關(guān)于《數(shù)學(xué)物理方法》課程教材改革

韓 鋒

(河池學(xué)院 物電系,廣西 宜州 546300)

關(guān)于《數(shù)學(xué)物理方法》課程教材改革

韓 鋒

(河池學(xué)院 物電系,廣西 宜州 546300)

討論當前《數(shù)學(xué)物理方法》教材中存在的問題,建議不講或略講“復(fù)變函數(shù)論”部分的內(nèi)容,補充“變分法”和“群論基礎(chǔ)”方面的內(nèi)容。

數(shù)學(xué)物理方法;教材;復(fù)變函數(shù)論;變分法;群論基礎(chǔ)

一、關(guān)于“數(shù)理方法”這門課

“數(shù)學(xué)物理方法”(Method of Mathematical Physics)或者“物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法”(Mathematical Method of Physics),我們簡稱為“數(shù)理方法”,也有人稱為“數(shù)學(xué)物理”(Mathematical Physics)。作為面向物理學(xué)的數(shù)學(xué)課程,它應(yīng)該是一門為解決物理問題提供必要的數(shù)學(xué)方法的課程,或者按通常人們所說的提供數(shù)學(xué)工具!它不應(yīng)該著眼于太多繁瑣而嚴密的數(shù)學(xué)證明,而是著重強調(diào)方法的應(yīng)用,著重于訓(xùn)練學(xué)生熟練地運用數(shù)學(xué)方法解決物理問題,而不至于在學(xué)習物理學(xué)時,常常因為數(shù)學(xué)訓(xùn)練的不足而需要補充數(shù)學(xué)知識。那樣,一方面會分散在物理問題上的注意力,另一方面還可能由于數(shù)學(xué)困難而成為解決物理問題的“攔路虎”。同時,由于在補習數(shù)學(xué)知識時,往往與物理問題脫節(jié)而顯得冗長乏味,又使得系統(tǒng)完整的物理理論支離破碎。所以,對學(xué)習物理學(xué)的學(xué)生來說,事先準備好數(shù)學(xué)工具是非常必要的。這樣的數(shù)學(xué)工具,一要夠用,二要熟練,當然也不是越多越好。

具體來說,“數(shù)理方法”這門課就是為大學(xué)本科的理論物理學(xué)準備數(shù)學(xué)工具的?，F(xiàn)在我們所說的“理論物理學(xué)”,包括理論力學(xué)、熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)、電動力學(xué)、量子力學(xué),統(tǒng)稱為四大力學(xué)。由于理論物理學(xué)的結(jié)構(gòu)使用的是像歐幾里得幾何學(xué)那樣嚴密的公理化體系,從公理 (原理)演繹推導(dǎo)出一系列可以用實驗驗證的具體推論,步步緊扣,邏輯體系嚴密而有說服力,簡潔而優(yōu)美,從而顯示出一種令人嘆為觀止的理論美感。由于在它的演繹推導(dǎo)中大量地使用了數(shù)學(xué),所以學(xué)術(shù)界 (尤其是蘇聯(lián)的學(xué)術(shù)界)往往就把理論物理學(xué)稱為“數(shù)學(xué)物理學(xué)”。

這門課的性質(zhì)就決定了它應(yīng)該包括哪些內(nèi)容。除了最低限度的數(shù)學(xué)方法 (在附錄中開列了一個物理學(xué)要用到的最基本的數(shù)學(xué),以備查考)和基本微積分外,一般來說,理論力學(xué)中使用的常微分方程和變分法,熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)中使用的概率論與數(shù)理統(tǒng)計,電動力學(xué)中使用的矢量分析與場論,量子力學(xué)中使用的線性代數(shù),以及廣義相對論中使用的張量分析與黎曼幾何,粒子物理中使用的群論等,都應(yīng)該包括在內(nèi)。這門課將物理學(xué)不同分支所用的數(shù)學(xué)方法 (它們往往是互相交叉的)作統(tǒng)一的處理,實際上也就成了“四大力學(xué)”的“黏結(jié)劑”。

