矩形隧道中的多波模傳播特性

霍 羽 徐 釗 鄭紅黨

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院,江蘇徐州221008)

1.引 言

在礦井隧道這種復(fù)雜特殊的受限空間里,受隧道截面尺寸、傳播頻率、天線極化、隧道壁反射、隧道壁粗糙度、傾斜度等綜合因素的影響,電磁波傳播特性有別于地面情況[1-6],而隧道內(nèi)電磁波傳輸理論的發(fā)展較為緩慢,所得結(jié)論還存在爭(zhēng)議。

上世紀(jì)70年代,Marcatili、Emslie等研究認(rèn)為在隧道中傳播的電磁波,當(dāng)其波長(zhǎng)遠(yuǎn)小于隧道截面尺寸時(shí),可將隧道視作有損耗的介質(zhì)波導(dǎo),并分析了隧道內(nèi)電磁波傳輸?shù)牟７匠蘙1-2]。

文獻(xiàn)[2]推導(dǎo)出基模作用下的電磁波衰減公式,據(jù)此推斷,電磁波傳播損耗隨頻率的升高而降低,并最終收斂于零。此外,隧道壁粗糙度對(duì)電磁波傳播特性的影響在低頻時(shí)較為嚴(yán)重,而傾斜度的影響在高頻時(shí)較為嚴(yán)重。

然而文獻(xiàn)[7]在對(duì)平面導(dǎo)波的波模方程求解分析以及仿真時(shí),認(rèn)為粗糙度對(duì)電磁波傳播特性的影響在較高頻率時(shí)會(huì)增大,但是總體衰減仍然隨頻率的升高而減少;而且認(rèn)為粗糙度對(duì)水平極化波的影響更大。

此后四五十年,在相關(guān)的大部分理論研究中,所得結(jié)論卻更傾向于文獻(xiàn)[2][8-12]。

不過(guò),上述研究都因高次模的傳播損耗較大,而將其忽略,只針對(duì)基模進(jìn)行分析,忽略了多波模的共同作用,因而所得結(jié)論值得商榷。

文獻(xiàn)[5]曾對(duì)隧道內(nèi)電磁波傳播模式進(jìn)行了討論,提出理論分析中應(yīng)考慮多波模的共同作用。

文獻(xiàn)[13]采用了幾何光學(xué)的方法,由于多波模在傳播中所起的作用近似于多徑傳播,點(diǎn)源的場(chǎng)是通過(guò)直接射線和反射射線疊加的結(jié)果,通過(guò)對(duì)兩種不同頻率下電磁波的相對(duì)時(shí)延進(jìn)行仿真分析,得出受粗糙度影響高頻信號(hào)的衰減大于低頻信號(hào)的結(jié)論,顯然,這與上述結(jié)論均有相悖之處,但是缺少進(jìn)一步的理論證明。

綜上所述,僅用基模來(lái)分析隧道內(nèi)電磁波的傳播特性不夠準(zhǔn)確。本文在研究較高次波模影響的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出多波模綜合作用下的衰減公式,建立了多波模傳輸理論,通過(guò)理論分析,仿真比較,所得結(jié)論與以往分析有所不同,但與已有測(cè)量數(shù)據(jù)[3,10,14],及幾何光學(xué)的仿真結(jié)論相一致,對(duì)隧道內(nèi)傳統(tǒng)波模理論進(jìn)行了修正。

2.矩形隧道多波模理論

假設(shè)在空直的礦井隧道內(nèi),主隧道橫截面為矩形,寬為a,高為b,采用直角坐標(biāo)系,原點(diǎn)位于隧道橫截面中心,x,y,z分別沿隧道的寬度、高度和長(zhǎng)度方向,如圖1所示。兩側(cè)壁的相對(duì)介電常數(shù)為ε1,頂?shù)變杀诘南鄬?duì)介電常數(shù)為ε2.

圖1 隧道模型

隧道內(nèi),只有直射波和掠射波才可以實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離傳輸[1]。如果接收機(jī)靈敏度所允許的最高次模為(),則被接收到的總波模數(shù)M為

設(shè)發(fā)射機(jī)發(fā)射功率恒定,平均分配給各次波模。(m,n)次模的衰減常數(shù)為L(zhǎng)(m,n),將發(fā)射功率歸一化,則電磁波傳播的衰減常數(shù)為

下面分別討論電磁波傳播時(shí)的反射損耗特性,由隧道壁粗糙度和傾斜度引起的散射損耗特性。暫不考慮天線在隧道內(nèi)的插入損耗。

2.1 隧道壁反射引起的傳播損耗

2.1.1 單波模作用下的損耗

根據(jù)馬卡梯里理論,波導(dǎo)中傳輸?shù)闹饕Ｊ綖?水平極化波與垂直極化波。首先分析水平極化波Eh的各場(chǎng)量表達(dá)式,由麥克斯韋方程與邊界條件[2]

