9）＞.

4.2 9 階非循環(huán)群

如果G中不存在9階元素，則G中任意非單位元的元一定是3階的.

設(shè)a，b是兩個不同的3階元，則a3＝1，b3＝1，H1＝｛1，a，a2｝、H2＝｛1，b，b2｝是G的子群，且H1∩H2＝｛1｝，于是，G＝｛1，a，a2，b，b2，ab，a2b，ab2，a2b2｝，而且ba＝ab，否則，若ba＝a2b，則（ba）3＝（ba）（ba）（ba）＝（ba）（ba）（a2b）＝bab2＝a2bb2＝a2≠1；

若ba＝ab2，則（ba）3＝（ba）（ba）（ba）＝（ab2）（ba）（ba）＝a2ba＝a2ab2＝b2≠1；

若ba＝a2b2，則（ba）3＝（ba）（ba）（ba）＝（ba）（ba）（a2b2）＝baba3b2＝ba≠1；

所以ab＝ba.于是有如下運算表5：

所以，G與置換群G＝｛（1），（1，2，3），（1，3，2），（4，5，6），（4，6，5），（1，2，3）（4，5，6），（1，3，2）（4，5，6），（1，2，3）（4，6，5），（1，3，2）（4，6，5）｝同構(gòu).

于是得到，9階群都是Abel群，共有兩個.

表5 非循環(huán)9階群的運算表

[1]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]林大華.關(guān)于群的方次數(shù)的若干結(jié)果[J].閩江學(xué)院學(xué)報,2009,30(2):5-7.

[3]林大華.關(guān)于周期群的若干結(jié)論[J].閩江學(xué)院學(xué)報,2008,29(2):13-15.

[4]Cepulic V.On finite2-groupsallofwhose subgroups are mutually isomorphic[J].Science in China SeriesA:Mathematics,2009,52(2): 254-260.

[5]張荔,薛海波.可表示成3個真子群并的群[J].太原師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,7(3):43-44.

[6]曾利江.n次對稱群子同構(gòu)的構(gòu)造[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報,2009,35(1):25-28.

[7]王萼芳.有限群論基礎(chǔ)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1987.

[8]張景曉.pq階群的結(jié)構(gòu)及其元素的階[J].德州學(xué)院學(xué)報,2009,25(2):9-14.

[9]ThomasW.Hungerford.Algebra[M].Winston:Holt,Rinehart,2003.

[10]周政平.關(guān)于群論中一個定理的注記[J].北京科技大學(xué)學(xué)報,1989,11(2):184-186.

[11]胡冠章.應(yīng)用近世代數(shù)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2003.

The Structure of the Groups in Order 23and 32

HEMei,LIU X iao－chuan
（School ofMathematic and Computer Science，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009）

Based on the relationship of the order of group and element in finite group，using the definition of finite group，this paper discusse all the structure of the groups in order 32and 23in isomorphism.

O152

A

〔編輯 高海〕

1674-0874(2010)04-0012-03

2010-01-25

何美（1966-），女，山西大同人，副教授，研究方向：有限群.

W ords：the definition of finite group；permutation groups；cycle group