四元數(shù)形式的Jacobi猜想

劉 華，屈非非

（天津工程師范學院 理學院，天津 300222）

四元數(shù)形式的Jacobi猜想

劉 華，屈非非

（天津工程師范學院 理學院，天津 300222）

從超復分析的角度考慮Jacobi猜想，設P（w）=（p1（w），p2（w））是二維復空間到自身的多項式映射，研究四元數(shù)的左全純多項式f（z1，z2，z3）=p1（w）+jp2（w），其中w=（x0+x1i，x2+x3i）和z1=x1-x0i，z2=x2-x0i，z3=x3-x0i。這顯示了用四元數(shù)中的全純函數(shù)的技巧處理Jacobi猜想是一條可能的途徑。

四元數(shù)分析；左全純函數(shù)；Jacobi猜想

用H表示實四元數(shù)所構成的skew域，即在四維實線性空間上定義一個以1，i，j，k（也記作e0，e1，e2，e3）為生成元的乘法結構，它們滿足：

而H中的元素，q=x0+x1i+x2j+x3k，（x0，x1，x2，x3）之間的乘法按結合律和分配律用上式來展開[2]。在本文中，有時也寫x=x0+x1i+x2j+x3k，從上下文來看不會混淆。

設域Ω?H，f：Ω→H為實可微函數(shù)。如果f滿足以下Cauchy–Riemann方程：

則稱f是Ω上的左全純函數(shù)。

由于本文不涉及右全純函數(shù)，故在以下部分用全純稱呼左全純。

不幸的是，最簡單的非常值函數(shù)q卻不滿足式（1）從而不是全純函數(shù)。為了彌補這一微分理論研究的缺陷，這里引入超復數(shù)，即所謂Fueter變量[5]如下：

現(xiàn)在新的變元zk將滿足條件Dzk=0。代入f的微分df中，因為dxk=dzk+dx0ek，故得到：

因此，f對x是全純的當且僅當它的微分是超復變元微分的線性組合[5]。

在一般情形下，四元數(shù)多項式并不是全純的。而且由于D（zizj）≠0（i，j=1，2，3，i≠j），超復變元的多項式也不一定是全純的。

Delange[3]證明了Fueter多項式是全純的。下面先給出：

定義1（Fueter多項式）設x∈H。對兩個整數(shù)k1、k2，我們稱k=（k1，k2）為一個雙重指標。對指標的分量為非負時，記

k=|K|稱為多重指標K的次數(shù)。

對一個至少有一個分量為負的多重指標，定義為：

當次數(shù)k=0時，簡單地寫為K=（0，0）=0并且定義為：

對于次數(shù)k＞0的K，我們定義Fueter多項式PK（x）如下：設K是多重指標j1，j2，…，jk，其中前k1個指標等于1而后k2個指標等于2.這時我們有記號

即這個積中恰好包含ki個zi，最后我們給出一般形式的Fueter多項式：

這里perm（k）是k個元素的置換群。式（5）中對稱化的表達式彌補了H中的非交換性。

容易證明Fueter多項式是對H中的左作用和右作用都是線性不相關的[3]。與復分析一樣，四元數(shù)函數(shù)也有用Fueter多項式給出的Taylor展開式。為此，引入函數(shù)

這是在原點有孤立奇點的最簡單的全純函數(shù)[3]。

對多重指標K=（k0，k1，k2，k3），記，現(xiàn)在定義函數(shù)

則用上述函數(shù)可展開Cauchy積分，從而得到下面定理。

定理2[3]設函數(shù)f在H中的開球|x|＜R上是全純的，那么它可以展開成為一個收斂的Taylor級數(shù)：

特別地，如果f是全純四元數(shù)多項式，則由定理1，它可以表示成Fueter多項式的和：

其中，n是f的階數(shù)。

下面探討多項式映射。

設F=（F1，…，F(xiàn)n）：Cn→Cn為一個多項式映射，其個體形式為：

其中，F(xiàn)i=Fi（x1，…，xn）是n元多項式。對w∈Cn，記JF為F的Jacobi矩陣，并記F′（w）=det（JF（w））n=2。著名的Jacobi猜想可組織為如下形式：

Jacobi猜想 設Fn：Cn→Cn是一個復多項式映射，對任意w∈Cn都有F′（w）≠0，則F是可逆映射，且其逆映射也是多項式映射。

Jacobi猜想首先由Keller對n=2時的整系數(shù)多項式映射提出。幾十年過去了，許多數(shù)學家曾試圖證明它，在產(chǎn)生了眾多的錯誤證明后，直到今日它仍然是一個開問題[1，6]。但是在這些Jacobi猜想的證明過程中，產(chǎn)生了很多多項式和相關領域令人驚異的結果，下面的定理是其中最著名的一個。

