高等代數(shù)學(xué)習(xí)中的困惑與解決對(duì)策

歐陽(yáng)倫群，歐陽(yáng)倫鍵

(1．湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201； 2. 洞口縣文昌中學(xué)，湖南 洞口 422300)

高等代數(shù)學(xué)習(xí)中的困惑與解決對(duì)策

歐陽(yáng)倫群，歐陽(yáng)倫鍵

(1．湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201； 2. 洞口縣文昌中學(xué)，湖南 洞口 422300)

學(xué)生在學(xué)習(xí)高等代數(shù)時(shí)普遍存在不知高等代數(shù)為何物、有何用與如何學(xué)的困惑。解決這些困惑的對(duì)策是教師在綜合分析教材體系的基礎(chǔ)上闡明矩陣是高等代數(shù)的核心內(nèi)容，在適當(dāng)介紹背景知識(shí)和知識(shí)演變過(guò)程的基礎(chǔ)上展示高等代數(shù)的廣泛應(yīng)用；在多方面注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的基礎(chǔ)上提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力。

困惑；矩陣；高等代數(shù)

高等代數(shù)課程是大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程之一。其教學(xué)質(zhì)量的好壞，直接關(guān)系到初等數(shù)論、近世代數(shù)、線性規(guī)劃等多門(mén)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，也是考研能否取得成功的關(guān)鍵。面對(duì)如此重要的一門(mén)基礎(chǔ)課程，有種現(xiàn)象卻不能不引起我們的關(guān)注與思考，這就是：學(xué)生也知道高等代數(shù)課程的重要性,也花費(fèi)了不少時(shí)間和精力，學(xué)習(xí)成績(jī)卻提高緩慢；很多任課老師感到費(fèi)了不少精力，想盡了各種辦法，教學(xué)效果總是不盡人意。問(wèn)題的癥結(jié)在哪里？如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高高等代數(shù)課程的教學(xué)質(zhì)量？這是所有教高等代數(shù)課程老師不得不嚴(yán)肅思考的問(wèn)題。我們經(jīng)過(guò)多年調(diào)查研究并結(jié)合實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)課程過(guò)程的仔細(xì)觀察，歸納總結(jié)了學(xué)生在學(xué)習(xí)高等代數(shù)中出現(xiàn)的種種困惑，并對(duì)出現(xiàn)這些困惑的原因進(jìn)行了分析，同時(shí)提出解決這些困惑的行之有效方法。

1 學(xué)生的困惑及原因分析

困惑之一是不知高等代數(shù)為何物。表現(xiàn)為：1)不知高等代數(shù)研究對(duì)象,對(duì)高等代數(shù)課程缺乏宏觀整體把握和認(rèn)識(shí)；2)不知高等代數(shù)研究方法，在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到問(wèn)題時(shí)，找不到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)；3)不知高等代數(shù)與初等代數(shù)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，在學(xué)習(xí)中無(wú)法順利完成從已有知識(shí)到新知的遷移。出現(xiàn)此種困惑，歸納起來(lái)，主要是由以下原因造成的：一是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生一初進(jìn)大學(xué)，缺乏對(duì)本課程的整體感知。二是學(xué)生比較熟悉的是初等代數(shù)，研究對(duì)象和人們的生活實(shí)際比較接近，非常具體也非常直觀。而高等代數(shù)研究的是代數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)與運(yùn)算規(guī)律，已經(jīng)高度脫離了人們的生活實(shí)際，具有很高的抽象性。那種高度抽象化的理論體系和嚴(yán)密的邏輯推理方法，對(duì)剛進(jìn)入大學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，往往有點(diǎn)不太適應(yīng)，不能熟練運(yùn)用和掌握。三是許多老師在高等代數(shù)的教學(xué)實(shí)踐中，只重視本課程新知的傳授，對(duì)所教知識(shí)點(diǎn)是如何從初等代數(shù)逐步演變成高等代數(shù)的發(fā)展過(guò)程，教學(xué)中很少涉及，造成學(xué)生找不到高等代數(shù)與初等代數(shù)聯(lián)系的橋梁，無(wú)法順利完成從舊知到新知的遷移。

