MIMO-OFDM快衰落信道的壓縮感知估計(jì)方法

周小平 方 勇,2 汪 敏

(1.上海大學(xué)通信與信息工程學(xué)院,特種光纖與光接入網(wǎng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200072;2.新型顯示技術(shù)與應(yīng)用集成教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200072)

1.引 言

正交頻分復(fù)用(OFDM)具有高速的數(shù)據(jù)傳輸能力、高效的頻譜利用率和抗多徑干擾能力,因而在無(wú)線通信領(lǐng)域引起了廣泛關(guān)注。為了進(jìn)一步提高系統(tǒng)容量,將OFDM 與多輸入多輸出(MIMO)相結(jié)合實(shí)現(xiàn)多天線分集[1-2]。但是,在快衰落環(huán)境中,MIMOOFDM系統(tǒng)容量常常與理想狀況相差甚遠(yuǎn)。為獲得較好的系統(tǒng)性能,一般都要求收發(fā)端有效地完成信道估計(jì)。

傳統(tǒng)導(dǎo)頻輔助的信道估計(jì)方法[3-6],首先估計(jì)導(dǎo)頻子載波點(diǎn)上的頻域沖擊響應(yīng),然后通過(guò)插值的方法得到對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)子載波上的頻域沖擊響應(yīng)。采用這種方法,導(dǎo)頻的插入比例需要滿足奈奎斯特采樣頻率條件,也即受信道衰落程度的影響。然而該條件是建立在無(wú)線信道傳播于豐富地散射環(huán)境的基礎(chǔ)上,并沒(méi)有考慮快衰落MIMO-OFDM信道具有可稀疏性。

最近Cand'es和 Donoho提出一種新穎的理論—壓縮感知(Compressed Sensing,CS)[7-8],該理論與傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理不同,它指出,只要信號(hào)在某個(gè)變換域具有可稀疏性,那么信號(hào)的投影測(cè)量數(shù)據(jù)量將遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)采樣方法所獲的數(shù)據(jù)量,并且可從這些少量的測(cè)量數(shù)據(jù)中以高概率重構(gòu)出原信號(hào)。對(duì)于單輸入單輸出(SISO)OFDM系統(tǒng),文獻(xiàn)[9-10]把感知理論應(yīng)用于慢衰落信道估計(jì)中,為提高系統(tǒng)頻譜利用率提供了一個(gè)方向。而對(duì)于MIMO-OFDM系統(tǒng),文獻(xiàn)[11]提出了基于導(dǎo)頻輔助的慢衰落信道估計(jì)方法。然而在快衰落環(huán)境下,由于上述信道估計(jì)算法只考慮了時(shí)延域信道的稀疏性,并沒(méi)有考慮空間域和多普勒域信道的稀疏性,所以在空間和頻率的測(cè)量位置與實(shí)際信道變化的范圍存在偏差,容易引起功率混疊與泄漏,致使信道稀疏性不強(qiáng),性能不好。同時(shí)在進(jìn)行信道測(cè)量時(shí),使用了計(jì)算量大的信道測(cè)量矩陣。因此,推導(dǎo)稀疏性更強(qiáng)、頻譜利用率高、計(jì)算復(fù)雜度低和估計(jì)性能好的MIMOOFDM系統(tǒng)快衰落信道估計(jì)方法就顯得十分必要,該文將解決這個(gè)問(wèn)題。

該文所提出的MIMO-OFDM系統(tǒng)快衰落信道估計(jì)方法,其主要包括三個(gè)方面研究:在角時(shí)延多普勒域快衰落MIMO-OFDM信道的稀疏表示;通過(guò)一種少量導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)隨機(jī)測(cè)量矩陣在角時(shí)延多普勒域?qū)π诺肋M(jìn)行測(cè)量;最后以高概率重構(gòu)出快衰落信道。

2.系統(tǒng)模型

考慮一個(gè)有 Nt根發(fā)送天線,Nr根接收天線和K個(gè)子載波的MIMO-OFDM系統(tǒng),其基本模型如圖1所示。

圖1 MIMO-OFDM系統(tǒng)模型

假設(shè)n時(shí)刻第t根發(fā)射天線發(fā)送的OFDM符號(hào)用K×1向量 Xt(n)表示。發(fā)送之前該向量經(jīng)過(guò)IDFT處理。為了有效對(duì)抗多徑時(shí)延擴(kuò)展,還需要在OFDM符號(hào)間加入循環(huán)前綴(CP)作為保護(hù)間隔,循環(huán)前綴需要大于信道沖擊響應(yīng)的最大抽頭數(shù)。接收端去除循環(huán)前綴后,接收天線r上的信號(hào)可表示為

