柔性機構(gòu)動態(tài)可靠性分析的模糊響應(yīng)面方法

于霖沖

(1.北京航空航天大學,北京 100091;2.廈門理工學院,福建 廈門 361024)

0 引言

機構(gòu)中如果包含了一個或者多個易產(chǎn)生較大變形的細長構(gòu)件,這種細長構(gòu)件在運動過程中會產(chǎn)生變形與運動的耦合,動態(tài)參數(shù)會出現(xiàn)“波動”,通常將這種機構(gòu)叫做柔性機構(gòu)。柔性機構(gòu)運動副之間的摩擦和碰撞在柔性機構(gòu)運動過程中存在很大的不確定性。如果動態(tài)參數(shù)“波動”在安全臨界值附近,將使柔性機構(gòu)系統(tǒng)可靠性的判定更加復雜,增加了機構(gòu)系統(tǒng)的模糊性。隨著輕質(zhì)、高速的機械系統(tǒng)不斷出現(xiàn),構(gòu)件在速度和柔度上不斷加大,構(gòu)件的柔性變形也加大。在高精度和高可靠性的要求下,構(gòu)件變形已不能忽略[1]。因此,模糊隨機柔性機構(gòu)系統(tǒng)的動態(tài)性能可靠性研究具有十分重要的現(xiàn)實意義。

美國學者Zateh在20世紀70年代提出了模糊理論[2],在結(jié)構(gòu)靜態(tài)模糊可靠性分析方面取得了許多成就[3-8]。其中,白廣忱教授和王光遠院士對以可靠度為目標函數(shù)的大系統(tǒng)多目標優(yōu)化問題提出了模糊分配方法[3];Verma和Knezevic提出了概念設(shè)計階段機構(gòu)系統(tǒng)可靠度的模糊分配方法[4];Li Bing等[5]、董玉革等[6]、白廣忱和黃洪鐘等[7-9]的工作使模糊可靠性研究得到更加廣泛的應(yīng)用,但在機構(gòu)動態(tài)可靠性應(yīng)用上還有待進一步深入探索。本文在上述研究成果的基礎(chǔ)上,提出了一種柔性機構(gòu)動態(tài)性能可靠性分析的新方法。

1 模糊響應(yīng)面方法的基本理論

響應(yīng)面法(Response Surface Method,簡稱RSM)是由Bucher在20世紀90年代提出的,是在未知功能函數(shù)時進行可靠性分析的一種近似方法,在結(jié)構(gòu)靜態(tài)可靠性分析上取得了很好的效果[10]。

設(shè)xi(i=1,2,…,n)為可靠性分析中的n個任意分布的獨立隨機變量,由這些隨機變量表示的極限狀態(tài)方程為:

響應(yīng)面方法的基本思想就是重構(gòu)一個近似的極限狀態(tài)方程g′(x)來近似替代g(x):

常規(guī)重構(gòu)響應(yīng)面g′(x)的方法是利用不含交叉項的二次多項式表示響應(yīng)面函數(shù),待定系數(shù)為2n+1個:

式(3)可以通過系列確定性的實驗確定,解線性方程組得到2n+1個待定系數(shù),從而確定由二次多項式表示的響應(yīng)面函數(shù)。得到響應(yīng)面函數(shù)后,可以用一次二階矩方法求出可靠度指標和設(shè)計驗算點。通常情況下,初始迭代點一般取均值點,如不滿足可靠度指標的精度要求,經(jīng)線性插值得新的展開點,直到精度滿足要求。具體求解計算步驟見文獻[10]。

2 動態(tài)可靠性分析的模糊響應(yīng)面方法

傳統(tǒng)的RSM方法并沒有考慮模糊性,也沒有考慮安全失效狀態(tài)隨時間的動態(tài)變化。單純考慮隨機變量的傳統(tǒng)RSM方法失效狀態(tài)表達為:

如果考慮狀態(tài)的模糊性,將安全狀態(tài)和失效狀態(tài)分別作為狀態(tài)空間的模糊集合:模糊安全域D s和模糊失效域Df,對應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)為:

如果考慮安全失效狀態(tài)的模糊性,將安全狀態(tài)和失效狀態(tài)分別作為狀態(tài)空間的模糊安全域D s和模糊失效域D,考慮安全和失效狀態(tài)隨時間的動態(tài)變化,這時極限狀態(tài)函數(shù)為時變的模糊極限狀態(tài)函數(shù)(t):

特別地:當取 μf=0,μs=1 時,或者取 μf=1,μs=0時分別表示不考慮狀態(tài)模糊的情況。

在確定μf或 μs后,假設(shè)各個狀態(tài)Y(tj)之間相互獨立,可以求得失效概率為:

