Gorenstein內(nèi)射維數(shù)性質(zhì)的推廣

王文鋒，宋常修，江蓮蓮，張 翔

（1.濱州學(xué)院自動(dòng)化系，山東濱州256603；2.即墨市創(chuàng)新中學(xué) 數(shù)學(xué)組,山東即墨266200；3.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州遵義563002）

Gorenstein內(nèi)射維數(shù)性質(zhì)的推廣

王文鋒1，宋常修2，江蓮蓮2，張 翔3

（1.濱州學(xué)院自動(dòng)化系，山東濱州256603；2.即墨市創(chuàng)新中學(xué) 數(shù)學(xué)組,山東即墨266200；3.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州遵義563002）

推廣了Gorestein內(nèi)射維數(shù)的一些性質(zhì),證明了任何具有有限內(nèi)射維數(shù)的模M都有內(nèi)射預(yù)包.

Gorestein內(nèi)射維數(shù)；Gorestein內(nèi)射模；X-預(yù)解式

當(dāng)R是雙邊的且是Noetherian時(shí)，Auslander和Bridger[1]對(duì)任何有限生成的左R-模M定義了G-維數(shù)，用G-dimRM來表示.在一般的環(huán)R中，Enochs和Jenda[2]定義了Gorenstein投射維數(shù)GpdR(-)及Gorestein內(nèi)射維數(shù)GidR(-)，并且通過預(yù)解式來定義了Gorenstein內(nèi)射模，Holm[3]研究了Gorestein有限投射維數(shù).本文推廣了Gorestein內(nèi)射維數(shù)的一些性質(zhì).

文中假設(shè)R是非平凡的結(jié)合環(huán)，所有模如果不特別指出則是左R-模.用U(R)來表示所有R-模類，I(R)來表示內(nèi)射R-模類，P(R)來表示投射R-模類.

1 分解類

定義1：(a)X內(nèi)射分解：若I(R)?X,且對(duì)于任意的短正合列0→X'→X→X''→0（X'∈C），則X∈X?X'∈X，稱它為X內(nèi)射分解的.

(b)X投射分解：若P(R)?X，且對(duì)于任意的短正合列0→X'→X→X''→0，（其中X''∈X），則X∈X?X'∈X，稱它為X投射分解的.

定義2：對(duì)于任意的R-模類X，左正交類和右正交類的定義如下：

定理1：(Eilenberg's Swindle)X是內(nèi)射分解的R-模類.若X是可數(shù)直積封閉的，則X也是直和項(xiàng)封閉的.

證明：假設(shè)Y是X的直和項(xiàng)，X∈X，要證Y∈X.由題意存在Z使得X=Y⊕Z又X是可數(shù)直積封閉的,令W=Y×Z×Y×Z×L得到WX×X×L∈X.進(jìn)而有WY⊕W，所以Y⊕W∈X.X是內(nèi)射分解的，考慮正合列：

0→W→W⊕Y→Y→0其中W∈X，W⊕Y∈X,則Y∈X.此題得證.

定義3：對(duì)任意得R-模M，定義了兩類預(yù)解式：(a)M的左X預(yù)解式是正合列:X=L→X1→X0→M→0其中對(duì)任意的n≥0,Xn∈X.(b)M的右預(yù)解式是正合列：X=0→M→X0→X1→L其中對(duì)任意的n≥0,Xn∈X.

現(xiàn)在假設(shè)X是M的任何一個(gè)預(yù)解式.則稱X是真的，如果對(duì)于任意的Y∈X，序列HomR(Y,X)是正合的.同理來定義余真的，如果對(duì)于任意的Y∈X，序列HomR(X,Y)是正合的，則稱X是余真的.

定理2：假設(shè)是R-模類.Mi是R-模的集合，則下面兩條成立：

（1）若X對(duì)任意的直和封閉，且若每一個(gè)Mi都有(余真的)右X預(yù)解式，則CMi也有.

