求解動(dòng)態(tài)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題的解耦算法①

黃 偉，劉明波，賴永生

(1.廣東電網(wǎng)公司佛山供電局，佛山 528000;2.華南理工大學(xué)電力學(xué)院，廣州 510640;3.廈門超高壓輸變電局，廈門 361004)

動(dòng)態(tài)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題是根據(jù)未來(lái)一天各負(fù)荷母線的有功和無(wú)功變化曲線，通過(guò)調(diào)節(jié)并聯(lián)電容器組的出力及有載調(diào)壓變壓器的分接頭，在滿足各種約束條件下使整個(gè)電網(wǎng)的電能損耗最小。

迄今，已提出多種動(dòng)態(tài)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算方法。文獻(xiàn)[1～5]采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法或混合法確定在未來(lái)一天24小時(shí)內(nèi)安裝在饋線上的電容器的投切方案或變電站內(nèi)的電容器和有載調(diào)壓變壓器的控制方案。由于需要給出未來(lái)24小時(shí)的控制策略，不得不采用各種方法縮小搜索空間。文獻(xiàn)[6]把配電網(wǎng)絡(luò)分成饋線和主站兩部分，先對(duì)每條饋線單獨(dú)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求出各電容器的投切序列，再對(duì)主站用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法進(jìn)行一次總的全網(wǎng)優(yōu)化。文獻(xiàn)[7]將配電網(wǎng)絡(luò)的電壓無(wú)功控制問(wèn)題分解為變電站內(nèi)的電容器和有載調(diào)壓變壓器控制子問(wèn)題與安裝在饋線上的電容器投切子問(wèn)題，分別用簡(jiǎn)化的動(dòng)態(tài)規(guī)劃法和模糊控制算法求解這2個(gè)子問(wèn)題，并提出了協(xié)調(diào)2個(gè)子問(wèn)題的方法。文獻(xiàn)[8]根據(jù)網(wǎng)損在各時(shí)段的分布，并對(duì)對(duì)應(yīng)的負(fù)荷曲線進(jìn)行分段，采用等面積原則把負(fù)荷曲線等值成階躍曲線，并且使階躍數(shù)小于或等于設(shè)備的動(dòng)作次數(shù)，從而把動(dòng)態(tài)優(yōu)化等效成若干個(gè)時(shí)段的靜態(tài)優(yōu)化。文獻(xiàn)[9]給出了完整的動(dòng)態(tài)無(wú)功優(yōu)化模型，先通過(guò)啟發(fā)式規(guī)則確定并聯(lián)電容器組及有載調(diào)壓變壓器分接頭的動(dòng)作序列，再簡(jiǎn)化動(dòng)態(tài)無(wú)功優(yōu)化模型，并將該模型轉(zhuǎn)化為靜態(tài)優(yōu)化模型，從而可用常規(guī)的優(yōu)化方法求解。文獻(xiàn)[10]提出了配電網(wǎng)無(wú)功優(yōu)化的分時(shí)段控制策略，且所分負(fù)荷時(shí)段總數(shù)即為電容器組的最大調(diào)節(jié)次數(shù)。文獻(xiàn)[11]將模糊集理論應(yīng)用于配電網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)無(wú)功優(yōu)化的建模，并采用模擬退火算法求解。文獻(xiàn)[12]提出了一種動(dòng)態(tài)無(wú)功優(yōu)化算法。該算法較好地解決了變量離散化和限制控制設(shè)備動(dòng)作次數(shù)之間的配合問(wèn)題，但隨著系統(tǒng)規(guī)模的擴(kuò)大，其計(jì)算量會(huì)急劇增加，甚至可能會(huì)出現(xiàn)數(shù)值精度問(wèn)題。

本文在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上，提出基于近似牛頓方向的解耦方法，以提高算法的計(jì)算效率;并結(jié)合一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證。

