基于中心差分?jǐn)U展卡爾曼濾波的電源頻率估計(jì)

付 巍,朱 巖,付軍立,侯 毅

(中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司北京長(zhǎng)城測(cè)試計(jì)量技術(shù)研究所,北京 100095)

0 引言

隨著電子技術(shù)的發(fā)展,在飛機(jī)上安裝了越來越多的用電設(shè)備,一些用電設(shè)備的非線性負(fù)載特性以及交流電壓調(diào)制、頻率調(diào)制等因素的影響,使電路中的實(shí)際交流電壓發(fā)生畸變,飛機(jī)供電系統(tǒng)實(shí)際工作時(shí),電路中的交流電壓包含基波和諧波成分。有效、可靠的對(duì)電路中交流電壓的基頻和諧波成分的估計(jì)和監(jiān)控對(duì)于供電系統(tǒng)控制、電力質(zhì)量監(jiān)視和發(fā)電機(jī)保護(hù)都有重要的意義。

許多算法被研究出來,用于交流電壓基波頻率的估計(jì)和諧波頻率的分析。在這些算法中,卡爾曼濾波算法(KF)得到了廣泛的應(yīng)用[1]。對(duì)于觀測(cè)量是狀態(tài)變量的線性函數(shù)的情況,卡爾曼濾波算法可以得到狀態(tài)變量的最優(yōu)估計(jì),但對(duì)于觀測(cè)量是狀態(tài)變量的非線性函數(shù)的情況,卡爾曼濾波算法將產(chǎn)生很大的誤差。擴(kuò)展卡爾曼濾波算法和無跡卡爾曼濾波算法是解決這一問題的兩種有效的算法,擴(kuò)展卡爾曼濾波算法將觀測(cè)方程進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開,去掉二階以上的高階項(xiàng),使非線性的觀測(cè)方程線性化,其優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算速度快,實(shí)時(shí)性強(qiáng),但估計(jì)精度較低[2]。無跡卡爾曼濾波算法在目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的估計(jì)值附近進(jìn)行確定采樣,得到一些采樣點(diǎn),這些采樣點(diǎn)被稱為Sigma點(diǎn)。無跡卡爾曼濾波算法不同于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法之處在于無跡卡爾曼濾波算法不是對(duì)非線性函數(shù)的近似,而是對(duì)狀態(tài)隨機(jī)變量分布的近似,它使用真實(shí)的非線性模型,其優(yōu)點(diǎn)是估計(jì)精度高,但運(yùn)算速度慢,實(shí)時(shí)性不強(qiáng)[3]。為了提高飛機(jī)供電系統(tǒng)中交流電壓基波頻率估計(jì)的精度,同時(shí)減少計(jì)算復(fù)雜度,增強(qiáng)算法的實(shí)時(shí)性,采用中心差分的方法計(jì)算擴(kuò)展卡爾曼濾波算法中非線性函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),形成中心差分?jǐn)U展卡爾曼濾波算法。

1 飛機(jī)供電系統(tǒng)中交流電壓信號(hào)數(shù)學(xué)模型

在三相電路中,對(duì)于任意一組不對(duì)稱的三相向量,可以分解為三組三相對(duì)稱的向量,當(dāng)選擇A相作為基準(zhǔn)相時(shí),三相電壓向量與其對(duì)稱分量之間的關(guān)系為[4-6]:

式中 ,a=ej2π/3;a2=e-j2π/3;1+a+a2=0;a3=1;U A(n)、U B(n)、U C(n)為 三 相 電 壓 向 量;Uα(n)、Uβ(n)、U0(n)分別為A相電壓的正序、負(fù)序和零序分量。

在飛機(jī)供電系統(tǒng)中,交流電壓信號(hào)包含基波和諧波成分,三相電壓系統(tǒng)的離散傅里葉級(jí)數(shù)形式可被表示為:

Uak、Ubk、Uck分別為三相電壓k次諧波的峰值;φak、φbk、φck分別為三相電壓k次諧波的相位;kω為k次諧波電壓的角頻率,M表示電壓的諧波次數(shù),Ts表示采樣時(shí)間。

