簡(jiǎn)述勾股定理逆定理的3次教學(xué)

●林金瑛 (溫嶺中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 浙江溫嶺 317500) ●朱 哲 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 浙江金華 321004)

數(shù)學(xué)史有助于教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)，具有獨(dú)特的教育價(jià)值.1972年，在第2屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系國(guó)際研究小組(簡(jiǎn)稱(chēng)HPM)，標(biāo)志著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系作為一個(gè)研究領(lǐng)域的出現(xiàn).之后，隨著HPM研究的深入開(kāi)展，學(xué)術(shù)界日益注重?cái)?shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)可操作性具體方法的探討，以及數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中作用的實(shí)際證據(jù)的獲取.對(duì)前一個(gè)問(wèn)題，筆者做了一次教學(xué)嘗試：對(duì)人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)第18章《勾股定理》中勾股定理逆定理的第一課時(shí)進(jìn)行了3次遞進(jìn)式的教學(xué)設(shè)計(jì)，后一次都是在前一次的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，每一次教學(xué)后都進(jìn)行了反思.現(xiàn)把此教學(xué)設(shè)計(jì)呈現(xiàn)如下.

1 勾股定理逆定理的3次教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 第1次教學(xué)設(shè)計(jì)

(1)知識(shí)回顧、引入課題：回顧直角三角形的性質(zhì);回顧直角三角形的判斷方法.由問(wèn)題“可否從三角形的邊的關(guān)系來(lái)判斷三角形的形狀”引出課題.

(2)觀(guān)察：幻燈片出示教科書(shū)上的圖片(如圖1)——古埃及人將一根繩子圍成直角三角形.

(3)探究活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)給定3條邊的長(zhǎng)度畫(huà)三角形;找出三角形的最長(zhǎng)邊的平方與其他2條邊的平方和的關(guān)系;測(cè)量三角形的最大角;判斷三角形的形狀;猜想邊長(zhǎng)滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量要求時(shí)，三角形才可能是一個(gè)直角三角形.

(4)證明猜想.

(5)互逆命題、互逆定理教學(xué)，給出勾股定理逆定理的名稱(chēng).

(6)書(shū)本例題教學(xué).

圖1

(7)鞏固練習(xí).

(8)課堂知識(shí)小結(jié).

教師反思 本次設(shè)計(jì)的引入，是很多教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中所采用的“溫故知新”式引入，筆者直接地、也毫無(wú)生趣地引入了課題.然后由特殊到一般、從猜想到證明，得出了勾股定理的逆定理，最后讓學(xué)生在例題練習(xí)中掌握逆定理的作用.雖然大部分學(xué)生能正常地完成學(xué)習(xí)任務(wù)，但是整節(jié)課中學(xué)生的反應(yīng)平淡，教學(xué)在波瀾不驚中完成.

但是筆者正是為這節(jié)課的波瀾不驚而苦惱.勾股定理及其逆定理是人類(lèi)智慧的結(jié)晶，對(duì)初次接觸的學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)應(yīng)該是十分神奇的.如何才能改變學(xué)生平淡的反應(yīng)，讓勾股定理的逆定理給學(xué)生留下深刻的印象呢?筆者上網(wǎng)查閱有關(guān)勾股定理逆定理的資料，征求同事意見(jiàn)，對(duì)其教學(xué)作了重新設(shè)計(jì).

1.2 第2次教學(xué)設(shè)計(jì)

(1)古埃及壁畫(huà)引入：幻燈片出示古埃及底比斯壁畫(huà)，學(xué)生欣賞壁畫(huà).壁畫(huà)描述的是古埃及人在拉繩測(cè)量.教師提問(wèn)：很多幾何知識(shí)就是源自古埃及人的日常勞作，他們還會(huì)用一根繩子圍出一個(gè)直角三角形，你會(huì)嗎?

(2)活動(dòng)1：學(xué)生分組活動(dòng)，嘗試將一根繩子圍成一個(gè)直角三角形.然后教師向?qū)W生展示古埃及人將一根繩子圍成直角三角形的圖片，再由學(xué)生代表上講臺(tái)仿效古埃及人演示.由問(wèn)題“古埃及人的做法的依據(jù)是什么”引出課題.

(3)活動(dòng)2：與第1次教學(xué)設(shè)計(jì)的步驟(3)相同.(4)活動(dòng)3：幾何畫(huà)板驗(yàn)證猜想.

(5)以下教學(xué)步驟與第1次教學(xué)設(shè)計(jì)的步驟(4)～(8)相同.