困惑之二是不知高等代數(shù)有何用。具體表現(xiàn)在：1)不知高等代數(shù)對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)理論體系的發(fā)展與完善有何用；2)不知高等代數(shù)對(duì)其他相關(guān)學(xué)科的發(fā)展與完善有何用；3)不知高等代數(shù)對(duì)人類(lèi)生產(chǎn)生活實(shí)踐有何用；4)不知高等代數(shù)將來(lái)對(duì)促進(jìn)自己事業(yè)發(fā)展，幫助自己成才有何用。前3個(gè)“不知有何用”之所以出現(xiàn)，除學(xué)生剛進(jìn)入大學(xué)，知識(shí)儲(chǔ)備還不多、視野還不夠開(kāi)闊、缺乏對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的了解等主觀原因外，還有一部分原因是由于在高等代數(shù)的課堂教學(xué)中，大多數(shù)老師采用的仍是一支粉筆、一塊黑板、一本教科書(shū)的傳統(tǒng)教學(xué)模式，偏重書(shū)本知識(shí)的傳授，忽視對(duì)所教知識(shí)點(diǎn)的背景和應(yīng)用前景介紹，忽視所教理論知識(shí)與實(shí)際生活實(shí)踐的聯(lián)系，造成很多學(xué)生在學(xué)習(xí)高等代數(shù)過(guò)程中，既不知高等代數(shù)理論在整個(gè)數(shù)學(xué)理論體系中的地位和作用，又看不到高等代數(shù)中相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用背景。第四個(gè)“不知何用”之所以出現(xiàn)，其原因是：數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，尤其是師范類(lèi)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，畢業(yè)后多數(shù)從事初等數(shù)學(xué)教學(xué)。他們渴望知道高等代數(shù)與初等代數(shù)的聯(lián)系，學(xué)好高等代數(shù)課程在哪些方面對(duì)他們今后的教學(xué)工作有幫助。然而大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)教高等代數(shù)的老師雖然有非常扎實(shí)的知識(shí)功底，但大多沒(méi)有從事初等數(shù)學(xué)教學(xué)的工作經(jīng)歷，對(duì)初等數(shù)學(xué)教材體系并不熟悉，課堂上對(duì)高等代數(shù)與初等代數(shù)的聯(lián)系講得比較少，使得一部分學(xué)生沒(méi)有意識(shí)到高等代數(shù)知識(shí)對(duì)于自己將來(lái)成為一名優(yōu)秀的中學(xué)數(shù)學(xué)老師有多么重要。

困惑之三是不知高等代數(shù)如何學(xué)。具體表現(xiàn)是：1)不知如何學(xué)習(xí)高等代數(shù)中的概念、定義與定理等新知。學(xué)生常常出現(xiàn)這種情況：老師上課時(shí)覺(jué)得課堂知識(shí)還算容易，好像聽(tīng)懂了，弄明白了，老師一走，又覺(jué)得什么也沒(méi)學(xué)到。課后花了相當(dāng)多時(shí)間精力來(lái)消化吸收，學(xué)習(xí)效果還不盡人意。2)不知如何解答高等代數(shù)課后習(xí)題。課堂上例題，老師講解時(shí)覺(jué)得不難，一旦單獨(dú)面對(duì)課后習(xí)題便束手無(wú)策。3)面對(duì)高等代數(shù)，不知如何復(fù)習(xí)。打開(kāi)高等代數(shù)課本，看到的是一大堆復(fù)雜繁瑣的概念、定義、定理與性質(zhì)，千頭萬(wàn)緒，不知如何入手，畏難情緒油然而生。造成此種困惑的原因之一是大學(xué)數(shù)學(xué)有一套有別于中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，學(xué)生剛進(jìn)入大學(xué)，還沒(méi)有找到學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的鑰匙和方法，由于思維的慣性，許多同學(xué)仍沿襲中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，事事依賴(lài)?yán)蠋?，缺乏學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和解決問(wèn)題的獨(dú)立性。正是這種曾經(jīng)熟悉的中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法面臨淘汰，而新的學(xué)習(xí)方法還沒(méi)有建立的尷尬造成了學(xué)生不知如何學(xué)的困惑。

