離散數(shù)學(xué)中等價(jià)關(guān)系的教學(xué)導(dǎo)入與導(dǎo)出

王新春,李曉穎,馬俊紅

(河北理工大學(xué)理學(xué)院,河北唐山 063009)

離散數(shù)學(xué)中等價(jià)關(guān)系的教學(xué)導(dǎo)入與導(dǎo)出

王新春,李曉穎,馬俊紅

(河北理工大學(xué)理學(xué)院,河北唐山 063009)

等價(jià)關(guān)系;教學(xué)導(dǎo)入;教學(xué)導(dǎo)出

闡述了等價(jià)關(guān)系在離散數(shù)學(xué)中的教學(xué)設(shè)計(jì),主要涉及在介紹等價(jià)關(guān)系時(shí),如何進(jìn)行等價(jià)關(guān)系的教學(xué)導(dǎo)入;在該課程幾近結(jié)束時(shí),為了強(qiáng)調(diào)等價(jià)關(guān)系在離散數(shù)學(xué)中的重要地位,如何進(jìn)行等價(jià)關(guān)系的教學(xué)導(dǎo)出。強(qiáng)調(diào)了離散數(shù)學(xué)中等價(jià)關(guān)系對(duì)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的重要性。通過(guò)等價(jià)關(guān)系的學(xué)習(xí),學(xué)生的抽象思維能力將會(huì)提高。

目前很多大學(xué)生反映對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)甚至是整門(mén)課經(jīng)常沒(méi)有留下深刻的印象。作為教師,應(yīng)隨時(shí)給與學(xué)生全面而深入的指導(dǎo)。這就要求教師對(duì)教學(xué)進(jìn)行精心的設(shè)計(jì),特別是對(duì)一些重要的知識(shí)。對(duì)于重要的知識(shí),首先設(shè)計(jì)教學(xué)導(dǎo)入,由淺入深,不讓學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒。在該門(mén)課將近結(jié)束時(shí),安排關(guān)于這部分知識(shí)的教學(xué)導(dǎo)出。下面是離散數(shù)學(xué)中等價(jià)關(guān)系的教學(xué)導(dǎo)入與導(dǎo)出的研究。

一 等價(jià)關(guān)系的教學(xué)導(dǎo)入

課堂教學(xué)的導(dǎo)入與教學(xué)效果有著直接的聯(lián)系。精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)的導(dǎo)入,能夠集中學(xué)生的思維活動(dòng),引起學(xué)生的好奇與思考,創(chuàng)設(shè)一種較佳的問(wèn)題情境,啟發(fā)和刺激學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,使學(xué)生進(jìn)入一種有著高求知欲的振奮狀態(tài)[1]。從而使課堂教學(xué)從鋪墊轉(zhuǎn)化為探索新知的過(guò)程。這一環(huán)節(jié)如果安排和設(shè)計(jì)得好,就能緊緊吸引學(xué)生的注意力,活躍學(xué)生的思維,使學(xué)生進(jìn)入最佳的學(xué)習(xí)狀態(tài),教學(xué)就會(huì)取得良好的效果。實(shí)踐證明,教師對(duì)課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)是否重視,是否精心設(shè)計(jì),教學(xué)效果迥然不同。

通過(guò)溫故知新法可進(jìn)行由已知知識(shí)向未知知識(shí)的教學(xué)導(dǎo)入。溫故可找到與新知識(shí)相聯(lián)系的支點(diǎn)。在每次上課開(kāi)始,讓學(xué)生復(fù)習(xí)舊課內(nèi)容,逐漸導(dǎo)入新知識(shí),形成知識(shí)的自然銜接、過(guò)渡到新課內(nèi)容。這種導(dǎo)入符合學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)由淺入深、循序漸進(jìn)的認(rèn)知規(guī)律。

在講述等價(jià)關(guān)系時(shí),先向?qū)W生提問(wèn)中學(xué)里介紹的三角形的全等和相似的概念并歸納其性質(zhì)。在總結(jié)了自反性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性三個(gè)性質(zhì)后,我們就從上述諸問(wèn)題中抽象出等價(jià)關(guān)系的概念,以及等價(jià)類(lèi)的概念。

