數(shù)學(xué)猜想在概率論教學(xué)中的應(yīng)用

王新春，金殿川，姜君娜

(河北理工大學(xué)理學(xué)院，河北唐山063009)

數(shù)學(xué)猜想在概率論教學(xué)中的應(yīng)用

王新春，金殿川，姜君娜

(河北理工大學(xué)理學(xué)院，河北唐山063009)

數(shù)學(xué)猜想;類比性猜想;歸納性猜想;推廣性猜想

闡述了數(shù)學(xué)猜想的概念及其作用，列舉了歷史上著名的一些數(shù)學(xué)猜想，同時(shí)指出概率論的教學(xué)中需要數(shù)學(xué)猜想，并介紹了常見的數(shù)學(xué)猜想在概率論教學(xué)中的應(yīng)用。

一 數(shù)學(xué)猜想

1 數(shù)學(xué)猜想的概念及其意義

數(shù)學(xué)猜想是根據(jù)已知的事實(shí)材料與數(shù)學(xué)知識(shí)，通過理論思維的能動(dòng)作用對(duì)未知的量及其關(guān)系所作出的一種似真推斷。數(shù)學(xué)的各個(gè)分支都有許多數(shù)學(xué)猜想，數(shù)學(xué)猜想廣泛分布于各數(shù)學(xué)領(lǐng)域。數(shù)學(xué)猜想不僅存在于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，也存在于數(shù)論、代數(shù)，集合論、微分方程等諸多領(lǐng)域。

通過數(shù)學(xué)猜想，能使學(xué)生更好地把握概念的本質(zhì)特征，建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使知識(shí)在腦海中以體系形式呈現(xiàn)。研究合理猜想的規(guī)律和方法，對(duì)于培養(yǎng)和發(fā)展思維有著重要的意義。對(duì)很多知識(shí)，采用先引導(dǎo)學(xué)生形成猜想然后加以論證的作法符合人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知規(guī)律，順應(yīng)學(xué)生思維的自然。數(shù)學(xué)猜想對(duì)啟發(fā)解題思路、提高解題能力也是很有幫助的。

2 歷史上的數(shù)學(xué)猜想

1664年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬(Fermat，1601～1665)提出的“費(fèi)爾馬猜想”:當(dāng)n自然數(shù)時(shí)，形如F(n)=22n+1的數(shù)均為素?cái)?shù)。

1742年，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫 (Goldbach，1690～1764)提出的“哥德巴赫猜想”:任何不小于4的偶數(shù)均可以表示成兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，任何不小于9的奇數(shù)均可以表示成三個(gè)素?cái)?shù)之和。

四色猜想的提出來(lái)自英國(guó)，1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格里斯來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象:每幅地圖都可用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色。這個(gè)結(jié)論能不能從數(shù)學(xué)上加以證明呢?1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問題。于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題。此后，便展開了四色猜想的證明大戰(zhàn)。直到1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在伊利諾大學(xué)兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。

此外還有“伯特蘭猜想”、“杰波夫猜想”、“孿生素?cái)?shù)猜想”等等。

波利亞指出:“只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜想、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢??！?/p>

3 概率論教學(xué)中需要數(shù)學(xué)猜想

在概率論教學(xué)過程中，我們講課時(shí)不必面面俱到，應(yīng)該重點(diǎn)難點(diǎn)突出，要有重點(diǎn)地精講一部分知識(shí)，然后將有些知識(shí)點(diǎn)采用平移與猜想的方法，讓學(xué)生理解和接受。同時(shí)我們可適時(shí)地列舉歷史上的源于直覺或猜想的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。概率論這門學(xué)科發(fā)展比較完善，知識(shí)比較系統(tǒng)。為了讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)以體系形式在腦海中呈現(xiàn)，唯有讓學(xué)生參與猜想。在教學(xué)過程中，重視數(shù)學(xué)的思想方法，創(chuàng)設(shè)源于生活或源于數(shù)學(xué)自身的問題情境，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，誘發(fā)質(zhì)疑猜想［1］，把鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行大膽的知識(shí)猜想作為教學(xué)的重點(diǎn)。在教學(xué)中應(yīng)多給學(xué)生提供猜想的機(jī)會(huì)、培養(yǎng)他們進(jìn)行猜想的習(xí)慣、教給他們猜想的方法。