同理,動態(tài)可靠度為:

式(9)中,t∈T,f(yj,t)為Y(t)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。這里,顯然有:

考慮狀態(tài)模糊性,通過系列確定性的實驗將極限狀態(tài)函數(shù)轉(zhuǎn)化為區(qū)間函數(shù)[11-15]:

這樣,就將一個模糊響應(yīng)面由兩個確定的響應(yīng)面表達,通過一次二階矩方法分別求出對應(yīng)的驗算點和可靠度指標βL和βU,則:

根據(jù)模糊數(shù)學的分解定理,利用λ水平截集方法,可以求出可靠度指標β:

3 柔性機構(gòu)模糊動態(tài)可靠性計算實例

將柔性機構(gòu)系統(tǒng)作為一個動態(tài)模糊隨機系統(tǒng),其模糊性體現(xiàn)在機構(gòu)的模糊隨機動態(tài)響應(yīng)和動態(tài)參數(shù)的模糊失效狀態(tài)上面,通過多柔體系統(tǒng)動力學分析,求出模糊隨機變量的動態(tài)響應(yīng),利用響應(yīng)面重構(gòu)極限狀態(tài)方程。

3.1 柔性機構(gòu)模型

圖1為空間站柔性展開機構(gòu)平面模型[3-5]。機構(gòu)系統(tǒng)由B0—B15共16個構(gòu)件組成。通過B8和B11兩臺電機驅(qū)動螺旋副B7和B12,使得B0和B3之間的距離以及B3和B6之間的距離縮短,完成機構(gòu)的展開運動,圖1所示為機構(gòu)完全展開的狀態(tài)。機構(gòu)系統(tǒng)中的大尺寸輕質(zhì)構(gòu)件 B 、B 、B 、B 、B 、B 和B15在展開過程中會產(chǎn)生較大的變形,將它們作為等截面均質(zhì)柔性梁,展開機構(gòu)中的其它構(gòu)件視為剛體,展開機構(gòu)為一個包含7個柔性構(gòu)件的柔性機構(gòu)。

圖1 展開機構(gòu)Fig.1 Expand mechanism

根據(jù)多柔體系統(tǒng)動力學原理,利用Lagrange乘子法建立廣義的柔性機構(gòu)動力學方程為[1]:

根據(jù)式(14)進行仿真,以柔性構(gòu)件B2的角加速度為研究對象,確定性仿真結(jié)果如圖2所示,機構(gòu)動態(tài)響應(yīng)由于耦合的原因非線性程度較高。

圖2 動態(tài)響應(yīng)Fig.2 Dynamical response

確定柔性機構(gòu)系統(tǒng)的隨機變量為:驅(qū)動力矩M d、摩擦力矩M f(單位n?mm)、驅(qū)動時間t(單位s)、阻尼系數(shù)f以及裝配誤差(為便于計算,以坐標x p和yp表示,單位mm)。表1為隨機變量設(shè)計值和方差、100組抽樣數(shù)據(jù)的均值和方差。

3.2 柔性機構(gòu)模糊響應(yīng)面分析

給定模糊集合Ds的隸屬度μs,本文采用最常用的正態(tài)分布隸屬度函數(shù),設(shè)X(t)為機構(gòu)在t時刻的動態(tài)響應(yīng),則μ為:

式中,a(t)為模糊參數(shù),根據(jù)專家經(jīng)驗確定;b(t)為t時刻模糊分布的標準差。

根據(jù)表1數(shù)據(jù)進行最大角加速度的動態(tài)仿真,確定構(gòu)件B2的最大角加速度的設(shè)計規(guī)定值為aθ2≤4.7 rad/s2。再根據(jù)式(11),在上述分析的基礎(chǔ)上可以計算由兩個確定的響應(yīng)面表達的模糊響應(yīng)面。確定模糊分布參數(shù)b(t)為0.01,通過一次二階矩方法分別求出對應(yīng)的可靠度指標βL和βU分別為4.689 8和4.710 8,迭代次數(shù)為5次。由式(13)計算得到一定模糊水平截集下的可靠度,計算結(jié)果為0.936 2。

4 結(jié)論

考慮狀態(tài)模糊的情況確定柔性機構(gòu)的動態(tài)可靠度更加符合工程實際,模糊響應(yīng)面方法為可靠性分析提供了一種新方法。

通過柔性機構(gòu)實例仿真分析,證明該方法具有迭代次數(shù)少,計算速度快,精度高的優(yōu)點,適合于復雜系統(tǒng)的仿真,尤其在隨機變量數(shù)量較多的情況下,可以極大縮減計算時間,節(jié)約計算成本。

該方法具有很強的拓展性,可以按照本文方法求解其他運動參數(shù)的可靠度。

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