1 動(dòng)態(tài)無(wú)功優(yōu)化模型和其基本算法

設(shè)系統(tǒng)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、u臺(tái)有載調(diào)壓變壓器、m臺(tái)發(fā)電機(jī)，有r個(gè)節(jié)點(diǎn)裝設(shè)可投切電容器組。為了方便，設(shè)1號(hào)節(jié)點(diǎn)為平衡節(jié)點(diǎn)。將全天等分為24個(gè)時(shí)段，從而將各負(fù)荷母線的全天有功和無(wú)功變化曲線分為24段，并認(rèn)為各時(shí)間段中的負(fù)荷有功和無(wú)功功率保持恒定。于是以系統(tǒng)全天電能損耗最小為目標(biāo)函數(shù)的無(wú)功優(yōu)化模型可以描述為

式中:E為全天能量損耗;t=0，1，2，…，23;f(x1(t)，x2(t)，x3(t))為第t時(shí)段的有功損耗;g(x1(t)，x2(t)，x3(t))=0為第t時(shí)段的節(jié)點(diǎn)功率平衡方程，g(x1(t)，x2(t)，x3(t))∈ R(2n);x1(t)為第 t時(shí)段的有約束離散控制變量列向量∈R(p)，p=r+u;QC(t)為第t時(shí)段可投切電容器組的無(wú)功出力列向量，QC(t)∈R(r);TK(t)為第t時(shí)段有載調(diào)壓變壓器的變比列向量，TK(t)∈R(u);x2(t)為第t時(shí)段的連續(xù)有約束變量列向量，x2(t) =∈ R(q)，q=m+n;QG(t)為第t時(shí)段發(fā)電機(jī)的無(wú)功出力列向量，QG(t)∈R(m);V(t)為第t時(shí)段節(jié)點(diǎn)電壓幅值列向量，V(t)∈R(n);下標(biāo)max和min分別表示變量的上限和下限;x3(t)為第t時(shí)段的無(wú)約束連續(xù)變量列向量，x3(t)=[PG1(t)，θ2(t)，θ3(t)，…，θn(t)]T∈R(n);PG1(t)為第t時(shí)段平衡發(fā)電機(jī)有功出力;θi(t)(i=2，3，…，n)為第t時(shí)段節(jié)點(diǎn)電壓相角列向量|表示控制設(shè)備(可投切電容器組和有載調(diào)壓變壓器分接頭)全天24小時(shí)內(nèi)的動(dòng)作次數(shù)約束列向量;Sx1為控制設(shè)備調(diào)節(jié)步長(zhǎng)對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素分別對(duì)應(yīng)于電容器組無(wú)功出力和變壓器分接頭的調(diào)節(jié)步長(zhǎng)，Sx1∈R(p×p);Cx1為控制設(shè)備動(dòng)作次數(shù)約束列向量，其元素分別對(duì)應(yīng)于可投切電容器組和有載調(diào)壓變壓器分接頭的全天最大允許動(dòng)作次數(shù)MADSON(maximum allowable daily switching operation number)，Cx1∈ R(p)。

采用引入了離散懲罰的非線性內(nèi)點(diǎn)法求解該模型，最后可得到降階修正方程為

求解修正方程(6)，可得到原變量和對(duì)偶變量的修正方向?yàn)?Δ x1(t)、Δ x2(t)、Δ x3(t)、Δy(t)，t=0，1，2，…，23。詳細(xì)的求解過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)[12]。

可見(jiàn)，算法的計(jì)算量主要集中在對(duì)修正方程(6)的求解上。隨著系統(tǒng)規(guī)模的增大，和優(yōu)化變量的增多，求解所需的計(jì)算時(shí)間會(huì)急劇增長(zhǎng)。因此有必要尋求一種有效的方法去解決這個(gè)問(wèn)題。