現(xiàn)在的數(shù)理方法教材一般包括復(fù)變函數(shù)論、傅立葉級數(shù)和傅立葉積分 (或傅立葉變換)、數(shù)學(xué)物理方程(數(shù)學(xué)上的偏微分方程側(cè)重于物理要用到的內(nèi)容)三個部分。或者把第一和第二兩部分合為“復(fù)變函數(shù)論”,把“復(fù)變函數(shù)”和“數(shù)理方程”合并為“數(shù)理方法”一門課程。高校比較通用的南京大學(xué)梁昆淼主編《數(shù)學(xué)物理方法》已經(jīng)出到了第三版,內(nèi)容大體未變[1]。其他幾種比較通行的教材,如四川大學(xué)編的《高等數(shù)學(xué) (物理專業(yè)用)》第四冊[2],北京大學(xué)郭敦仁的《數(shù)學(xué)物理方法》[3],復(fù)旦大學(xué)胡嗣柱、倪光炯的《數(shù)學(xué)物理方法》[4]也都主要是這些內(nèi)容。這門學(xué)科的經(jīng)典教材是德國數(shù)學(xué)家柯朗和希爾伯特的兩卷本《數(shù)學(xué)物理方法》[5],它涵蓋的內(nèi)容比較廣。卷Ⅰ中有線性代數(shù)和二次型,任意函數(shù)的級數(shù)展開,線性積分方程,變分法,振動和本征值問題,變分法在本征值問題上的應(yīng)用,本征值問題所定義的特殊函數(shù)。卷Ⅱ中除引論外有一階偏微分方程的一般理論,高階微分方程,勢論及橢圓型微分方程,兩個自變量的雙曲型微分方程,多于兩個自變量的雙曲型方程。李政道的《物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》[6]涉及的內(nèi)容也很廣,尤其是特別突出了偏微分方程解法中的格林函數(shù)方法。覆蓋內(nèi)容更廣的可算拜侖和富勒的兩卷本《物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》[7],以“向量空間”為主干,結(jié)構(gòu)清晰而明朗。我們發(fā)現(xiàn),它們都把“變分法”單列成章 (在梁書中是以附錄的形式),給予了足夠的重視,這不是沒有道理的,我們將在下面討論這個問題。同時,拜侖和富勒的書中還把“群論初步”作為最后一章單列,這也是很有意義的。

對于要求不是很高但求夠用即可的數(shù)理方法課,美國哈普爾的《數(shù)學(xué)物理引論》[8](原版:Introduction toM athem atical Physics,Charlie Harper,Department of Physics California state University,Hay ward.)不啻為一個很好的選擇。盛振華的《矢量分析與數(shù)學(xué)物理方法》[9]及上海交大編的那套《工程數(shù)學(xué)》小冊子,則可以看作這門課程的簡寫本,即便不用作教材,也是很好的參考書。我校物理與電子工程系本科原來使用的是梁昆淼的教材,近幾年選用了哈普爾的書,并補充了一章“群論基礎(chǔ)”,這就比較全面了。這本書的第一章就是“矢量分析”,以后依次是“算子和矩陣分析”、“復(fù)變函數(shù)”、“留數(shù)計算”、“微分方程”、“數(shù)學(xué)物理中的特殊函數(shù)”、“傅立葉級數(shù)”、“傅立葉變換”和“張量分析”,除最后一章的內(nèi)容將在“廣義相對論”課中同步講授外,其他內(nèi)容與通行教材差別不大,而它的特點則很顯著。它緊密聯(lián)系物理實際,其例題和習題都是從普通物理或理論物理中選出來的,有的是基本內(nèi)容的延伸和補充。它強調(diào)實際運算能力的提高而淡化定理的繁瑣證明,比較適合河池學(xué)院的學(xué)生。