定義 1 設(shè) R是非空集合A上的關(guān)系,如果關(guān)系 R同時(shí)具有自反性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性,則稱(chēng) R是 A上的等價(jià)關(guān)系。

定義 2 設(shè)A是非空集合,R是上的等價(jià)關(guān)系,?x∈A,令,[x]R= {y|y∈A,xRy}則稱(chēng) [x]R為x關(guān)于R的等價(jià)類(lèi)[2]。

為了更好地理解等價(jià)關(guān)系,舉一些從日常生活中觀察到的例子。比如,日常生活中常會(huì)碰到對(duì)一些對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)的問(wèn)題。例如,對(duì)一些幾何圖形,我們可以使用面積之間的相等關(guān)系將這些幾何圖形分類(lèi),即面積相等的幾何圖形算作一類(lèi)。這種分類(lèi)使得每個(gè)幾何圖形都必定屬于某類(lèi),并且不同類(lèi)之間沒(méi)有公共元素。事實(shí)上,任何一個(gè)分類(lèi)法總是在某一觀點(diǎn)下把一些元素看做是同樣的,并且希望每一個(gè)元素在這種分類(lèi)下都必定屬于且僅僅屬于某一類(lèi),具有這種功能的分類(lèi)方法在數(shù)學(xué)上就是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。

二 等價(jià)關(guān)系的教學(xué)導(dǎo)出

為了加深對(duì)某一部分知識(shí)的掌握,重復(fù)是一個(gè)很好的方法。為了加深對(duì)這部分知識(shí)的理解,需要將這部分知識(shí)拓廣,研究它的應(yīng)用。實(shí)踐中,常利用關(guān)系把事物進(jìn)行分類(lèi)。分類(lèi)是人們認(rèn)識(shí)事物性質(zhì)的一種方法,而按等價(jià)關(guān)系分類(lèi)恰是一種分類(lèi)的抽象方法。它要求首先找到事物間的等價(jià)關(guān)系,再按照等價(jià)關(guān)系把事物分類(lèi),使得屬于同一類(lèi)的事物相互間是等價(jià)的,不同類(lèi)的事物都沒(méi)有等價(jià)關(guān)系。在代數(shù)中所有等價(jià)的矩陣就是一個(gè)等價(jià)類(lèi),所有等價(jià)的向量組也稱(chēng)為一個(gè)等價(jià)類(lèi)。在矩陣論中的矩陣的合同關(guān)系,相似關(guān)系等都是等價(jià)關(guān)系;線性空間的同構(gòu)關(guān)系也是等價(jià)關(guān)系。此外,整數(shù)可按模 k的同余關(guān)系分類(lèi),余數(shù)分別為: 0,1,2,k—1,因此可將整數(shù)可按模 k同余分為 k類(lèi)。方程可按未知數(shù)的冪次分類(lèi)。方程組可按同解分類(lèi),等等。數(shù)理邏輯中,命題公式 A和 B的等值關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系。這樣,按照命題公式是否等值將所有命題公式劃分成若干個(gè)等價(jià)類(lèi),屬于同一等價(jià)類(lèi)中的命題公式彼此等值。因此,命題公式的等值關(guān)系是獲取命題公式性質(zhì)的基礎(chǔ)。

集合論中,集合A與B的等勢(shì)關(guān)系是建立在所有集合為元素的集合上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,它實(shí)際上是從集合含有元素多少的角度來(lái)對(duì)集合進(jìn)行劃分。只要兩個(gè)集合所含元素的個(gè)數(shù)相同,就把他們視為是相同的集合,可將它們歸為一類(lèi)。另外,在集合上,每個(gè)等價(jià)關(guān)系對(duì)應(yīng)集合的一種劃分,集合的每一種劃分又對(duì)應(yīng)于集合的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。不同的等價(jià)關(guān)系對(duì)應(yīng)的集合的劃分也不同。一般地,對(duì)有n個(gè)元素的集合,有種不同 Bn的劃分,這里。

代數(shù)結(jié)構(gòu)中有代數(shù)系統(tǒng)的同構(gòu),代數(shù)系統(tǒng)的同構(gòu)關(guān)系是指全部代數(shù)系統(tǒng)構(gòu)成的集合上的等價(jià)關(guān)系。利用代數(shù)系統(tǒng)的同構(gòu)關(guān)系可以對(duì)代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行劃分。從而使屬于同一等價(jià)類(lèi)但表現(xiàn)形式不同的代數(shù)系統(tǒng)具有同樣的運(yùn)算性質(zhì)。因此只要知道一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì),便可將其性質(zhì)移植到與之同類(lèi)但表現(xiàn)形式可能不同的新的代數(shù)系統(tǒng)上去。

