三種估計(jì)疲勞極限方法的比較

朱學(xué)超，李泉珍

（貴州大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，貴州 貴陽 550003）

疲勞極限是表征材料與結(jié)構(gòu)疲勞性能的重要參量之一，其試驗(yàn)與測定方法一直受到國內(nèi)外的關(guān)注。當(dāng)研究其概率值時(shí)，試驗(yàn)方法主要有大子樣升降法和小子樣升降法。大子樣升降法測定結(jié)果精度較高，但花費(fèi)試樣較多，一般大于30個(gè)，這一試驗(yàn)方法已寫入了英、日、法等國的試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。小子樣升降法測定結(jié)果精確度稍差，但花費(fèi)試樣較少，約 13個(gè)～20個(gè)，在我國得到了廣泛應(yīng)用。

疲勞極限的早期理解是，材料不發(fā)生疲勞損傷（無限疲勞壽命）的臨界疲勞強(qiáng)度；后來被理解為一定疲勞壽命（如 107循環(huán)數(shù)）下的中值疲勞強(qiáng)度估計(jì)值。因材料的疲勞極限隨加載方式和應(yīng)力比的不同而異，通常以對稱循環(huán)（即應(yīng)力比R=－1）下的疲勞極限作為材料的基本疲勞極限。［1］擴(kuò)展到概率領(lǐng)域，則應(yīng)理解為一定疲勞壽命下疲勞強(qiáng)度的概率（包含存活概率和置信度兩方面含義）估計(jì)值。本文闡述了3種估計(jì)計(jì)算方法，并進(jìn)行了比較。

1 加權(quán)平均法

為了區(qū)別對待不同精度條件下的測量結(jié)果，在計(jì)算平均值時(shí)需要采用加權(quán)平均。所謂權(quán)，就是權(quán)衡輕重的意思，某個(gè)測量值越可信賴，則在數(shù)據(jù)分析中應(yīng)該使它占有越大的比重，即需要賦予它越大的權(quán)。測量值的可信賴程度與測量值的誤差密切相關(guān)，誤差越小，可信賴程度就越高，權(quán)也就越大；反之亦然。在加權(quán)平均時(shí)，習(xí)慣上將權(quán)值取得與測量結(jié)果的方差成反比。采用加權(quán)平均法對其小子樣升降法的疲勞試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行處理時(shí)，其缺點(diǎn)是加權(quán)平均值只可以作為可靠度為50%的疲勞極限。

2 正態(tài)分布（或?qū)?shù)正態(tài)分布）估計(jì)疲勞極限應(yīng)力值［2］

在疲勞分析中，需要利用由各種試驗(yàn)獲得的疲勞性能數(shù)據(jù)。由于疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)常常有很大的分散性，因此，只有用統(tǒng)計(jì)分析的方法處理這些數(shù)據(jù)才能夠?qū)Σ牧匣驑?gòu)件的疲勞性能有比較清楚的了解。

正態(tài)分布也稱高斯（Gaussian）分布。對數(shù)疲勞壽命 lgN常常是服從正態(tài)分布的。令X＝lgN，即可利用正態(tài)分布理論進(jìn)行對數(shù)疲勞壽命X的統(tǒng)計(jì)分析。

2.1 正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)

若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則密度函數(shù)（或稱頻率函數(shù)）為：

式中，μ為母體均值；σ為母體標(biāo)準(zhǔn)差，是非負(fù)的。正態(tài)概率密度函數(shù)曲線是關(guān)于x＝μ對稱的，兩端伸向無窮。f（x）在x＝μ處取最大值，且可見，σ越小，在x＝μ附近取值的可能越大；密度函數(shù)曲線越“瘦”，隨機(jī)變量X的分散性越小，故標(biāo)準(zhǔn)差σ反映了X的分散性。

一般來說，無論分布形式如何，概率密度函數(shù)均具有以下性質(zhì)：

（1）f（x）≥0。f（x）表示隨機(jī)變量X取值為x的頻繁程度，故對于所有的可能取值，f（x）顯然是非負(fù)的。

正態(tài)概率分布函數(shù)為：

分布函數(shù)F（x）給出了隨機(jī)變量X取值小于等于x的概率。顯然可見，隨機(jī)變量X取值大于x的概率則為1－F（x）。

2.2 給定疲勞壽命下的破壞概率估計(jì)和置信水平

在對數(shù)疲勞壽命服從正態(tài)分布的假設(shè)下。首先，應(yīng)確定分布參數(shù)，即均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ。μ、σ是母體分布參數(shù)，其真值常常是得不到的。一般只能由取自該母體的若干試件組成的“子樣”（或稱樣本）試驗(yàn)數(shù)據(jù)來估計(jì)。

子樣均值 為：

式中，xi為第i個(gè)觀測數(shù)據(jù)，對于疲勞分析，則是第i個(gè)試件的對數(shù)壽命，即xi＝lg Ni；n為子樣中xi的個(gè)數(shù)，稱為樣本大小（或樣本容量）。

子樣方差S2為：方差S2的平方根s，即子樣標(biāo)準(zhǔn)差，是偏差的度量，反映了分散性的大小。注意到（4）式，所有n個(gè)偏差的總和為零，故只有（n－1）個(gè)偏差是獨(dú)立的。