教師反思 第2次教學(xué)設(shè)計(jì)與第1次教學(xué)設(shè)計(jì)相比，主要有以下幾點(diǎn)變化：

(1)由單調(diào)的溫故知新式引入改為壁畫(huà)引入，多了歷史的色彩.讓學(xué)生回溯歷史，感受古埃及人的聰慧，同時(shí)為古埃及人能用一根繩子圍成一個(gè)直角三角形作了鋪墊.

(2)通過(guò)查閱大量的圖片資料，筆者得知人教版的插圖(圖1)是有謬誤的，圖1的人物其實(shí)是古希臘人的造型，因此在第2次教學(xué)設(shè)計(jì)中，筆者使用了日本教科書(shū)《中學(xué)數(shù)學(xué)》中的插圖，在尊重歷史的同時(shí)也把握了數(shù)學(xué)教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn).

(3)在第1次教學(xué)設(shè)計(jì)中，學(xué)生單純地看圖1得知古埃及人得到直角三角形的作法，馬上就進(jìn)行畫(huà)三角形探究.在第2次教學(xué)設(shè)計(jì)中，活動(dòng)1是讓學(xué)生分小組交流，動(dòng)手去操作，嘗試如何用一根繩子去圍成一個(gè)三角形.在短時(shí)間內(nèi)，學(xué)生們當(dāng)然是無(wú)法找到正確的做法.對(duì)于學(xué)生“自以為是”的圍法，教師在班內(nèi)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)指出其錯(cuò)誤.正是在切身體驗(yàn)古埃及人如何將一根繩子圍成一個(gè)三角形，學(xué)生在思考后遭遇到碰壁，這樣才會(huì)迸發(fā)出更大的學(xué)習(xí)熱情，教師也籍此鼓勵(lì)他們認(rèn)真學(xué)習(xí)本節(jié)新課知識(shí)，再為古埃及人的做法揭秘.

(4)在得出猜想后，第2次教學(xué)設(shè)計(jì)比第1次教學(xué)設(shè)計(jì)多了幾何畫(huà)板演示.

筆者在第2次的教學(xué)工作完成后，回顧2個(gè)班級(jí)學(xué)生反應(yīng)的差別.在課堂前15分，學(xué)生反應(yīng)明顯比第1次所教班級(jí)的學(xué)生活躍，后30分，學(xué)生反應(yīng)趨于平淡.總的來(lái)說(shuō)，學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的參與程度比第1次所教班級(jí)要高.在課堂前15分，為什么第2次所教班級(jí)學(xué)生的反應(yīng)更活躍呢?筆者認(rèn)為原因就在于在第2次教學(xué)設(shè)計(jì)中融入了數(shù)學(xué)史的素材，讓學(xué)生重溯到古埃及拉繩測(cè)量的時(shí)代，在沒(méi)有任何現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具的幫助下親身體驗(yàn)如何用一根繩子圍出直角三角形.這個(gè)活動(dòng)將會(huì)讓他們深深記在心里.于是，筆者不禁再次思考，如何充分挖掘數(shù)學(xué)史的素材，讓學(xué)生能在這節(jié)課中更活躍，對(duì)這個(gè)偉大的勾股定理的逆定理印象更深刻呢?于是筆者查找到了更多的數(shù)學(xué)史資料，對(duì)本節(jié)課進(jìn)行了第3次的教學(xué)設(shè)計(jì).

1.3 第3次教學(xué)設(shè)計(jì)

(1)古埃及壁畫(huà)引入：學(xué)生欣賞壁畫(huà)，教師介紹壁畫(huà)內(nèi)容及歷史資料(譬如“司繩”名稱(chēng)的來(lái)源).教師提問(wèn)：很多幾何知識(shí)就是源自古埃及人的日常勞作，他們會(huì)用一根繩子圍出一個(gè)直角三角形，你會(huì)嗎?

(2)～(4)與第2次教學(xué)設(shè)計(jì)的步驟(2)～(4)相同.

(5)～(7)與第1次教學(xué)設(shè)計(jì)的步驟(4)～(6)相同.

(8)學(xué)生活動(dòng)——考古：教師出示巴比倫時(shí)期的一塊泥板，該泥板上有3列文字(如圖2)，學(xué)生分小組活動(dòng)，用計(jì)算器探究 a，b，c之間的關(guān)系.

(9)課堂知識(shí)回顧.