圖論中,無(wú)向圖中點(diǎn)與點(diǎn)間的連通關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系。它是建立在由無(wú)向圖中所有結(jié)點(diǎn)做成的集合上的等價(jià)關(guān)系,只要兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間存在通路,則這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)就是等價(jià)的,它們便歸為同一類(lèi)。無(wú)向圖中連通分支的概念就建立在連通關(guān)系的基礎(chǔ)之上。圖的同構(gòu)也是圖論中十分重要的等價(jià)關(guān)系。

通過(guò)上面各種具體的等價(jià)關(guān)系的描述可以看到,盡管它們分屬于離散數(shù)學(xué)的各個(gè)不同的分支,所基于的集合中的對(duì)象表現(xiàn)形式和描述方式千差萬(wàn)別,但它們都是基于一個(gè)集合上的二元關(guān)系,且均具有自反性,對(duì)稱(chēng)性和傳遞性。將它們的共性抽象出來(lái)便可將這些具體的等價(jià)關(guān)系都統(tǒng)一到定義中來(lái)。從而實(shí)現(xiàn)了從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律。

三 等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用研究

1 等價(jià)關(guān)系在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的應(yīng)用

(1)在軟件工程領(lǐng)域,為了盡可能多地找出軟件設(shè)計(jì)過(guò)程中可能存在的各種錯(cuò)誤,常常使用一種被稱(chēng)為“等價(jià)類(lèi)劃分”的軟件測(cè)試法。這種方法將所有待測(cè)試的數(shù)據(jù)所構(gòu)成的集合劃分成若干個(gè)符合軟件規(guī)格和設(shè)計(jì)規(guī)定的有效等價(jià)類(lèi)和與之相反的無(wú)效等價(jià)類(lèi)。然后在每個(gè)有效等價(jià)類(lèi)和無(wú)效等價(jià)類(lèi)中各取一個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試,若某個(gè)等價(jià)類(lèi)中的一個(gè)數(shù)據(jù)能測(cè)出軟件中的錯(cuò)誤,說(shuō)明該等價(jià)類(lèi)中的其他數(shù)據(jù)也能測(cè)出錯(cuò)誤;相反,若不能測(cè)出軟件中的錯(cuò)誤,則該等價(jià)類(lèi)中的其它數(shù)據(jù)也不能測(cè)出錯(cuò)誤。這樣,可大大提高軟件的測(cè)試效率。

等價(jià)類(lèi)測(cè)試是有效減少測(cè)試用例而避免冗余測(cè)試用例的一種高效測(cè)試方法 ,但是對(duì)于測(cè)試者來(lái)說(shuō),尋找一種等價(jià)類(lèi)測(cè)試的劃分方法十分重要,等價(jià)類(lèi)測(cè)試的關(guān)鍵問(wèn)題是等價(jià)類(lèi)測(cè)試用例構(gòu)成集合的劃分 ,劃分后的等價(jià)類(lèi)測(cè)試用例是一組互不相交的子集。且這些子集是整個(gè)集合,這說(shuō)明了測(cè)試的完備性和無(wú)冗余性[3]。通過(guò)進(jìn)行等價(jià)類(lèi)測(cè)試劃分 ,可以大大減少測(cè)試用例,具有較強(qiáng)的實(shí)踐指導(dǎo)作用 ,能快速確定測(cè)試的最小集,降低測(cè)試成本,提高軟件的可靠性等方面有著重大的意義。

(2)在數(shù)據(jù)庫(kù)理論中,分組查詢是一種重要的數(shù)據(jù)庫(kù)操作,它本質(zhì)上也是一種等價(jià)類(lèi)的劃分。它將相關(guān)數(shù)據(jù)表中的所有記錄作為一個(gè)集合,根據(jù)記錄的一個(gè)或多個(gè)屬性的值是否相同來(lái)進(jìn)行分類(lèi),屬性值相同的歸為一類(lèi),在此基礎(chǔ)上可進(jìn)行進(jìn)一步的分組統(tǒng)計(jì)等操作。