式中,假如在慢衰落信道環(huán)境下,Hr,t為一個(gè)循環(huán)矩陣[1],其第一列為 [hr,tT,01×(K-L)]T,其中符號(hào)(·)T表示矩陣轉(zhuǎn)置,并且大小為L(zhǎng)×1的向量,hr,t用來(lái)表示從第t根發(fā)射天線到第r根接收天線之間長(zhǎng)度為L(zhǎng)的信道沖激響應(yīng)。F表示功率歸一化的K點(diǎn)DFT矩陣。將Hr,t進(jìn)行特征值分解,容易得到Hr,t。進(jìn)一步可以推得

式中,Ξr(n)為均值為零方差為σ2n的加性高斯白噪聲ηr(n)的傅立葉變換。然而在移動(dòng)臺(tái)高速運(yùn)行的時(shí)候,快速移動(dòng)在頻域上產(chǎn)生多普勒效應(yīng)而引起頻率擴(kuò)散,多普勒效應(yīng)引起了時(shí)間選擇性衰落;同時(shí),在不同的地點(diǎn)、不同的傳輸路徑衰落特性不一樣,多徑效應(yīng)引起了空間選擇性衰落。即,在多徑效應(yīng)和多普勒效應(yīng)引起的快衰落環(huán)境下,由于此時(shí)所有的信道抽頭是隨時(shí)間而快速變化的,所以KL(Q+1)×1維信道函數(shù)Hr,t將不在是一個(gè)循環(huán)矩陣,其中,Q為信道多普勒擴(kuò)展階數(shù),L為從第t根發(fā)送天線到第r根接收天線的最大抽頭數(shù)。若使用傳統(tǒng)最優(yōu)信道估計(jì)方法,則所需最少導(dǎo)頻數(shù)為KL(Q+1)。因此,為提高數(shù)據(jù)傳輸效率,該文推導(dǎo)了基于壓縮感知的MIMO-OFDM系統(tǒng)快衰落信道估計(jì)方法。

3.壓縮感知信道估計(jì)

3.1 MIMO-OFDM信道稀疏變換

為了能在壓縮感知理論框架下研究MIMOOFDM系統(tǒng)信道估計(jì),需要對(duì)式(2)中 MIMOOFDM無(wú)線信道進(jìn)行稀疏變換。文獻(xiàn)[9-11]在時(shí)延域研究了慢衰落信道的稀疏性,而在快衰落環(huán)境下,需要同時(shí)考慮空間域、時(shí)間域和多普勒域信道的稀疏性,目的是使在空間、時(shí)間和頻率的測(cè)量位置與實(shí)際信道變化的范圍相符合,減少了功率混疊與泄漏,提高信道的稀疏性。信道稀疏性越強(qiáng),性能改善越好。首先考慮信道在空間域的稀疏性,結(jié)合文獻(xiàn)[12-13],一個(gè)發(fā)送天線和一個(gè)接收天線形成一個(gè)角域區(qū)域,而每個(gè)角域區(qū)域內(nèi)的信道系數(shù)是有限的,因此,可在角域考慮信道沖激響應(yīng)的稀疏特性,將發(fā)送信號(hào)和接收信號(hào)進(jìn)行角域正交變換:

式中:Lt=NtΔt和L r=NrΔr,分別表示發(fā)送天線和接收天線均勻線陣的歸一化長(zhǎng)度和分別為發(fā)射單位空間特征圖和接收單位空間特征圖。讓at和ar是整體天線矩陣,其列向量分別是式(3)和式(4)。這樣,便根據(jù)角域正交變換得到了信道沖激響應(yīng)角域稀疏向量Hr,t(n)a r aHt。而Hr,t(n)在高速無(wú)線OFDM系統(tǒng)的時(shí)延多普勒域同樣具有稀疏的特性。設(shè)Hr,t(n,k)第t發(fā)送天線和第r接收天線在n時(shí)刻第k子載波的多徑信道頻率沖激響,可表示為

并且第l條徑可表示為

定義hr,tl(n)=[hq,rl(n,0),…,hq,rl(n,K-1)],這樣hr,tl(n)可表示為

式中 , Ψr,tl,v(n)=[e-j2π(v-Q/2)GK,…,e-j2π(v-Q/2)(K-1)/GK] 。第i個(gè)時(shí)刻第L條路徑信道脈沖響應(yīng)可以表示為T,則hr,t(n)可表示為