（2）若X對(duì)任意的直積封閉，且若每一個(gè)Mi都有(真的)左X預(yù)解式，則∏Mi也有.

證明：（1）利用X是直和封閉及(余真的)右X預(yù)解式的定義可證.（2）的方法相同.

2 Gorenstein內(nèi)射模

定義4:若內(nèi)射模的正合列I：L→I1→I0→I0→I1→L滿足對(duì)任意的內(nèi)射模Q,HomR(Q,I)是正合的,則稱I為完備預(yù)解式.

定義5：左R-模稱為Gorenstein內(nèi)射的，若存在完備的內(nèi)射預(yù)解式 I使得Mker(I0→I0).顯然任何內(nèi)射模都是Gorenstein內(nèi)射的.用GI(R)表示所有Gorenstein內(nèi)射R-模類.

定理3：R-模是Gorenstein內(nèi)射的,當(dāng)且僅當(dāng)M∈I(R)⊥且存在真的I(R)-預(yù)解式.進(jìn)一步說,若I是完備的內(nèi)射預(yù)解式,則HomR(L,I)對(duì)于任意的具有有限內(nèi)射維數(shù)的R-模L是正合的.相應(yīng)的,當(dāng)M是Gorenstein內(nèi)射的則ExtRi(L,I)=0,任意的i>0及任意的具有有限內(nèi)射維數(shù)的R-模L成立.

證明：?：M是Gorenstein內(nèi)射的存在預(yù)解式0→I0→I1→L，Ii是內(nèi)射模,由維數(shù)變換知ExtRi(X,M)= 0,?X∈X,?i>0.得出M∈I(R)⊥由Gorenstein內(nèi)射的定義知存在真的I(R)-預(yù)解式.

?：M∈I(R)⊥，所以ExtRi(X,M)=0,?i>0,?X∈X, M存在真的I(R)-預(yù)解式.

定理4:Gorenstein內(nèi)射模類GI(R)是內(nèi)射分解的，即若0→M'→M→M''→0是R模的短正合列，其中M'是Gorenstein內(nèi)射的，則M''是Gorenstein內(nèi)射的?M是Gorenstein內(nèi)射的.進(jìn)一步說GI(R)是直積封閉的,且滿足直和項(xiàng)封閉.

證明:由定義2的例子可得：I(R)⊥是任意直積封閉的,由定理2（2）知：有真的左I(R)-預(yù)解式的模類也是直積封閉的.因此GI(R)是內(nèi)射分解的.我們來考慮R-模的短正合列：0→M'→M→M''→0其中M'是Gorenstein內(nèi)射的.

（1）假設(shè)M''是Gorenstein內(nèi)射的.由引理6.20[4]及定理3知M是Gorenstein內(nèi)射分解的，

（2）假設(shè)M是Gorenstein內(nèi)射的下面來證M''是Gorenstein內(nèi)射的.由于I(R)⊥是內(nèi)射分解的，則M''∈I(R)⊥由定理5只要證明M''有真的左I(R)-預(yù)解式.由假設(shè)知M，M'都有真的預(yù)解式：M=L→X1→X0→M→0，M'=L→X1'→X0'→M'→0.由定理8.13[5]可以得到同態(tài)：M'→M考慮下列復(fù)形的短正合列交換圖：

M'→M是擬同構(gòu)的,則C是正合的.若N是任意的內(nèi)射模,則HomR(N,C)是正合的.則M''也是正合的,則M''是M''的左I(R)-預(yù)解式.為了說明它是真的,假設(shè)N維任意的內(nèi)射模,對(duì)上圖用HomR(N,-)作用,得到：0→HomR(N,D)→HomR(N,C)→HomR(N,M'')→0.第一行中：0→HomR(N,M')→HomR(N,M)→HomR(N, M'')→0是正合的.因?yàn)镸'是Gorenstein內(nèi)射的則顯然剩下的行是正合的.HomR(N,C),HomR(N,D)是正合的,則HomR(N,M'')是正合的因此M''是真的.由定理1直接可得GI(R)是直和項(xiàng)封閉的.