2 基于近似牛頓方向的解耦算法

2.1 修正方程的解耦形式

為方便討論，把原問(wèn)題式(1)～式(5)簡(jiǎn)寫成

式中:F為目標(biāo)函數(shù)，具有可分離形式;t=0，1，2，…，23;Xi表示第i個(gè)時(shí)段所有變量構(gòu)成的列向量;式(9)表示第t時(shí)段的所有等式約束方程，不等式約束(3)和(4)可以通過(guò)引入松弛變量轉(zhuǎn)化為等式約束;式(8)表示控制設(shè)備的動(dòng)作次數(shù)約束方程，對(duì)應(yīng)不等式約束(5)。

可見(jiàn)，由于控制設(shè)備的動(dòng)作次數(shù)約束方程(8)的存在，h(X0，X1，…，X23)是 24個(gè)時(shí)段各變量的函數(shù)，這個(gè)約束導(dǎo)致修正方程要聯(lián)立求解[12]。

如果要實(shí)現(xiàn)對(duì)修正方程的解耦分解，就必須將方程(8)進(jìn)行分組，其組數(shù)N應(yīng)該小于或等于24。并假定:對(duì)于第t組方程，優(yōu)化變量只有Xt，其余的X1，X2，…，Xt-1，Xt+1 ，…，X23 均為常數(shù) 。

根據(jù)這一思想，可以把方程(8)展開(kāi)寫成N組方程為

為了討論問(wèn)題的簡(jiǎn)便，此處假定N=24。在方程(10)中，各方程的維數(shù)定為

此時(shí)，解耦后的動(dòng)態(tài)無(wú)功優(yōu)化模型可寫為

用引入了離散懲罰的非線性內(nèi)點(diǎn)法求解解耦模型(11)～(13)，得到修正方程為

式(14)還可以進(jìn)一步寫成解耦形式，即

對(duì)于N ＜24的情況，同樣可以得出類似(15)的修正方程。

式(15)是一個(gè)維數(shù)比式(6)小很多的方程組，容易求解。

2.2 收斂性分析

按上述方法進(jìn)行計(jì)算，僅僅是完成了一次牛頓迭代求解，得到的只是近似牛頓方向，這并不一定能保證算法的收斂性[13]。

將第k次迭代時(shí)得到的修正方程(6)表示為

而采用解耦方法分解后的修正方程表示為

考慮到在不斷擴(kuò)大的系統(tǒng)規(guī)模面前，修正方程組(6)的維數(shù)也將越來(lái)越大，最終可能會(huì)在求解過(guò)程中引起數(shù)值誤差。本文以為預(yù)處理器，以作為迭代初值，采用求解大型稀疏非對(duì)稱線性方程組中常用的GMRES算法[14，15]，再次求解修正方程(6)，得到修正方向 Δk。

2.3 計(jì)算步驟

綜上所述，每一次迭代都可以分為以下步驟完成:

步驟1 形成修正方程(6)，簡(jiǎn)寫為式(16);

步驟2 對(duì)離散變量和約束適當(dāng)分組，將修正方程解耦分解成式(17);

步驟5 用 Δk作為迭代步長(zhǎng)，修正各變量，進(jìn)入下一次迭代過(guò)程。

3 算例分析

3.1 試驗(yàn)系統(tǒng)

該系統(tǒng)包括1個(gè)220 kV變電站(鹿鳴站)和4個(gè)110 kV變電站(景泰站、盤福站、越秀站、文德站)，控制范圍從220 kV站進(jìn)線端到10 kV出線端，如圖1所示。220 kV和110 kV母線電壓范圍限定為1.00～1.07(標(biāo)幺值，以線路額定電壓為基準(zhǔn))。

圖1 鹿鳴電網(wǎng)正常運(yùn)行方式接線圖Fig.1 Connection diagram of luming electric power network

鹿鳴網(wǎng)正常運(yùn)行方式下，有6臺(tái)有載調(diào)壓變壓器參與運(yùn)行，分別為:鹿鳴 2#變、景泰2#變、景泰3#變、盤福1#變、越秀1#變、文德2#變。變壓器檔位范圍:鹿鳴2#變?yōu)?1.03±8×0.015)，其余均為(1±8×0.015)。每臺(tái)變壓器低壓側(cè)母線的電壓合格范圍均為1.00～1.07。所帶負(fù)荷有6個(gè)，每個(gè)負(fù)荷母線均裝設(shè)可投切并聯(lián)電容器組。電容器組配置情況見(jiàn)表1，用標(biāo)幺值表示?；鶞?zhǔn)功率選定為100 MVA。