二、“數(shù)理方法”教材內(nèi)容上存在的問題

1983年秋,筆者在復(fù)旦大學(xué)進修了一個學(xué)期的“數(shù)學(xué)物理方法”,系統(tǒng)地聽了胡嗣柱老師和李大潛老師的數(shù)理方法課,并聽了陳恕行老師的“偏微分方程的歷史和發(fā)展”、谷超豪老師的“自然科學(xué)中的空間和時間”等講座,對數(shù)理方法這門課的體系結(jié)構(gòu)有了一定的認識。在此之前,筆者已經(jīng)給本科生開過數(shù)理方法課,在教材內(nèi)容的選取上,一直有一個問題沒有得到解決:幾乎所有的數(shù)理方法教材都花了大量的篇幅講復(fù)變函數(shù)和留數(shù)計算,而在本科階段理論物理課的學(xué)習中,卻幾乎完全用不著這些內(nèi)容。我們感到疑惑,把這么多的時間花在這些論題上,而對用得較多的變分法、群論初步等卻完全不予涉及,這是否合適?為此,筆者專門寫信向遠在美國波特蘭大學(xué)的倪光炯先生請教。倪先生是筆者在復(fù)旦大學(xué)時的老師,學(xué)術(shù)造詣深厚,復(fù)旦大學(xué)的那本《數(shù)學(xué)物理方法》就是他和胡嗣柱老師合寫的。他很快回信談了他的看法,肯定了我的疑問。數(shù)學(xué)物理方法反映的是理論物理中的經(jīng)典數(shù)學(xué),其中復(fù)變函數(shù)的理論主要是用在高水平的理論物理上,在大學(xué)課程中并不是很常用。有意思的是,我們還在拜侖、富勒的書的序言中看到這樣的表述:“解析函數(shù)理論只是一個插曲,在于確立數(shù)學(xué)物理各分支中都需要的技巧和結(jié)果。”也有一些教材,如彭桓武先生的《數(shù)理物理基礎(chǔ)》[10],就不講復(fù)變函數(shù),而講變分法和群論。

誠然,“數(shù)學(xué)物理方法”中的“復(fù)變函數(shù)論”,尤其是其核心部分的解析函數(shù)論,在流體力學(xué)和空氣動力學(xué),乃至固體力學(xué)的薄殼理論中都有著廣泛的應(yīng)用,而在理論物理的場論中,如建立平面場的數(shù)學(xué)模型,用留數(shù)定理簡潔地計算一些定積分,也都顯得技巧性很強。但是,它與其他更基本的一些數(shù)學(xué)工具相比,畢竟不是“雪中送炭”,因而,暫時把它的學(xué)時讓給更緊迫需要的其他內(nèi)容,應(yīng)該是可以的。

變分法就是求泛函的極值問題。它起源于古老的“最速落徑問題”,成為經(jīng)典力學(xué)的最小作用量原理,現(xiàn)在實際上已經(jīng)成為這個理論物理學(xué)的基礎(chǔ)性原理。在電動力學(xué)中,用它可以導(dǎo)出麥克斯韋方程組,量子力學(xué)的薛定諤方程與廣義相對論的愛因斯坦方程和測地線方程也可以用它得到,甚至統(tǒng)計物理中的玻爾茲曼分布也來自于變分法。另外,它還作為微擾論中的一種近似方法而被廣泛應(yīng)用。

對稱性問題在近代物理學(xué)中變得越來越重要,諾特定理揭示物理學(xué)中的各種守恒定律都是時空對稱性的表現(xiàn)。時間的均勻性導(dǎo)致能量守恒,空間的均勻性和各向同性導(dǎo)致動量和角動量守恒。尤其是基本粒子之間通過對稱性反映了它們之間的各種本質(zhì)聯(lián)系,因而群論尤其是群表示論成為描述對稱性的有力工具。物理對象中揭示出的多種多樣的對稱性,就使得群論顯得非常有用。當然,群論已經(jīng)屬于現(xiàn)代數(shù)學(xué),而且已經(jīng)成為一門獨立的課程。如果課時允許,群論的一些初步知識還是應(yīng)該介紹一下的。

三、改革“數(shù)理方法”教材內(nèi)容的一個設(shè)想

根據(jù)學(xué)科的發(fā)展和應(yīng)用的需要,“數(shù)理方法”課程的內(nèi)容也在不斷地豐富和發(fā)展,而不應(yīng)該是一成不變的。隨著物理學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)展,數(shù)學(xué)物理中的計算方法,數(shù)學(xué)物理中的幾何方法,還有非線性數(shù)學(xué)物理等內(nèi)容,已經(jīng)或正在逐漸進入數(shù)理方法的教學(xué)之中。對于基本要求的“數(shù)理方法”課程的內(nèi)容改革,自然也已是勢在必行。

根據(jù)上述的分析和教學(xué)的目的要求,對于“數(shù)學(xué)物理方法”這門課的教學(xué)內(nèi)容,我們建議作如下的調(diào)整。它至少應(yīng)該包括以下內(nèi)容:

矢量代數(shù)、矢量分析和場論;概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)(如果在統(tǒng)計物理課中可以隨堂補充講授,可不在這里講);矩陣和線性方程組、坐標與坐標變換;復(fù)變函數(shù) (只選講后面級數(shù)部分要用到的內(nèi)容);常微分方程與偏微分方程;數(shù)學(xué)物理中的特殊函數(shù);傅立葉級數(shù)與傅立葉變換;變分法初步;群論初步 (只講群表示論的基本概念,如果單獨開“群論”課則不講);張量分析 (如果開“廣義相對論”則不講)。

以上這些內(nèi)容,當然應(yīng)該是在“高等數(shù)學(xué)”課的基礎(chǔ)上開設(shè)。以通行的同濟大學(xué)樊映川《高等數(shù)學(xué)》為例,矢量代數(shù)、線性方程組、常微分方程和傅立葉級數(shù)就都已經(jīng)講到過。在“數(shù)理方法”課中,鑒于它們的重要性,也為了便于銜接,可以適當?shù)刈饕恍w納復(fù)習提高,并且通過例題和習題接通與物理的聯(lián)系。選用的教材可以以一本書為基礎(chǔ) (如哈普爾的書或盛正華的書),然后參考相關(guān)的基礎(chǔ)教材進行一些裁剪,以達到基礎(chǔ)不缺漏、學(xué)生易接受、盡量結(jié)合物理實際為原則,這就要充分發(fā)揮教師的主觀能動性和創(chuàng)造性,在課時有限的條件下實現(xiàn)教學(xué)目標。

四、關(guān)于“數(shù)理方法”課的學(xué)習

“數(shù)學(xué)物理方法”這門課是大學(xué)理論物理系列課程群的課程之一,是物理學(xué)專業(yè)的專業(yè)理論基礎(chǔ)課之一,它在整個課程系列中的地位是顯而易見的。這門課又是公認的比較難教難學(xué)的一門課,雖然思路很清晰,但具體計算過程仍然很繁,其中還有一些技巧性的東西。這就要求學(xué)生能耐心地對各種題型獨立做上幾遍,似乎沒有什么捷徑可走。當年在復(fù)旦大學(xué)時,我見到倪光炯先生為物理系部分青年教師及研究生開“數(shù)理方程”課時,臨考前戲作打油詩一首,把分析的思路說得很清楚,現(xiàn)錄在下面,以供參考。

問君臨考意如何?區(qū)區(qū)實在不為多;靜場分布早見慣,導(dǎo)熱再加一點波。雖則不多弄清楚,物理數(shù)學(xué)兩不誤,方程坐標皆正確,量綱因次須相符。解題首先抓要點,源在何處細分辨,倘若方程屬齊次,邊界條件是關(guān)鍵。/關(guān)鍵之處也不難,非齊大家來分擔,一解拆成幾個解,變量分離能展開。分離變量有定法,諸君心里都明白,兩邊齊次條件夾,本征值便垂手得。本征值兮莫漏掉,本征函數(shù)才不少,正交系兮備全套,歸一系數(shù)也好找。解題途徑本分明,走路就怕粗心人,試題遇我心慌亂,正負顛倒除變乘。勝敗畢竟尋常事,考驗還看應(yīng)用事,他年誰若用得活,我來拜你作老師。(1979年 5月)

再來說說課堂教學(xué)和考試問題。

判斷一堂課的質(zhì)量如何,課堂氣氛很重要。好的課堂氣氛,一定是要能夠進行活躍的互動的。學(xué)生帶著問題學(xué),積極地開動思想機器,教師心中要有安排,什么地方細講、精講,什么地方略講、粗講,什么地方要大家討論和回答,都要事先有明確的目的。

