解四階拋物型方程的高精度顯式差分格式

張星，單雙榮

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

解四階拋物型方程的高精度顯式差分格式

張星，單雙榮

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

對(duì)四階拋物型方程ut+uxxxx=0，構(gòu)造一個(gè)新的三層顯式差分格式，其穩(wěn)定性條件和局部截?cái)嗾`差階分別為r=τ/h4≤1/8和O（τ2+h6），其結(jié)果優(yōu)于其他四階拋物型方程的結(jié)果.數(shù)值例子表明，理論分析是正確的，該格式是有效的.

四階拋物型方程；高精度；顯式差分格式；穩(wěn)定性；截?cái)嗾`差

1960年，Саулъев［1］對(duì)四階拋物型方程（初邊值問題）

構(gòu)造了一個(gè)顯式格式，但其局部截?cái)嗾`差階僅為O（τ+h2），精度較低；然后，又提出兩個(gè)隱式差分格式，其局部截?cái)嗾`差階分別為O（τ2+h2）和O（τ2+h4），但需解線性方程組，計(jì)算量太大.文［2-3］分別得到一個(gè)顯式差分格式，文［2］的穩(wěn)定性條件和截?cái)嗾`差階分別為r=τ/h4＜1/8和O（τ2+h4），而文［3］的結(jié)果是r≤1/16和O（τ2+h6）.此外，文［4］得到了四階拋物型方程的隱式格式，但計(jì)算量較大.本文構(gòu)造了一個(gè)新的三層顯式差分格式.

1 差分格式的構(gòu)造

設(shè)問題（1）的解u（x，t）充分光滑，分別用τ，h表示時(shí)間t及空間x方向的步長，用表示u（jh，nτ）的差分逼近.網(wǎng)域由點(diǎn)集（xj，tn）（j=0，1，…，M；n=0，1，2，…）組成，其中xj=jh，tn=nτ，h=1/M，并設(shè)r=τ/h4為網(wǎng)格比.用含參數(shù)具有對(duì)稱形式的差分方程

逼近微分方程（1）.式（2）中，Ci（i=0，1，…，6）為待定參數(shù).

當(dāng)微分方程（1）的解充分光滑時(shí)，有

將式（2）中各節(jié)點(diǎn)上的u在網(wǎng)點(diǎn)（xj，tn）處進(jìn)行Taylor展開，且兩邊同時(shí)乘以1/h4，整理可得

利用式（3），當(dāng)以下條件

同時(shí)成立時(shí)，差分格式（2）的截?cái)嗾`差階可達(dá)O（τ2+h6）.解方程組（4）可得C0=C1/r，C2=-4C1，C3=6C1-2C1/r，C4=-C1，C5=4C1，C6=C1/r-6C1.

將以上各參數(shù)值代入式（2）中，可得三層顯式差分格式為

其局部截?cái)嗾`差為O（τ2+h6）.

2 差分格式穩(wěn)定性

引理1 即Mille準(zhǔn)則［5］，實(shí)系數(shù)二次方程Ax2+Bx+C=0（A＞0）的兩個(gè)根按模小于等于1的充要條件：A-C≥0，A+B+C≥0，A-B+C≥0.

定理1 當(dāng)0＜r≤1/8時(shí)，格式（6）至少在Forsythe-Wasow［6］意義下條件穩(wěn)定.

上式中，A=1，B=r（4cos2α-2）-8rcosα+6r-2，B=-［r（4cos2α-2）-8rcosα+6r-1］.

下面驗(yàn)證特征方程（7）是否滿足引理.首先，A=1＞0成立；其次，對(duì)任意r＞0，均有

當(dāng)0＜r≤1/8時(shí)，有

因此，當(dāng)0＜r≤1/8時(shí)，滿足引理的條件1，Von Neumann條件成立.所以，格式（6）至少在Forsythe-Wasow［6］意義下條件穩(wěn)定.

3 數(shù)值例子

解四階拋物型方程的混合問題

其精確解為u（x，t）=e-tsinx.邊界條件的處理與文［1］相同，即采用中心差商代替微商.于是，有=對(duì)于初始條件的處理，則用直接轉(zhuǎn)移法，可得=sinjh，（j=0，1，…，M；n=0，1，2，…）.

所構(gòu)造的顯格式（6）是三層格式，啟動(dòng)值除了初始層網(wǎng)格函數(shù)值以外，還需用其他方法先算出第1層網(wǎng)格函數(shù)值.為了方便，按精確值代替第1層的值進(jìn)行計(jì)算（實(shí)際計(jì)算可用同精度的兩層隱格式計(jì)算第1層的值）.當(dāng)h=π/10時(shí)，利用格式（6）進(jìn)行求數(shù)值解，不同網(wǎng)格比r的精確解比較，如表1所示.

表1 格式（6）的數(shù)值結(jié)果對(duì)應(yīng)值Tab.1 Corresponding value of Numerical results of scheme（6）

華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院曾文平教授給予的悉心指導(dǎo)，特此致謝.

［1］САУЛЪЕВК.拋物型方程的網(wǎng)格積分法［M］.袁兆鼎，譯.北京：科學(xué)出版社，1963：143-152.

［2］曾文平.解四階拋物型方程的高精度顯式差分格式［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1997，18（2）：122-127.

［3］單雙榮.解四階拋物型方程的高精度差分格式［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，24（1）：11-15.

［4］林鵬程.解四階拋物型方程的絕對(duì)穩(wěn)定高精度差分格式［J］.廈門大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1994，33（6）：756-759.

［5］MILL ER J J H.On the location of zeros of certain classes of polynomials with application to numerical analysis［J］.J Inst Math Appls，1971，8（3）：394-406.

［6］矢島信男，野術(shù)達(dá)夫.發(fā)展方程の數(shù)值分析［M］.東京：巖波書店，1977：46-232.

［7］RICHTMYER R D，MORTON K W.Difference method for initial-value problems［M］.2nd ed.New York：Wiley，1967：59-91.

Explicit Difference Scheme of High Accuracy for Solving Four-Order Parabolic Equation

ZHANG Xing，SHAN Shuang-rong
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

In this paper，a three-level explicit difference scheme is proposed for solving four-order parabolic equationut+uxxxx=0.The scheme meets a stability condition ofr=τ/h4≤1/8 and shows a local truncation error ofO（τ2+h6）.It is showed that the scheme is effective and the analysis of stability is right by a numerical example.

four-order parabolic equation；high accuracy；explicit difference scheme；stability

O 241.82

A

1000-5013（2010）06-0703-03

（責(zé)任編輯：陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

2008-11-23

單雙榮（1956-），男，教授，主要從事微分方程數(shù)值解的研究.E-mail：shansr@hqu.edu.cn.

國務(wù)院僑辦科研基金資助項(xiàng)目（04QZR09）