子樣大小n越大，子樣均值x和標(biāo)準(zhǔn)差s就越接近于母體均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ。因此，假定對數(shù)疲勞壽命X＝lgN是服從正態(tài)分布的，則只要由一組子樣觀測數(shù)據(jù)計(jì)算出子樣均值和標(biāo)準(zhǔn)差s，并將它們分別作為母體均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計(jì)量，即可得到具有某給定破壞（或存活）概率下的壽命或某給定壽命所對應(yīng)的破壞（或存活）概率。

事實(shí)上，這樣估計(jì)的對數(shù)壽命Np＝＋up·s（其中 up為與破壞概率p對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)偏量，其存活率即可靠度R＝1－p），可能比母體對數(shù)壽命的真值μ＋up·σ小，也可能比母體真值大。因此，需要引入置信度γ這一概念。如果由＋up·s估計(jì)的破壞概率為p的對數(shù)壽命小于真值的概率為γ，則稱γ為這一估計(jì)的置信度。置信度γ通常取為90 %或95 %。將破壞概率為p，置信度為γ的對數(shù)壽命寫為：

式中，k稱為單側(cè)容限系數(shù)。

由此，可以求出一定可靠度R和置信度γ下的疲勞極限。

3 三參數(shù)威布爾分布理論［2、3］

在疲勞強(qiáng)度的可靠性設(shè)計(jì)中，最適合表達(dá)疲勞強(qiáng)度分布的函數(shù)，除了正態(tài)分布函數(shù)外，還有目前發(fā)展起來的威布爾分布概率密度函數(shù)。威布爾分布概率密度函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，在于存在最小壽命，即100 %可靠度的壽命，這是符合疲勞破壞實(shí)際情況的。

3.1 威布爾分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)

威布爾分布的密度函數(shù)為：

式中，N0、Na和b為描述威布爾分布的3個(gè)參數(shù)。N0是下限，也稱為最小壽命參數(shù)；Na控制著橫坐標(biāo)的尺度大小，反映了數(shù)據(jù)N的分散性，稱為尺度參數(shù)；b描述分布密度函數(shù)曲線的形狀，稱為形狀參數(shù)。

如同前面討論正態(tài)分布一樣，我們關(guān)心的是在疲勞壽命 N之前破壞的概率，或壽命小于等于N的概率F（N）。由此有威布爾分布的分布函數(shù)為：

令 x＝（N－N0）/（Na－N0），則有 dN＝（Na－N0）dx，并注意到F（N）＝F（x），即得三參數(shù)威布爾分布函數(shù)F（N）為：

由上式顯然可知，當(dāng)N＝N0時(shí)，F(xiàn)（N0）＝0，即疲勞壽命小于N0的破壞概率為零，故N0是最小壽命參數(shù)；當(dāng)N＝Na時(shí)，F(xiàn)（Na）＝1－1/e＝0.632，即疲勞壽命小于 Na的破壞概率恒為63.2 %而與其它參數(shù)無關(guān)，所以Na也稱為特征壽命參數(shù)。

3.2 威布爾分布參數(shù)的估計(jì)

正態(tài)分布母體的均值μ和方差σ2都能直接反映在正態(tài)分布概率密度函數(shù)中。但在威布爾分布概率密度函數(shù)中并不包含 μ和σ2。因此，只能通過威布爾的三個(gè)參數(shù)N0、Na和b來表達(dá)μ和 σ2值。

引入伽馬函數(shù)，設(shè)z＞0，定義伽馬函數(shù)［4］（Γ－函數(shù)）為：

且有如下性質(zhì)：①Γ（z＋1）＝zΓ（z）；

根據(jù)求數(shù)學(xué)期望的定義，通過積分計(jì)算可得威布爾變量的數(shù)學(xué)期望，即母體均值μ為：

威布爾變量的方差σ2為：

其置信度γ＝1－α（α是顯著度）。

由此，便可求出一定可靠度和置信度下的疲勞極限。

4 結(jié)論

本文闡述了3種估計(jì)疲勞極限的方法。加權(quán)平均法簡單易行，但缺點(diǎn)是加權(quán)平均值只可以作為可靠度為 50 %的疲勞極限。按正態(tài)分布（或?qū)?shù)正態(tài)分布）可以求出一定可靠度R和置信度γ疲勞極限，但它存在一個(gè)缺點(diǎn)，即當(dāng)失效概率很小時(shí)，疲勞壽命或疲勞極限趨于零，這與很多試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)際不符。而三參數(shù)威布爾分布中的參數(shù) N0在疲勞試驗(yàn)中表示最小壽命或最低疲勞極限，與實(shí)際疲勞特性相符。

三參數(shù)威布爾分布理論與加權(quán)平均法相比，不僅考慮置信度，還可以求出任意可靠度下的疲勞極限。與按正態(tài)分布（或?qū)?shù)正態(tài)分布）相比，能更準(zhǔn)確地估計(jì)疲勞極限，應(yīng)用更廣泛。

1 周傳月、鄭紅霞、羅慧強(qiáng).MSC.Fatigue疲勞分析應(yīng)用與實(shí)例.北京：科學(xué)出版社，2005.3

2 陳傳堯.疲勞與斷裂.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2002.1

3 李舜酩.機(jī)械疲勞與可靠度設(shè)計(jì).北京：科學(xué)出版社，2006.9

4 吳 翊、李永樂、胡慶軍.應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì). 北京：國防科技大學(xué)出版社，2005.8