活躍的課堂氣氛還容易發(fā)現(xiàn)問題究竟在什么地方,實現(xiàn)“教學(xué)相長”,因為教師往往會想不到在看似沒有問題的地方出現(xiàn)問題。著名物理學(xué)家費曼的幾句話對我們應(yīng)該有所啟示。他說:“學(xué)生的問題常常是新的研究課題的源泉?！薄皩τ谖襾碚f,‘物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法’是一門理想的教授課程。這正是我在戰(zhàn)爭期間所做的工作——把數(shù)學(xué)應(yīng)用到物理。我知道哪些方法是真正有用的,哪些是沒用的。在利用數(shù)學(xué)技巧努力地工作了四年中我已積累了許多經(jīng)驗。所以我在課中安排了不少的題目,以及如何處理它們,而且我還有教案——在火車上做的筆記?！盵11]

鑒于這門課的重要性,不但課時多,而且是必考課,內(nèi)容十分龐雜,學(xué)生在考前一般都有些畏懼心理。解決這個問題的關(guān)鍵,不在于給學(xué)生劃范圍,而在于引導(dǎo)學(xué)生梳理各部分內(nèi)容,理出頭緒,找出重點,并集中力量攻克難點,這樣才能事半功倍,考完以后也不致于全部忘記。這時,我們一般都給學(xué)生布置以下的問題思考:①你覺得數(shù)理方法這門課是否難學(xué),難在什么地方?②你認為物理專業(yè)的這門專業(yè)基礎(chǔ)課應(yīng)該怎么學(xué),在預(yù)習、復(fù)習、作業(yè)、聽課、筆記、考試等方面,主要存在的問題是什么?③這門課在教與學(xué)兩方面還有什么不足之處,你認為應(yīng)該怎樣改進?注意實事求是,不要文過飾非。

最后,向讀者推薦一本在學(xué)習“數(shù)理方法”時的應(yīng)備參考書,就是王竹溪和郭敦仁兩位大家的名著《特殊函數(shù)概論》[12]。這書曾翻譯成外文出版,深受讀者歡迎。楊振寧先生曾經(jīng)說過,用的時候只管查《特殊函數(shù)概論》,不用管怎么來的。因為數(shù)理方法方面的推導(dǎo)一般都很繁,這樣的書就顯得特別管用。這書當然是一本很全很好的手冊,是為了查閱用的,沒有必要全讀。如果要讀的話,也只宜讀前兩章。第一章講函數(shù)用無窮級數(shù)和無窮乘積展開,第二章講二階線性常微分方程,是對大學(xué)復(fù)變函數(shù)和數(shù)理方程內(nèi)容的補充。后面各章就講各種特殊函數(shù)的奇特性質(zhì),其中有些還是很重要的。有的內(nèi)容來不及在正文中講,就把它做成了習題,放在各章之后,其實并不能算是真正意義上的習題。

[1]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京:人民教育出版社 (1960年第一版,1978年第二版).北京:高等教育出版社,1998.

[2]四川大學(xué)數(shù)學(xué)系,編.高等數(shù)學(xué) (物理專業(yè)用)(第二版)(第四冊)[M].北京:高等教育出版社,1985.

[3]郭敦仁.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京:人民教育出版社,1965.

[4]胡嗣柱,倪光炯.數(shù)學(xué)物理方法 [M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1989.

[5]R.柯朗,D.希爾伯特.數(shù)學(xué)物理方法 (卷Ⅰ,卷Ⅱ)[M].錢敏,郭敦仁,譯.北京:科學(xué)出版社,1958.

[6]李政道.物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法[M].南京:江蘇科學(xué)技術(shù)出版社,1980.

[7]F.W.拜侖,R.W.富勒.物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法 (第一卷,第二卷)[M].北京:科學(xué)出版社,1982.

[8]C.哈普爾.數(shù)學(xué)物理引論[M].北京:科學(xué)出版社,1981.

[9]盛正華,馬元鵬.矢量分析與數(shù)學(xué)物理方法 (修訂本)[M].長沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社,1991.

[10]彭桓武,徐錫申.數(shù)理物理基礎(chǔ)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2001.

[11]R.P.費曼.愛開玩笑的科學(xué)家 -費曼[M].北京:科學(xué)出版社,1989.

[12]王竹溪,郭敦仁.特殊函數(shù)概論 [M].北京:科學(xué)出版社,1965.

G642.3

A

1672-9021(2010)S-0097-04

韓鋒 (1943-),男,山西文水人,河池學(xué)院物電系教授,主要研究方向:理論物理學(xué)與物理哲學(xué)。

2010-06-20

[責任編輯 賀衛(wèi)國 ]