式中:m為波模在水平方向的半波數(shù);n為波模在垂直方向的半波數(shù)。

kx、ky、k z滿足色散條件

根據(jù)公式(5)、切向電場(chǎng)與切向磁場(chǎng)連續(xù)的邊界條件可以求出kz

式中,k z的虛部表示了沿隧道傳輸方向的衰減。則(m,n)模式水平極化波Eh的反射損耗(dB)為

同理,可以計(jì)算出(m,n)模垂直極化波Ev的反射損耗

2.1.2 多波模作用下的損耗

根據(jù)隧道內(nèi)電磁波能遠(yuǎn)距離傳輸?shù)臈l件,這里把掠射角作為選擇高次模的依據(jù)。

假設(shè)(m,n)次波模入射到兩側(cè)壁和上下兩壁的掠射角分別為 φ1和 φ2,則有[11]

把公式(4)、(5)代入式(9)

電磁波入射到隧道側(cè)壁和頂?shù)妆跁r(shí),假設(shè)接收機(jī)靈敏度所允許的最大掠射角分別為φ1max和φ2max,由公式(10),可以得到滿足條件的最高次模為

代入到公式(1),則被接收到的總波模數(shù)M為

模式數(shù)目與頻率平方成正比,高次模的影響隨頻率的升高而增強(qiáng)。

將公式(7)、(11)和(12)代入式(2)得到水平極化波Eh的反射損耗

同理,可得垂直極化波Ev的反射損耗

電磁波反射損耗與頻率成反比。

2.2 隧道表面粗糙度造成的散射損耗

2.2.1 單波模作用下的損耗

根據(jù)Rayleigh判據(jù),假設(shè)隧道壁粗糙度服從均值為0,方差為σ2高斯分布,當(dāng)入射波以一定掠射角φ掠入射到隧道壁時(shí),入射波與反射波的相位差為Δφ=2kσsinφ,如果 Δφ＞π/2,即,則隧道表面是粗糙的。根據(jù)定義,可以推斷,電磁波頻率越高,波長(zhǎng)越短,由隧道壁粗糙造成的散射損耗應(yīng)越強(qiáng)。

首先,推導(dǎo)單次波模的粗糙度損耗公式。

反射波強(qiáng)度I與入射波強(qiáng)度I 0的比值為[15]

R0為不考慮粗糙度影響時(shí),入射波的反射系數(shù)。因此,由粗糙度引起的損耗因子為

把式(10)代入式(16),可以分別得到(m,n)波模在側(cè)壁和頂?shù)妆谏辖?jīng)歷一次反射后的粗糙度衰減因子

假設(shè)(m,n)模式的電磁波經(jīng)過(guò)傳播距離z后,在兩側(cè)壁上共反射了 N 1次,在頂?shù)妆谏瞎卜瓷淞薔2次,則[2]

根據(jù)公式(10)、(17)和(18),可推導(dǎo)出傳播距離z后的損耗因子

將公式(19)用dB表示

正如公式(20)所示,如果僅考慮給定的單一模式,很容易錯(cuò)誤地認(rèn)為粗糙度對(duì)電磁波衰落特性的影響隨頻率的升高會(huì)減少,衰減值與頻率成反比。但是,當(dāng)考慮了多波模的綜合作用后,結(jié)果將截然相反。

2.2.2 多波模作用下的損耗

將公式(11)、(12)和(20)代入式(2)得到由隧道壁粗糙度造成的散射損耗

根據(jù)公式(21),給定掠射角臨界值后,由粗糙度引起的衰落隨頻率的升高而增大,與根據(jù)粗糙度定義得出的推論結(jié)果相一致。

2.3 隧道壁傾斜造成的散射損耗

2.3.1 單波模作用下的損耗

實(shí)際的礦井隧道,頂壁和底壁可能存在大范圍的傾斜,假設(shè)傾斜角度為θ(rad),則電磁波在側(cè)壁和頂?shù)妆诘墓β蜀詈弦蜃觛1、g2分別是[2]

根據(jù)公式(10),(18)和(22),(m,n)模式的電磁波經(jīng)過(guò)傳播距離z后的損耗因子為

用d B表示

對(duì)于單波模電磁波,由隧道壁傾斜度引起的損耗與頻率成正比,而可考慮的波?？倲?shù)也隨頻率的平方增長(zhǎng),所以,傾斜度的影響在高頻時(shí)明顯。