(10)課外知識(shí)拓展：教師將幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)相結(jié)合，介紹古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖在《算術(shù)》中的問(wèn)題：關(guān)于x，y，z的方程x2+y2=z2有無(wú)數(shù)組正數(shù)解.再介紹費(fèi)馬大定理的相關(guān)知識(shí)：費(fèi)馬猜想的由來(lái)及懷爾斯因證明費(fèi)馬猜想而獲得了1996年的沃爾夫獎(jiǎng).

(11)課堂結(jié)束語(yǔ)：同學(xué)們，學(xué)習(xí)前人敢于思考、探索的精神，做科學(xué)知識(shí)的有心人吧!

教師反思 第3次教學(xué)設(shè)計(jì)與第2次教學(xué)設(shè)計(jì)相比，有如下幾點(diǎn)改變：

(1)仍以壁畫(huà)引入，但比第2次教學(xué)設(shè)計(jì)更突出拉繩的主題，介紹古埃及負(fù)責(zé)測(cè)量的人叫“司繩”，突出繩子在古埃及時(shí)期的作用，更加重了本節(jié)課的歷史色彩.

(2)刪減了前2次教學(xué)中的反復(fù)練習(xí)題，改為以“考古”為主題的學(xué)生探究活動(dòng).

(3)第2次教學(xué)設(shè)計(jì)是以知識(shí)回顧作為最后的總結(jié)，而第3次教學(xué)設(shè)計(jì)則是以知識(shí)拓展——介紹數(shù)學(xué)史上人物及著名的猜想、定理作為最后的總結(jié).

與前2次的教學(xué)設(shè)計(jì)相比，第3次教學(xué)設(shè)計(jì)中學(xué)生的反應(yīng)更活躍、課堂參與程度最高.在“考古”活動(dòng)中，由于好奇心的驅(qū)使，學(xué)習(xí)氣氛活躍，幾乎是全員參與.在最后的知識(shí)拓展環(huán)節(jié)中：當(dāng)筆者問(wèn)不定方程x2+y2=z2有幾組解時(shí)，學(xué)生很快地能將幾何知識(shí)遷移、很快地回答并舉例說(shuō)明;當(dāng)筆者讓學(xué)生思考不定方程xn+yn=zn解的情況時(shí)，學(xué)生討論得十分熱烈;當(dāng)筆者講費(fèi)馬故事時(shí)，學(xué)生臉上的表情既有對(duì)費(fèi)馬鉆研精神的欽佩，又有對(duì)費(fèi)馬猜想的好奇，那時(shí)候沒(méi)有一個(gè)學(xué)生是置身課堂之外的，他們都被費(fèi)馬吸引了;當(dāng)教師介紹費(fèi)馬猜想出現(xiàn)300年后，懷而斯終于給予了證明，并將費(fèi)馬猜想稱(chēng)為費(fèi)馬大定理的時(shí)候，全體學(xué)生不禁歡呼.筆者在課堂的最后也被學(xué)生激昂的情緒所感動(dòng).

圖2

2 3次教學(xué)后的收獲

縱觀(guān)勾股定理逆定理第1課時(shí)的3次教學(xué)設(shè)計(jì)，當(dāng)課堂教學(xué)融入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容之后，筆者明顯感受到了以下變化.

2.1 提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

第1次的教學(xué)設(shè)計(jì)沒(méi)有挖掘勾股定理逆定理背后的數(shù)學(xué)史，從溫故知新式引入到新知講解、新知應(yīng)用、新知小結(jié).整節(jié)課學(xué)生反應(yīng)平淡，更有不少學(xué)困生上課走神，根本無(wú)法參與課堂教學(xué).當(dāng)筆者在第2次教學(xué)設(shè)計(jì)中由埃及壁畫(huà)引入，讓學(xué)生不僅通過(guò)觀(guān)察壁畫(huà)、而且親身嘗試古埃及人的圍直角三角形去感受數(shù)學(xué)史，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化背景下的勾股定理的逆定理，他們的反應(yīng)明顯比第1次教學(xué)設(shè)計(jì)中的學(xué)生活躍.當(dāng)然，第2次教學(xué)設(shè)計(jì)的后大半部分和第1次差不多，一部分學(xué)生無(wú)法將注意力集中到最后.于是在第3次教學(xué)設(shè)計(jì)中，筆者挖掘了練習(xí)方面以及最后小結(jié)的數(shù)學(xué)史資料，學(xué)生們很感興趣，深深地被課堂內(nèi)容所吸引，從開(kāi)始到最后，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生幾乎沒(méi)有一個(gè)開(kāi)小差，課堂效率比較高.