定理3 如果對所有n≥2的正整數(shù)及deg（F）≤3的n元多項式映射F，Jacobi猜想都是成立的，則Jacobi猜想是正確（Bass，Connell，Wright[1]）。

本文僅討論n=2情形的猜想。我們將揭示出Jacobi猜想和四元數(shù)分析的一些有趣對應。

設p（w）=（p1（w），p2（w））是二維復空間C2到其自身的多多項式映射，其中w=（w1，w2）∈C2。

我們知道四元數(shù)可以用兩個復數(shù)來表示[5]：

令w1=x0+x1i，w2=x2+x3i，通過這個對應把C2和H等同起來，那么定義一個四元數(shù)函數(shù)如下：

注意w又可以用超復數(shù)來表示：

定理4 f（q）=f（z1，z2，z3）是q∈H的全純函數(shù)。

證明：因為復多項式是復全純函數(shù)，所以

及

由式（2）、（12）和（13）我們得到：

此即完成了定理證明。

簡單計算顯示f=f0+f1i+f2j+f3k，其中

記Jf是四維實空間R4到其自身的映射f的Jacobi矩陣，那么由多復變函數(shù)論的熟知結論：

由文獻[7]可知，Jacobi猜想成立當且僅當這個多項式映射是個單射。用K-代數(shù)的觀點，如果這個映射是滿射，猜想也是成立的[1]。因此為證明此猜想，我們僅需證明f（q）是H到H的滿映射就足夠了。而對任意q=ζ1+jζ2∈H（ζ1，ζ2∈C），令p1′=p1+ζ1，p2′=p2+ ζ2那么p′=（p1′，p2′）滿足Jacobi猜想的條件。因此，如果我們能夠證明對形如式（10）所定義的函數(shù)至少存在一個零點，則Jacobi猜想成立。

既然p（w）是從二維復空間到其自身的局部一對一映射，f（q）的可能零點只能是孤立的[4]。所以，自然可以考慮把復形式的Jacobi猜想推廣到四元數(shù)全純多函數(shù)，因為后者也是局部一一映射。

四元數(shù)Jacobi猜想如果f（q）是四元數(shù)H上的全純多項式函數(shù)，且是非零的常值函數(shù)。則存在一個多項式H到H的全純多項式映射g（q）使得g（f（q））f（g（q））=q即，f有多項式逆。

這個猜想從實質上推廣了復形式的Jacobi猜想，這是因為確實存在不能表達為二元復多項式的組合的四元數(shù)全純多項式。容易驗證f=iz1+jz2+2kz3滿足上面猜想的條件，但它不能有形如式（10）的表達式。而且，這里的猜想也是弱于已有反例的實形式的Jacobi猜想[6]。

［1］ BASS H，CONNELL E，WRIGHT D.The jacobian conjecture：reduction of degree and formal expansion of the inverse [J].Bulletin of the AMS，1982，7：287-330.

［2］ KOECHER M，REMMERT R，HAMILTON′s Q.GTM 123 [M].Berlin：Springer-Verlag，1990.

［3］ GUELEBECH K，HABETHA K，WOLFGANG S.Holomorphic Functions in the Plane and n-dimentional Spac[M]. Basel：Birkhuser，2008.

［4］ HEMPFLING T.Some remarks on zeroes of monogenic functions[J].Advances in Appl Clifford Algebras，2001，11（S2）：107-116.

［5］ MALONEK H R.Selected topics in hypercomplex function theory，Eriksson，Sirkka-liisa，Clifford algebras and potential theory[M].ProceedingsoftheSummerSchool，Mekrijrvi，2002.

［6］ PINCHUK S.A counterexample to the strong real Jacobian conjecture[J].Math Z，1994，217：1-4.

［7］ RUDING W.Injective polynomial maps are qutomorphisms [J].Amer Math Month，1995，102（6）：540-543.

Jacobian conjecture in quaternion form

LIU Hua，QU Fei-fei
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222）

The Jacobian conjecture in the view of hypercomplex analysis is elaborated in this paper.For a polynomial mapping P（w）=（p1（w），p2（w））：C2→C2the corresponding left holomorphic quaternionic polynomial f（z1，z2，z3）=p1（w）+jp2（w）is discussed：H→H，where w=（x0+x1i，x2+x3i）and z1=x1-x0i，z2=x2-x0i，z3=x3-x0i. then a new approach to the Jacobian conjecture is given by the use of argument from quaternionic holomorphic functions.

quaternionic analysis；holomorphic polynomial；Jacobian conjecture

book=2,ebook=78

O174.14

A

1673－1018（2010）02－0043－03

2010-01-08

劉 華（1971—），男，副教授，博士，碩士生導師，研究方向為復逼近論、解析邊值問題等.