同時(shí)

現(xiàn)在,把hr,t(n)信道估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為估計(jì)βr,t(n)的問(wèn)題,βr,t(n)的功率為

式中:符號(hào)(·)H表示矩陣的Hermitian;E[βr,t(n)2]轉(zhuǎn)化為 δr,t(n)=[E βr0,t(n)2,…,E βrL,-t1(n)2];βr,t(n)非零能量表示為.因此,假如=S ＜ Nt Nr KL(Q+1),那么快衰落信道就是稀疏的,其稀疏度為S,其中‖·‖?0計(jì)算向量的非零數(shù)。因此,在角時(shí)延多普勒域可將 NtNrKL(Q+1)維MIMO-OFDM信道變換為S維稀疏矩陣h(n)=[(I Nt?aHr)(aTt ?INr)]Ψ(n)(β(n))T,其中[(I Nt? aHr)(aTt?I Nr)]是 Nt N r?Nt N r維角域矩陣,Ψ(n)時(shí)延多普勒域矩陣,β(n)是需要估計(jì)的稀疏信道沖激響應(yīng)系數(shù)。這樣,Nt N r KL(Q+1)維信道h(n)轉(zhuǎn)化為S稀疏信道沖激響應(yīng)系數(shù)β(n),而S遠(yuǎn)小于N tN rKL(Q+1).

3.2 隨機(jī)導(dǎo)頻測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)

通過(guò)上一節(jié)分析,可將無(wú)線信道沖激響應(yīng)h(n)在角時(shí)延多普勒域 A(n)進(jìn)行稀疏變換 h(n)=A(n)β(n),得到稀疏系數(shù)為β(n)。要想能準(zhǔn)確地重構(gòu)此稀疏系數(shù),Candˋes和Tao給出并證明了傳感矩陣必須滿足受限等距特性(RIP)[7,14]。若令 Φ為M×Nt N r KL(Q+1)(M＜＜Nt N r KL(Q+1))維傳感矩陣,則可得該傳感矩陣的 T列子矩陣為 M ×T維ΦT。那么對(duì)于任意S稀疏信號(hào)(其S個(gè)非零值的位置是未知的)h(n),能夠從Y(n)=ΦA(chǔ)(n)β(n)精確重構(gòu)出β(n)的充分條件是傳感矩陣 Φ對(duì)于S稀疏信號(hào)h(n)和常數(shù)δS∈(0,1)有S階約束等距性,即

式中:· ?2表示?2范數(shù);對(duì)所有子集T滿足T ≤S,S稀疏向量h(n)∈RT.

為了使傳感矩陣 Φ滿足受限等距特性RIP,需要從導(dǎo)頻輸入輸出關(guān)系著手研究。文獻(xiàn)[9]給出了Toeplitz測(cè)量矩陣,然而該測(cè)量矩陣具有較高的計(jì)算復(fù)雜度,在接收端存在大規(guī)模矩陣求逆運(yùn)算,其復(fù)雜度隨著天線數(shù)和子載波的增加呈指數(shù)倍增加,同時(shí)對(duì)導(dǎo)頻的輸入輸出也比較困難,而且只能局限于時(shí)域信號(hào)處理。為了減少計(jì)算復(fù)雜度,同時(shí)又可在角時(shí)延多普勒域進(jìn)行稀疏系數(shù)重構(gòu),該文給出一種滿足約束等距性條件RIP隨機(jī)結(jié)構(gòu)導(dǎo)頻測(cè)量矩陣。設(shè)此隨機(jī)結(jié)構(gòu)導(dǎo)頻測(cè)量矩陣為三個(gè)矩陣的乘積,即D(n)R(n)～F,其中,～F為由 K倍標(biāo)準(zhǔn)DFT矩陣對(duì)應(yīng)的M行和前L列組成的矩陣。