2.3.2 多波模作用下的損耗

將公式(11)、(12)和(24)代入式(2)得到由多波模綜合作用下的散射損耗

3.多波模傳播特性仿真

假設(shè)一個(gè)寬為4 m,高為3 m的矩形空直隧道內(nèi),隧道壁的相對(duì)介電常數(shù)為10。壁表面的粗糙度標(biāo)準(zhǔn)方差σ=0.0749,傾斜度為1°。收發(fā)機(jī)距離為300 m。

1)反射損耗特性

圖2比較了基模和多波模綜合作用下,因反射引起的傳播損耗隨頻率的變化曲線。圖2(a)顯示,隨頻率的增加,基模的水平極化波與垂直極化波衰減系數(shù)收斂于零,文獻(xiàn)[2,8-12]據(jù)此判斷了電磁波的衰落特性。但由圖2(b)可以看出這一結(jié)論不夠準(zhǔn)確,隨頻率的升高,在多波模的綜合作用下,電磁波經(jīng)反射造成的損耗逐漸減小,但最終收斂于一個(gè)大于零的穩(wěn)定值。

因?yàn)椴?shù)目隨頻率的平方而增長(zhǎng),導(dǎo)致反射損耗始終存在。所以在分析隧道電磁波傳輸時(shí),考慮一些次數(shù)較低的高次波模是必須的。

此外,仿真隧道的截面寬度大于高度,垂直極化波的衰減值略大于水平極化波,這一結(jié)果與文獻(xiàn)[3]的測(cè)量結(jié)果一致。

2)粗糙度造成的散射損耗特性

圖3仿真了由隧道壁粗糙度造成的傳播損耗隨頻率的變化曲線。由圖可以直觀地看出基模和電磁波整體傳播特性的顯著差異。在高頻處,隧道壁粗糙度對(duì)傳播特性的影響不是減小至零,而是增強(qiáng),驗(yàn)證了幾何光學(xué)分析法的仿真結(jié)果[13]。這與文獻(xiàn)[2]的結(jié)論“粗糙度對(duì)電磁波傳播特性的影響在低頻時(shí)較為明顯”相悖。

在公式(20)中,粗糙度造成的散射損耗與其模式次數(shù)m和n的三次方成正比,而待考慮高次模的數(shù)量又與頻率的平方成正比,使得散射損耗隨頻率增長(zhǎng)的趨勢(shì)必然遠(yuǎn)大于單波模損耗下降的趨勢(shì)。

圖3 隧道壁粗糙表面造成的散射損耗與頻率的變化曲線

3)傾斜度造成的散射損耗特性

圖4為隧道壁傾斜度影響下的電磁波衰減隨頻率的變化曲線。受多波模的作用,傾斜度的影響隨頻率的增強(qiáng)趨勢(shì)更顯著。當(dāng)然,在高頻時(shí),傾斜度比粗糙度的影響大得多。

4)矩形空直隧道內(nèi)的傳播損耗

矩形空直隧道內(nèi)的傳播損耗為電磁波反射損耗、隧道壁粗糙度及傾斜度造成的散射損耗之和。

圖5給出了電磁波傳播損耗隨頻率的變化曲線。不難發(fā)現(xiàn),矩形空直隧道內(nèi),電磁波的最佳傳播頻段在500～1500 MHz之間,與文獻(xiàn)[10,14]根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)所得的分析結(jié)果相一致。

圖5 電磁波傳播損耗隨頻率的變化曲線

4.結(jié) 論

針對(duì)矩形空直隧道,首先定義了電磁波傳播中應(yīng)考慮波模的個(gè)數(shù)和最高次數(shù),然后推導(dǎo)出多波模綜合作用下的電磁波衰減公式,建立了多波模傳輸理論。通過(guò)理論分析與仿真比較,得出結(jié)論:

1)高次模對(duì)電磁波傳播特性的影響隨頻率的升高而增大,不可忽略。

2)在多波模的共同作用下,水平極化波和垂直極化波的衰減值及其差值隨頻率的升高而減小,并收斂在穩(wěn)定值。

3)隧道壁傾斜度、粗糙度對(duì)電磁波傳播特性的影響都在高頻時(shí)明顯,傾斜度的影響相對(duì)更大。

4)對(duì)隧道內(nèi)的電磁波傳播,500～1500 MHz是比較理想的低衰減頻段,該結(jié)論對(duì)隧道等有限空間通信頻率的選擇具有一定的參考價(jià)值。

綜上所述,電磁波傳播特性與基模特性之間存在很大的差異。上述結(jié)果與實(shí)際測(cè)量結(jié)果相一致,并在理論上驗(yàn)證了幾何光學(xué)仿真結(jié)果的正確性,修正了傳統(tǒng)只依靠單模分析的電磁波傳輸理論,對(duì)井下通信與控制系統(tǒng)的建立具有重要意義。

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