數(shù)據(jù)庫(kù)中關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘是數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域研究的一個(gè)重要課題。關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘可以發(fā)現(xiàn)大量數(shù)據(jù)中項(xiàng)集之間的關(guān)聯(lián)或相關(guān)聯(lián)系。從大量商務(wù)事務(wù)中發(fā)現(xiàn)有趣的關(guān)聯(lián)關(guān)系,可以幫助許多商務(wù)決策的制定?；诘葍r(jià)關(guān)系和等價(jià)類(lèi)來(lái)生成侯選頻繁項(xiàng)目集;并利用參照數(shù)據(jù)集代替原始交易數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行侯選頻繁項(xiàng)目集中支持度計(jì)數(shù)的測(cè)試,以此來(lái)減少對(duì)原始交易數(shù)據(jù)庫(kù)的掃描次數(shù)。這種方法在一定程度上提高侯選頻繁項(xiàng)集和頻集的生成效率[4]。

2 等價(jià)關(guān)系在粗集領(lǐng)域的應(yīng)用

粗集理論是由波蘭數(shù)學(xué)家 Z.Paw lak于 1982年提出的,它是建立在等價(jià)關(guān)系的基礎(chǔ)上,因?yàn)榈葍r(jià)關(guān)系可以把論域U上的元素劃分為不同且不相交的等價(jià)類(lèi),而且同一等價(jià)類(lèi)里的元素是不可分辨的[5]。

粗糙集理論是一種處理模糊和不確定知識(shí)的數(shù)學(xué)工具,其主要思想就是在保持分類(lèi)能力不變的前提下,通過(guò)知識(shí)約簡(jiǎn),導(dǎo)出問(wèn)題決策和分類(lèi)規(guī)則。目前,粗糙集理論已被成功地應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí),決策分析,模式識(shí)別,過(guò)程控制和知識(shí)發(fā)現(xiàn)與數(shù)據(jù)挖掘等眾多領(lǐng)域。

四 結(jié)論語(yǔ)

在開(kāi)始學(xué)習(xí)等價(jià)關(guān)系的時(shí)候要先行強(qiáng)調(diào)等價(jià)關(guān)系的重要性,簡(jiǎn)略指出它應(yīng)用非常廣泛。這為后期對(duì)等價(jià)關(guān)系引申和應(yīng)用埋下伏筆,使每個(gè)新知識(shí)點(diǎn)的出現(xiàn)都成為有源之水[6]。前后知識(shí)一連貫,使一本書(shū)先讀厚了再讀薄了。這樣教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)是緊湊有機(jī)的統(tǒng)一體,只有前后照應(yīng),課堂教學(xué)才能成功。同時(shí),這樣做還能夠保持學(xué)生的求知欲和探索精神,從而會(huì)真正對(duì)離散數(shù)學(xué)課程感興趣。唯有如此,學(xué)生才會(huì)對(duì)這門(mén)課程的學(xué)習(xí)留下深刻印象,才能最大限度地發(fā)揮教學(xué)應(yīng)有的功能。

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[3] 易國(guó)洪,盧炎生 .基于 EFS M模型的等價(jià)類(lèi)測(cè)試 [J].計(jì)算機(jī)科學(xué),2007.Vol.34 NO.1.

[4] 王燕 .基于等價(jià)關(guān)系的關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘算法研究 [J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2006.08.

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[6] 楊傳林 .概率統(tǒng)計(jì)課程中拓廣引申式教學(xué)法探索 [J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2005,4.

Key words:equivalence relation;teaching import;teaching export

Abstract:The paper described teaching design of equivalence relation in the discrete mathematics.It contains how to carry on teaching importwhen introducing the equivalence relation and how to teach export when the course is just about to end,which aimed to stress the importance of equivalence relations to computer science.By studying the equivalence relation,students’abstract thinking ability will be improved.

The Study of Teaching I mport and Export on Equivalence Relation in D iscrete InstructureMathematics

WANG Xin-chun,L IXiao-ying,MA Jun-hong
(College of science,Hebei Polytechnic University,Tangshan Hebei 063009,China)

G 424.1

A

1673-2804(2010)05-0087-02

2009-09-30