定義6：Gorenstein內(nèi)射維數(shù)GidR(-)：如果R-模M有長(zhǎng)度為n的內(nèi)射預(yù)解式,用GidR(M)≤n,n∈N0來表示,則稱M的內(nèi)射維數(shù)為n.用GI(R)來表示具有有限維數(shù)的Gorenstein內(nèi)射維數(shù)的R-模類.

定義7：內(nèi)射預(yù)包：是R-模類,M是R-模,M的內(nèi)射預(yù)包是一個(gè)R-模同態(tài)φ:M→X,?X∈X，滿足HomR(φ,X'):HomR(M,X')→HomR(X,X')→0，是正合的.

定理5：M是具有有有限內(nèi)射維數(shù)n的R-模,則 M有單的 Gorenstein內(nèi)射預(yù)包 φ:M→G,C= corkerφ滿足IdRC=n-1(若n=0,則C=0)特別地,M有真的長(zhǎng)度為n的左Gorenstein內(nèi)射預(yù)解式.

證明:取正合列：0→M→I0→I1→L→In-1→C'其中I0L In-1是內(nèi)射的.由 [1]中定理3.18，則C'是Gorenstein內(nèi)射的,因此存在正合列：0→G→Q0→Q1→L→Qn-1→C'→0，其中G,Q0,Q1L,Qn-1是內(nèi)射的，使得HomR(Q,-)是正合的,當(dāng)Q是內(nèi)射的.因此存在同態(tài)I0→Q0使得下圖交換：

上面圖給出了復(fù)形的鏈同態(tài)：

這些鏈同態(tài)在同倫意義下是同構(gòu)的.則它的映射錐是正合的,因此單射M→G⊕I0滿足IdRC≤n-1因此IdRC=n-1.因?yàn)镃具有有限的內(nèi)射維數(shù),由定理3知對(duì)任意的內(nèi)射模G',ExtR1(C,G')=0則同態(tài)HomR(φ,G'):HomR(M,G')→HomR(G⊕I0,G')是單的,因此φ: M→G⊕I0是M的內(nèi)射預(yù)包.

[1]M.Auslander,M.Bridge.Stable module theory[M].Providence:American Mathematical Society,1969.

[2]E.E.Enochs,O.M.G.Jenda.Gorenstein injective and projective modules[J],Math.Z.1995,220(4):611-633.

[3]H.Holm.Gorenstein homological dimensions [J].Journal of Pure and Applied.2004,（189）：167-193.

[4]Than Jacobson.Basic Algebra II[M].San Francisco:W.H.Freeman and Copany,1980.

[5]J.J.Rotman.An Introduction To Homological Algebra[M].New York,San Francisco,London:Academic Press,1979.

（責(zé)任編輯：朱 彬）

Generalization of Results for Gorenstein Injective Dimension

WANG Wen-feng1，SONG Chang-xiu2，JIANG Lian-lian2，ZHANG Xiang3
(1.Department of Automatic,Binzhou University,Binzhou256603,China;2.ChuangXin High School of Jimo City, Jimo266200,China;3.Department of mathematics,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China）

The characters of Gorenstein injective modules are studied and we prove that every module which has finite dimension admits an injective pre-envelope.

Gorenstein injective dimension;Gorenstein injective modules;X-resolution

O175.8

A

1009-3583（2010）-02-0068-03

2010-01-12

濱州學(xué)院青年人才科研項(xiàng)目基金（BZXYKJ0802號(hào)），遵義師范學(xué)院科研基金（2008024）

王文鋒，女，山東汶上人，濱州學(xué)院自動(dòng)化系助教，碩士，主要從事自動(dòng)化與控制論的研究。