表1 可投切電容器組配置情況Tab.1 Configuration of switchable capacitor banks

以2001年9月10日的24小時(shí)負(fù)荷數(shù)據(jù)及網(wǎng)絡(luò)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。本文所用的優(yōu)化程序用C語(yǔ)言編寫，在Visual C++6.0環(huán)境編譯。所用計(jì)算機(jī)為Pentium Ⅳ2.8G，內(nèi)存256 M。

3.2 優(yōu)化結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文提出方法的正確性和可行性，本文對(duì)兩種方法做了比較:(1)本文提出的解耦分解方法，用方法一表示;(2)文獻(xiàn)[12]提出的方法，用方法二表示。表2列出了部分MADSON取值時(shí)，由兩種優(yōu)化方法得到的能量損耗、迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間的比較。

表3和表4分別列出了兩種動(dòng)態(tài)無(wú)功優(yōu)化方法變壓器分接頭動(dòng)作次數(shù)和電容器組投切次數(shù)的比較，限于篇幅，這里僅列出了動(dòng)作次數(shù)約束值取11和26的結(jié)果。

表2 能量損耗、迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間比較Tab.2 Comparison of energy loss，number of iteration and execution time

表3 變壓器分接頭動(dòng)作次數(shù)比較Tab.3 Comparison of transformer tap switching operations

表4 電容器組投切動(dòng)作次數(shù)比較Tab.4 Comparison of capacitor switching operations

從表2可以看到，當(dāng)動(dòng)作次數(shù)約束較為嚴(yán)格時(shí)，方法一的迭代次數(shù)增加，這證明方法一的收斂性不如方法二好;但當(dāng)動(dòng)作次數(shù)約束相對(duì)寬松時(shí)，方法一的計(jì)算時(shí)間比方法二短，這證明方法一的計(jì)算速度較優(yōu)，系統(tǒng)規(guī)模越大這種優(yōu)勢(shì)將會(huì)越明顯。這為方法二隨著系統(tǒng)規(guī)模的擴(kuò)大其計(jì)算量急劇增加的缺點(diǎn)提供了一種解決途徑。

從表2還可看到，無(wú)論MADSON取值如何，方法一和方法二的能量損耗都比較接近，表3和表4的比較也表明了兩種方法在限制變壓器分接頭和電容器組動(dòng)作次數(shù)上取得的效果相當(dāng)，甚至方法一還略有優(yōu)勢(shì)。這些都證明了本文算法的正確性和可行性。

4 結(jié)論

本文提出了一種將修正方程分解成若干個(gè)獨(dú)立的子修正方程的動(dòng)態(tài)無(wú)功優(yōu)化解耦算法。這在理論上既解決了動(dòng)態(tài)無(wú)功優(yōu)化中變量離散化的難題，又避免了算法的計(jì)算量和所需存儲(chǔ)空間隨著系統(tǒng)規(guī)模的擴(kuò)大而急劇增大的困境。為求解大規(guī)模電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題提供了新的思路。

為了保證解耦分解算法的收斂性，必須對(duì)其得到的近似牛頓方向進(jìn)行修正?？紤]到GMRES算法求解大型稀疏非對(duì)稱線形方程組的有效性，本文提出用GMRES算法對(duì)近似牛頓方向進(jìn)行修正，并證明了修正后的算法能滿足收斂性的要求。

以廣州鹿鳴電網(wǎng)作為算例分析，取得了較為理想的結(jié)果，并與同一系統(tǒng)用文獻(xiàn)[12]提出的方法的結(jié)果進(jìn)行了比較分析。對(duì)比結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的正確性和可行性。

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