課后，筆者在第1次教授班級(jí)與第3次教授班級(jí)作了問(wèn)卷調(diào)查.3次教學(xué)的班級(jí)各不相同，第1次和第3次是在筆者所任教的2個(gè)班級(jí)進(jìn)行教學(xué)的，第2次是借班上課，而且第3次是公開(kāi)課.前者對(duì)該節(jié)課很感興趣的學(xué)生占班級(jí)總體的37%，后者占班級(jí)總體的82%.這樣的結(jié)果令筆者興奮不已.確實(shí)，將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)以改善課堂環(huán)境可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與積極性，從真正意義上把學(xué)生從厭煩的學(xué)習(xí)情緒中解放出來(lái)，引導(dǎo)他們積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).有了興趣及動(dòng)力，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、成績(jī)自然會(huì)跟著提高了.

2.2 有效利用了課堂的時(shí)間

在沒(méi)有利用數(shù)學(xué)史的第1次教學(xué)設(shè)計(jì)中，筆者設(shè)計(jì)的練習(xí)較多，但是因?yàn)閷W(xué)生的興趣不高、注意力不集中，結(jié)果只是反復(fù)訓(xùn)練注意力集中的學(xué)生.這些注意力集中的學(xué)生又往往成績(jī)較好，對(duì)他們來(lái)說(shuō)做一題練習(xí)的效果可能已經(jīng)等于做多題了.總之，筆者所設(shè)計(jì)的練習(xí)其實(shí)是浪費(fèi)了很多學(xué)生的時(shí)間.

筆者將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)后，學(xué)生上課時(shí)精神集中，對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容表現(xiàn)出很大的興趣.雖然數(shù)學(xué)史的內(nèi)容講解占用了一些時(shí)間，但是卻提高了課堂效率.筆者的練習(xí)量是少了，但是學(xué)生做題質(zhì)量卻高了，真正有效地利用了課堂的時(shí)間.

2.3 增進(jìn)了師生間的情感交流

筆者在第1次教學(xué)中，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容不感興趣，所以課堂氣氛平淡，筆者自己也提不起教學(xué)激情.在教學(xué)設(shè)計(jì)改編后，學(xué)生在被數(shù)學(xué)史吸引的同時(shí)筆者也深受感染，課堂環(huán)境改善了，師生的情感交流也增多了.陳景潤(rùn)就是因?yàn)樵谛r(shí)候受到數(shù)學(xué)教師在課堂上所講的數(shù)學(xué)名題的影響，而逐步成長(zhǎng)為一個(gè)數(shù)學(xué)家的.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，教師在課堂上所講的數(shù)學(xué)史可能影響的不僅僅是一節(jié)課，還可能會(huì)影響人的一生.對(duì)筆者來(lái)說(shuō)，為數(shù)學(xué)史能帶給學(xué)生的教育意義與教育效果而感慨的同時(shí)，又深感教師教學(xué)的責(zé)任重大.

數(shù)學(xué)家龐加萊說(shuō)過(guò)：“如果我們要預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)的未來(lái)，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門(mén)科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀”.作為一名數(shù)學(xué)教師，如果把數(shù)學(xué)和它的歷史割裂開(kāi)來(lái)，那么他的損失將是最大的.因?yàn)閿?shù)學(xué)史有助于教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)，它具有獨(dú)特的教育價(jià)值，它對(duì)學(xué)生良好人格的形成、數(shù)學(xué)興趣的提升、創(chuàng)造精神的培養(yǎng)都有著無(wú)可替代的作用.數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注每個(gè)知識(shí)點(diǎn)背后的數(shù)學(xué)史，將數(shù)學(xué)史更好地融入到教學(xué)當(dāng)中.

［1］ 張維忠，汪曉勤.文化傳統(tǒng)與數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2006.

［2］ 張維忠.文化視野中的數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育［M］.北京：人民教育出版社，2005.

［3］ 張維忠，徐曉芳.基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)案例設(shè)計(jì)述評(píng)［J］.浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，31(3)：246-250.

［4］ 朱哲.日本教科書(shū)《中學(xué)數(shù)學(xué)》中的“勾股定理”［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2008(12)：37-40.

［5］ 朱哲.數(shù)學(xué)教科書(shū)中“勾股定理”編寫(xiě)存在的問(wèn)題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中)，2008(6)：4-6.