2 解決困惑的對(duì)策

要解決困惑之一，需做好以下幾個(gè)方面的工作：1)老師在教學(xué)中必須闡明高等代數(shù)的課程體系，并在分析課程體系內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上讓學(xué)生明白高等代數(shù)研究的主要對(duì)象。目前國(guó)內(nèi)高校大多采用北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編的《高等代數(shù)》教程。此教程體系的編排順序是：多項(xiàng)式行列式線性方程組矩陣二次型線性空間線性變換矩陣歐式空間雙線性函數(shù)代數(shù)基本問(wèn)題介紹。由于判別線性方程組有解還是無(wú)解、在有解的情況下是有唯一解還是有無(wú)窮多個(gè)解，都是通過(guò)比較方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩來(lái)實(shí)現(xiàn)的；二次型是研究如何利用矩陣的合同變換化二次齊次多項(xiàng)式為標(biāo)準(zhǔn)型；線性空間、線性變換、歐式空間及雙線性函數(shù)都與矩陣密不可分。因此矩陣是高等代數(shù)研究的主要對(duì)象也是其核心內(nèi)容，貫穿于高等代數(shù)的始終。高等代數(shù)實(shí)際上就是一門(mén)研究矩陣相關(guān)知識(shí)的科學(xué)。2)教師在教學(xué)中必須闡明高等代數(shù)的研究方法。高等代數(shù)的研究方法通常是先從許多具體的例子中抽象出某個(gè)概念，然后通過(guò)代數(shù)的方法對(duì)這一概念進(jìn)行研究，得到一般的結(jié)論，最后再將這些結(jié)論返回到具體的例子中，得到各種運(yùn)用。因此，“具體-抽象-具體”，這便是高等代數(shù)研究問(wèn)題的方法。要學(xué)好高等代數(shù)，必須正確認(rèn)識(shí)抽象和具體的辯證關(guān)系，在抽象和具體之間找到結(jié)合點(diǎn)。只有讓學(xué)生明白高等代數(shù)的研究方法，他們?cè)趯W(xué)習(xí)高等代數(shù)的過(guò)程中，才會(huì)主動(dòng)地通過(guò)大量具體的例子去理解抽象的概念和定理，再將概念與定理的結(jié)論運(yùn)用到具體的例子中，加深對(duì)概念與定理的理解和掌握，并在深入理解概念與定理的同時(shí)去發(fā)現(xiàn)和證明一些新的結(jié)果。3)教師在教學(xué)中必須闡明高等代數(shù)與初等代數(shù)的聯(lián)系。事實(shí)上高等代數(shù)中有許多知識(shí)點(diǎn)就是初等代數(shù)知識(shí)的深化，與學(xué)生熟悉的初等代數(shù)有非常緊密的聯(lián)系。教師上課中講清這些聯(lián)系，有利于克服學(xué)生的畏難情緒，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和信心。例如：在講多項(xiàng)式理論時(shí)，告訴學(xué)生高等代數(shù)中的多項(xiàng)式理論就是初等代數(shù)中因式分解知識(shí)的進(jìn)一步深化。在初等代數(shù)中，因式分解、一元方程求根和不等式求解等，都必須把一個(gè)多項(xiàng)式分解成最簡(jiǎn)因式乘積，但到底分解到什么時(shí)候才是最簡(jiǎn)，初等代數(shù)并沒(méi)有給出明確的判別法則，通常是憑經(jīng)驗(yàn)去判斷。高等代數(shù)中的多項(xiàng)式理論就是對(duì)這一知識(shí)的全面闡述，明確回答了多項(xiàng)式能不能進(jìn)行分解和分解到何時(shí)才最簡(jiǎn)的問(wèn)題。學(xué)生明白了高等代數(shù)中多項(xiàng)式理論與初等代數(shù)的關(guān)系，學(xué)起多項(xiàng)式理論來(lái)就目的明確，輕松許多。在講線性方程組這一章時(shí)，可以給學(xué)生作如下分析講解：三元、四元線性方程組的求解，我們?cè)诔醯却鷶?shù)中已經(jīng)學(xué)過(guò)，通常是用加減消元法來(lái)求解的，很自然地，我們就會(huì)想到n元線性方程組怎么求解的問(wèn)題。在高等代數(shù)中，我們是用高斯消元法來(lái)求n元線性方程組的解。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)高等代數(shù)中高斯消元法就是初等代數(shù)中的加減消元法。學(xué)生明白了這一點(diǎn)，畏難情緒就會(huì)少很多。在講Cramer法則時(shí)，告訴學(xué)生在方程組有唯一解的情況下，我們可以用高斯消元法去求解，也可以用Cramer法則求解。盡管用Cramer法則求解需要計(jì)算n+1個(gè)n階行列式的值，用人工計(jì)算非常麻煩，但采用計(jì)算編程卻比用高斯消元法更為簡(jiǎn)便。故Cramer法則也是一種非常重要的求根法則?？傊寣W(xué)生弄清了高等代數(shù)與初等代數(shù)的淵源關(guān)系，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)高等代數(shù)并不神秘，是完全可以學(xué)好的。