R(n):為 Nt根發(fā)送天線隨機(jī)導(dǎo)頻發(fā)生矩陣R(n)=[R1(n),…,RNt(n)]T,當(dāng)?shù)趎時(shí)刻隨機(jī)性導(dǎo)頻發(fā)生器隨機(jī)選擇第t根天線用于發(fā)送導(dǎo)頻,而該天線再隨機(jī)選擇Mt(n)個(gè)子載波{k 1,…,kMt(n)}用于承載導(dǎo)頻數(shù)據(jù)+1或-1(等概率分布),其余K-Mt(n)個(gè)子載波用于承載用戶數(shù)據(jù),則可用Rt(n)表示第n時(shí)刻第t根天線隨機(jī)性導(dǎo)頻發(fā)生矩陣,而Rt(n)為 K×K維對(duì)角矩陣,即Rt(n)=diag{Rt(n,0),…,Rt(n,K-1)}.第n時(shí)刻所有發(fā)送導(dǎo)頻數(shù)為需要滿足 S階 RIP:M≥CS log(Nt N r KL(Q+1)/S),那么重構(gòu)稀疏系數(shù)β(n)的概率為1-e-CM,其中C≥1為過(guò)采樣因子[7]。

D(n):為 Nt根發(fā)送天線下采樣矩陣D(n)=[D1(n),…,DNt(n)]T,矩陣D(n)的取值是根據(jù)矩陣Rt(n)來(lái)決定的,令Dt(n)為K×K維對(duì)角矩陣,當(dāng)Rt(n)用于發(fā)送導(dǎo)頻,則Dt(n)根據(jù)導(dǎo)頻子載波位置{k1,…,kMt(n)}在對(duì)角矩陣相應(yīng)位置放數(shù)據(jù)其余的數(shù)據(jù)0。那么Dt(n)取值的概率為

3.3 稀疏信道重構(gòu)

將式(8)和角域矩陣代入式(13),可推導(dǎo)

進(jìn)一步,根據(jù)3.2小節(jié)導(dǎo)頻發(fā)生矩陣Rt(n),可以得到n時(shí)刻各發(fā)射天線與第r個(gè)接收天線之間上的接收信號(hào)

再利用下采樣矩陣D(n)對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行下采樣,可以得到n時(shí)刻各發(fā)射天線與第r根接收天線之間導(dǎo)頻點(diǎn)上的接收信號(hào)Yrp(n),可表示為

式中:Ξrp(n)為Dr(n)Ξr(n)。將式(16)表示成矩陣形式

進(jìn)一步可得到n時(shí)刻N(yùn) t根發(fā)射天線與N r第r根接收天線之間導(dǎo)頻點(diǎn)上的接收信號(hào)Nr×N t維接收信號(hào)(n)=[Y1P(n),…r(n)]T,可表示為

式中:A(n)=[(I Nt?)(?I Nr)]Ψ(n)為Nt N r KL(Q+1)×Nt N r KL(Q+1)維角時(shí)延多普勒域矩陣 ;β(n)=[β1(n),…,βNr(n)] 為 S 稀疏信道沖激響應(yīng)系數(shù);Φ=INr? Φ(n)為 M ×Nr N tKL(Q+1)導(dǎo)頻測(cè)量矩陣。

利用Dantzig Selector[15]重構(gòu)S稀疏信道沖激響應(yīng)系數(shù)β(n)。令 δ2S＜-1,對(duì)于任何b ≥0,可使得λ=(2σ2(1+b)log(NrNtKL(Q+1)))1/2,則估計(jì)(n)的方程為

式中,·∞表示?∞范數(shù),估計(jì)^h(n)滿足式中,

3.4 性能分析

對(duì)結(jié)構(gòu)隨機(jī)導(dǎo)頻矩陣的 RIP進(jìn)行分析。由式(15),可得第t根發(fā)射天線和第r根接收天線接收信號(hào)

由于Rt(n)具有正交歸一性,有

σ2h為信道功率,而由式(16),可得

式(25)右邊等于零均值獨(dú)立隨機(jī)變量的和,即E{‖Φt(n)hr,t(n)‖2?2-σ2h-σ2n}=0,方差為

再利用伯思斯坦不等式[16],概率為

然后,分析系統(tǒng)計(jì)算復(fù)雜度。與傳統(tǒng)導(dǎo)頻輔助的信道估計(jì)方法[3-6]不同的是:該方法并不需要先估計(jì)導(dǎo)頻子載波點(diǎn)上的頻域沖擊響應(yīng),然后通過(guò)復(fù)雜的插值方法得到對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)子載波上的頻域沖擊響應(yīng),而是先通過(guò)少量的導(dǎo)頻測(cè)量信號(hào)估計(jì)出少量的非零信道系數(shù)(n),然后把得到的少量非零信道系數(shù)(n)與角時(shí)延多普勒域A(n)=[(INt?aHr)(?I Nr)]Ψ(n)相乘就可以得到所有子載波上的頻域沖擊響應(yīng),因此,大大減少了計(jì)算復(fù)雜度。