三相電壓系統(tǒng)k次諧波電壓可以用指數(shù)形式表示為:

ˉUAk=Uakejφak;ˉUBk=Ubkejφbk;ˉUCk=Uckejφck;則三相電壓系統(tǒng)k次諧波電壓的正序和負(fù)序瞬時(shí)值對(duì)稱分量分別表示為:

由式(1)、式(2)和式(3)可得:

式中,U*βk表示三相電壓系統(tǒng)k次諧波電壓的負(fù)序瞬時(shí)值對(duì)稱分量的共軛。式(4)包含有基頻電壓正序?qū)ΨQ分量,可以作為對(duì)飛機(jī)供電系統(tǒng)測(cè)量時(shí)的測(cè)量方程。測(cè)量方程是一個(gè)非線性的方程,需要使用能夠解決非線性方程的濾波算法對(duì)方程中的特性參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

2 基于中心差分的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法

擴(kuò)展卡爾曼濾波算法精度不高是因?yàn)樵趯⒂^測(cè)方程的非線性函數(shù)線性化時(shí)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開,只保留一階項(xiàng),而略去了一階以上的高階分量。如果在將觀測(cè)方程的非線性函數(shù)線性化時(shí)保留一階以上的高階分量,就可以提高擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的精度,中心差分?jǐn)U展卡爾曼濾波算法就是基于這一思想提出的。

2.1 理論分析

采用多項(xiàng)式近似技術(shù)和一階中心差分法計(jì)算非線性函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),具有二階非線性近似的能力[7-8]。

非線性函數(shù) y=f(x-u)和 y=f(x+u),分別在x處的泰勒級(jí)數(shù)展開式為:

式中,o1(u2)和o2(u2)表示泰勒級(jí)數(shù)展開式的二階以上的高階分量。

則由式(5)和式(6)得到中心差分的表達(dá)式:

式中,o(u2)=(o2(u2)-o1(u2));u表示中心差分的步長(zhǎng)。

從式(7)可以看出,f(x+u)-f(x-u)/2u不僅包含非線性函數(shù) f(x)的一階導(dǎo)數(shù)f′(x),還包含一階導(dǎo)數(shù)以上的高階分量o(u2)。在擴(kuò)展卡爾曼濾波算法中用中心差分公式代替原有的對(duì)非線性函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù),所得的結(jié)果將更接近于非線性函數(shù),所以基于中心差分的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的精度必然高于原有擴(kuò)展卡爾曼濾波算法。而且,這種算法的計(jì)算量與擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的計(jì)算量相當(dāng),所以這種算法完成一次狀態(tài)變量更新所用的時(shí)間與擴(kuò)展卡爾曼濾波算法相近。

2.2 算法流程

中心差分?jǐn)U展卡爾曼濾波算法單步流程如下:

預(yù)測(cè)狀態(tài)向量:

預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣:

殘差協(xié)方差矩陣:

應(yīng)用中心差分理論得:

式中,nx表示目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)向量的維數(shù),u表示中心差分的步長(zhǎng)。

濾波增益矩陣:

濾波輸出:

濾波誤差協(xié)方差矩陣:

3 仿真實(shí)例

輸入信號(hào)是三相交流電壓信號(hào),如圖1所示,其基波頻率為400 Hz,基波電壓信號(hào)的幅值是115 V,5次諧波的幅值為12 V,7次諧波的幅值為10 V,11次諧波的幅值為5 V,采樣時(shí)間為1 s,采樣周期為10μs。該輸入信號(hào)的頻譜如圖2所示。

圖1 供電系統(tǒng)三相畸變電壓信號(hào)Fig.1 The phase distortion signal of the power

圖2 供電系統(tǒng)三相畸變電壓頻譜Fig.2 The phase distortion spectrum of the power

選取的狀態(tài)方程和測(cè)量方程分別為:

式中,X(k)表示狀態(tài)向量,取

當(dāng) ω不變時(shí),狀態(tài)向量X(k)為線性函數(shù)。h(?)表示非線性映射函數(shù)[9]。

Z(k)=h(k,X(k))表示測(cè)量向量,當(dāng)ω不變時(shí),測(cè)量向量Z(k)為非線性函數(shù)。

W(k)為狀態(tài)噪聲矩陣。V(k)為測(cè)量噪聲矩陣。

則根據(jù)式(4),可以得到瞬態(tài)正序?qū)ΨQ分量的曲線,如圖3所示。將圖3所示的供電系統(tǒng)電壓瞬態(tài)正序?qū)ΨQ分量信號(hào)作為EKF、UKF和CDEKF濾波算法的輸入,得到通過3種濾波算法濾波后輸入信號(hào)基頻電壓的估計(jì)曲線如圖4-圖5所示。

圖3 供電系統(tǒng)電壓瞬態(tài)正序?qū)ΨQ分量Fig.3 Transient positive sequence symmetrical component of the power

圖4 3種濾波算法得到的基頻頻率估計(jì)曲線Fig.4 The frequency estimation curve of three kinds of filtering algorithms

圖5 3種濾波算法得到的基頻電壓估計(jì)曲線Fig.5 The fundamental frequency voltage curve of three kinds of filtering algorithm

表1給出了3種濾波算法經(jīng)過100次蒙特卡羅仿真后得到的輸入信號(hào)基頻電壓估計(jì)的均方根誤差(RMSE)和運(yùn)算時(shí)間。其中,t表示運(yùn)行100次蒙特卡羅仿真的時(shí)間,t′表示在一次完整的仿真中,每完成一次狀態(tài)向量更新所使用的時(shí)間。

表1 EKF、UKF和CDEKF的均方根誤差及運(yùn)算時(shí)間比較Tab.1 EKF,UKF and CDEKF the root mean square error and computational time compared

4 結(jié)論

本文采用中心差分方法計(jì)算擴(kuò)展卡爾曼濾波算法中非線性函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),形成了中心差分?jǐn)U展卡爾曼濾波算法。理論分析和仿真表明:CDEKF與EKF和UKF相比較,雖計(jì)算時(shí)間比EKF稍有增加,但比UKF的計(jì)算時(shí)間少;而計(jì)算精度比EKF有顯著提高,與UKF的計(jì)算精度相當(dāng)。因此,將CDEKF應(yīng)用于飛機(jī)供電系統(tǒng)電壓信號(hào)的頻率估計(jì)即可保證估計(jì)精度的要求又能縮短算法運(yùn)算的時(shí)間。

[1]Logothetis A,Evans R J,Sciacca L J.Bearings-Only Tracking Using Hidden M arkov Models[J].Proceedings of the 33rd Conference on Decision and Control,1998(4):3 301-3 302.

[2]Rao S K.Pseudo-linear estimator for bearings-only passive target tracking[J].IEE Proc Radnt.Sonar Navig,2001,148(1):16-22.

[3]Julier S J,Uhlmann J K,Durrant-Whyte H E.A new method for the nonlinear transformation of means and covariances in filters and estimators[J].IEEE Transactions Automatic Control,2000,45(3):477-482.

[4]Arindam Ghosh,Avinash Joshi.A new approach to load balancing and power factor correction in power distribution system[J].IEEE Transactions on Power Delivery,2000,15(1):417-421.

[5]John S Hsu.Instantaneous phaseor method for obtaining instantaneous balanced fundamental components for power quality control and continuous diagnostics[J].IEEE Transactions on Power Delivery,1998,13(4):1 494-1 500.

[6]Gerardus C Paap.Symmetrical components in the time domain and their application to power network calculations[J].IEEE Transactions on Power Systems,2000,15(2):522-528.

[7]陸金甫,關(guān)治.偏微分方程數(shù)值解法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004.

[8]巫春玲,韓崇昭.用于彈道目標(biāo)跟蹤的有限差分?jǐn)U展卡爾曼濾波算法[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào),2008,42(2):143-146.WU Chunling,HAN Chongzhao.Finite-difference extended Kalman Filtering algorithm for ballistic target tracking[J].Journal of Xi'an Jiao Tong University,2008,42(2):143-146.

[9]CUI Bowen.Positive Sequence and Frequency Estimation of Distorted Power Signals Using Extended Kalman Filter[J].Electrical Applications,2005,24(10):83-86.