要解決困惑之二，我們的對(duì)策是：1)教學(xué)中結(jié)合所教內(nèi)容，適當(dāng)補(bǔ)充背景知識(shí)介紹，簡(jiǎn)要介紹所教知識(shí)的發(fā)展演變過(guò)程，既能讓學(xué)生領(lǐng)略歷史上偉大代數(shù)學(xué)家的風(fēng)采，了解他們對(duì)代數(shù)及其它相關(guān)學(xué)科的發(fā)展所做的偉大貢獻(xiàn)，又能讓學(xué)生體會(huì)到代數(shù)對(duì)其它學(xué)科的發(fā)展所產(chǎn)生的巨大推動(dòng)作用。例如：在講多項(xiàng)式理論時(shí)，適當(dāng)介紹一元高次方程求根的歷史，特別是重點(diǎn)介紹法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦在證明五次方程不能用求根公式求解中所采用的全新的理論方法(群論)奠定了現(xiàn)代代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的偉大貢獻(xiàn)。在講高斯消元法，柯西-許瓦茨不等式時(shí)，介紹一下偉大數(shù)學(xué)家高斯、柯西和許瓦茨在數(shù)學(xué)上的主要工作和取得偉大成就。2)結(jié)合所教內(nèi)容適當(dāng)介紹所教知識(shí)在數(shù)學(xué)理論和其他相關(guān)學(xué)科中的廣泛應(yīng)用。例如：在教范德蒙行列式的相關(guān)性質(zhì)時(shí)，告訴學(xué)生在拓?fù)鋵W(xué)中要證明n維單純復(fù)形k可以嵌入R2n+1時(shí)，就要用到范德蒙行列式的性質(zhì)；在講矩陣時(shí)，可以結(jié)合所講內(nèi)容，介紹一下矩陣相關(guān)知識(shí)在線性規(guī)劃、運(yùn)籌學(xué)、化學(xué)方程式的平衡、交通流量問(wèn)題、矩陣密碼與通訊保密等方面的應(yīng)用。只有讓學(xué)生知道高等代數(shù)的廣泛應(yīng)用，才能激發(fā)學(xué)生學(xué)好高等代數(shù)的動(dòng)力。3)結(jié)合教材闡明高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用。數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，尤其是師范類(lèi)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，畢業(yè)后大多從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作。因此闡明高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用，會(huì)增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好高等代數(shù)的使命感和緊迫感。關(guān)于運(yùn)用高等代數(shù)的知識(shí)和方法巧妙解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的問(wèn)題，很多學(xué)者都做過(guò)深入研究[1-3]。因此在教學(xué)中，有選擇性地向?qū)W生推薦一些這方面的文獻(xiàn)，可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)好高等代數(shù)有助于自己成才。