最后,分析系統(tǒng)的傳輸效率。讓SD={(v,l,ar,at):β(v,l,ar,at)＞0}為信道沖激響應(yīng)非零系數(shù)集合,若S=SD?NrNtKL(Q+1),對(duì)于該文所采用方法,只要導(dǎo)頻滿足M ≥CS log(Nt Nr KL(Q+1)/S),就可以準(zhǔn)確重構(gòu)s稀疏信道沖激響應(yīng)系數(shù)β(n)。而傳統(tǒng)方法基于均方誤差最小的準(zhǔn)則,推導(dǎo)了最優(yōu)導(dǎo)頻序列數(shù)為Nr NtKL(Q+1)。由此可見(jiàn),該文所采用方法能提高數(shù)據(jù)傳輸效率。

4.實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

這一節(jié)給出了一些仿真結(jié)果來(lái)證實(shí)該文所提出算法的有效性與理論分析的正確性。分別考慮了收發(fā)天線皆為2和收發(fā)天線皆為4的MIMO-OFDM無(wú)線通信系統(tǒng),載波頻率5 GHz,基帶采樣頻率5 MHz,子載波個(gè)數(shù)為1028,采用的調(diào)制方式為16-QAM(正交幅度調(diào)制)。采樣間隔 Ts為204.8μs。

圖2,3比較了各信道估計(jì)算法在不同信噪比下的MSE和BER性能比較分析曲線?？紤]收發(fā)天線皆為2,且信道抽頭數(shù)L=15,當(dāng)移動(dòng)臺(tái)的最大速率取150 km/hr時(shí),最大多普勒頻移為506.25 Hz。從圖中可以明顯看出,在導(dǎo)頻數(shù)量分別為所有傳輸符號(hào)數(shù)量的25%和12.5%時(shí),LS和LMMSE算法MSE性能隨著導(dǎo)頻的減少下降很快,但該文所采用算法性能變化不大。原因是在導(dǎo)頻數(shù)量為所有傳輸符號(hào)數(shù)量的25%時(shí),最優(yōu)導(dǎo)頻序列數(shù)滿足傳統(tǒng)方法的均方誤差最小準(zhǔn)則;而在導(dǎo)頻數(shù)量為所有傳輸符號(hào)數(shù)量的12.5%時(shí),這個(gè)準(zhǔn)則就無(wú)法成立,信道估計(jì)誤差呈急劇下降趨勢(shì)。該文所采用算法卻不受這個(gè)準(zhǔn)則限制,因此,性能變化不大。表明了壓縮感知理論用于快衰落信道估計(jì)可以減少導(dǎo)頻數(shù)量,提高數(shù)據(jù)傳輸效率。

同樣,圖4,5比較了各信道估計(jì)算法在不同信噪比下的MSE和BER性能比較分析曲線。但這時(shí)考慮收發(fā)天線皆為4,且信道抽頭數(shù)L=20,當(dāng)移動(dòng)臺(tái)的最大速率取200 km/hr時(shí),最大多普勒頻移為675 Hz。從圖2～5分析曲線可以明顯看出,快衰落信道對(duì)傳統(tǒng)信道估計(jì)算法有一定的影響,而對(duì)該文利用了快衰落MIMO-OFDM信道在角時(shí)延多普勒域的強(qiáng)稀疏性,所以影響很小。

5.結(jié) 論

針對(duì)快衰落MIMO-OFDM系統(tǒng)中導(dǎo)頻過(guò)多導(dǎo)致的低數(shù)據(jù)傳輸效率,估計(jì)性能差以及計(jì)算復(fù)雜度高的弊端,提出了基于壓縮感知理論的 MIMOOFDM系統(tǒng)快衰落信道估計(jì)算法。該算法同時(shí)考慮空間域、時(shí)間域和多普勒域信道的稀疏性,減少了功率混疊與泄漏,提高信道的稀疏性。基于壓縮感知的RIP準(zhǔn)則,推導(dǎo)了一種少量導(dǎo)頻隨機(jī)結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣,用于測(cè)量快衰落信道在角時(shí)延多普勒域稀疏系數(shù)。該算法降低了系統(tǒng)對(duì)導(dǎo)頻的需求,提高了系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸效率;減少了計(jì)算復(fù)雜度,提高了估計(jì)性能。

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