要解決困惑之三，可以從教師和學(xué)生兩個(gè)方面入手加以解決。在教師方面，教師在上課當(dāng)中，要注意學(xué)生數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。講了大量的特殊問(wèn)題之后，要引導(dǎo)學(xué)生得出一般結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的歸納能力；給出具體模型實(shí)例后，要引導(dǎo)學(xué)生如何從具體模型中找出模型的本質(zhì)，概括出抽象的數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力；對(duì)于抽象的問(wèn)題，教會(huì)學(xué)生如何具體化，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力；解決了一個(gè)問(wèn)題后，引導(dǎo)學(xué)生如何提出新的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。只有學(xué)生多方面的能力得到了鍛煉和提高，學(xué)習(xí)起來(lái)才會(huì)得心應(yīng)手。在學(xué)生方面，要學(xué)好高等代數(shù)，首先要從正反兩個(gè)方面學(xué)好概念。正的方面就是弄清概念是如何敘述的，附帶條件有哪些，這些條件是充分還是必要，概念產(chǎn)生的背景是什么。反的方面就是要弄清所學(xué)概念的否定式是怎樣敘述的，如果去掉概念中某些條件或錯(cuò)誤理解概念中某些條件，會(huì)導(dǎo)致什么錯(cuò)誤結(jié)論。其次要適當(dāng)做題。在做題中加深對(duì)概念、定理的理解。同時(shí)在做題時(shí)要不斷總結(jié)思路方法，掌握做題規(guī)律，以點(diǎn)帶面，舉一反三，既不搞題海戰(zhàn)術(shù)，又能提高自己分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。三是經(jīng)常梳理所學(xué)知識(shí)。每學(xué)完一章，要做好整理和梳理本章知識(shí)的工作，總結(jié)本章有哪些基本概念，核心內(nèi)容是什么，解決了什么問(wèn)題，是運(yùn)用哪些定理來(lái)解決的，寫(xiě)出自己的心得體會(huì)。四是學(xué)會(huì)嘗試推廣。對(duì)書(shū)中的定理，嘗試改變一下已知條件，看看會(huì)得到什么結(jié)論，如果把某些條件加強(qiáng)一下，能不能得到更好的結(jié)論。經(jīng)常做一做這方面的推廣工作，創(chuàng)新能力就會(huì)得到提高。

[1] 曹福桃.高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版),2006，27：135-137.

[2] 邵運(yùn)夫，肖金戈.高等代數(shù)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].銅仁學(xué)院學(xué)報(bào),2008， 2(1): 81-84.

[3] 夏師.高等代數(shù)在中學(xué)教學(xué)的一些應(yīng)用[J].廣西右江民族師專(zhuān)學(xué)報(bào),2002， 15(3): 11-13.

(責(zé)任校對(duì) 謝宜辰)

20150111

湖南科技大學(xué)教學(xué)研究與改革項(xiàng)目(C21316；G31031)

歐陽(yáng)倫群(1967- )，男，湖南洞口人，副教授，博士，主要從事同調(diào)代數(shù)研究。

10.13582/j.cnki.1674-5884.2015.05.013

O151.2

A

1674-5884(2015)05-0042-03