二 進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想的邏輯基礎(chǔ)

1 數(shù)學(xué)猜想的知識(shí)準(zhǔn)備

教學(xué)中，學(xué)生是學(xué)習(xí)和猜想的主體，要學(xué)生合情推理、形成猜想，就要貫徹學(xué)習(xí)準(zhǔn)備性原則，使他們作好知識(shí)準(zhǔn)備和心理準(zhǔn)備。教師的作用就是把學(xué)生導(dǎo)入準(zhǔn)備狀態(tài)。其一，要幫助學(xué)生喚醒和提取相關(guān)的知識(shí)信息;其二，要設(shè)置懸念，明確目標(biāo)，激發(fā)興趣，激起學(xué)生組織材料進(jìn)行猜想的心向。其三，要重視關(guān)聯(lián)性知識(shí)的學(xué)習(xí)，注意在數(shù)學(xué)教學(xué)中有機(jī)滲透數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史以擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，開拓學(xué)生的智力，適時(shí)地向?qū)W生介紹一些歷史上著名的數(shù)學(xué)命題(如費(fèi)馬大定理、四色定理、黎曼猜想、孿生數(shù)猜想，3n+1猜想等)，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

2 觀察和直覺思維的運(yùn)用

觀察是作出合理猜想的基礎(chǔ)。人們所熟悉的數(shù)的許多性質(zhì)，幾乎都是通過觀察所發(fā)現(xiàn)的。此外，直覺思維是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的關(guān)鍵因素，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中的創(chuàng)造性思維。數(shù)學(xué)的直覺思維是人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象及其結(jié)構(gòu)關(guān)系的一種迅速的判斷與敏銳的想象。數(shù)學(xué)猜想是猜想者運(yùn)用分析、綜合、演繹、歸納、類比等科學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維方法，通過對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象和客觀現(xiàn)象的洞察而預(yù)測(cè)新的數(shù)學(xué)事實(shí)與規(guī)律［2］。一個(gè)人數(shù)學(xué)思維判斷能力的高低，主要取決于直覺思維能力的高低，而數(shù)學(xué)直覺思維可以通過訓(xùn)練來(lái)提高。

3 養(yǎng)成數(shù)學(xué)猜想的思維習(xí)慣

要學(xué)會(huì)從整體考察問題，注意挖掘問題內(nèi)部的本質(zhì)聯(lián)系，借助簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性、對(duì)稱性和奇異性等數(shù)學(xué)美的基本特征去引導(dǎo)學(xué)生理解和欣賞數(shù)學(xué)美感，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)的思維和數(shù)學(xué)的反思的習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生能通過合情推理與演繹推理探尋解決問題的道路。在講定理、公式時(shí)激發(fā)猜想找聯(lián)系;做習(xí)題時(shí)找思路常反思。這樣可使學(xué)生的猜想活動(dòng)由不自覺或盲目的狀態(tài)，發(fā)展為有意識(shí)、有目的的創(chuàng)造活動(dòng)，從而能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為整個(gè)教學(xué)在良好的氣氛中進(jìn)行營(yíng)造條件。提出數(shù)學(xué)猜想不僅需要具備寬廣而深厚的數(shù)學(xué)理論素養(yǎng)，較強(qiáng)的想象力與直覺思維能力和提出問題的意識(shí)與習(xí)慣，而且還需要熟練掌握與靈活運(yùn)用行之有效的數(shù)學(xué)與科學(xué)研究方法，尤其應(yīng)掌握提出數(shù)學(xué)猜想的方法。

三 概率論教學(xué)中常用的數(shù)學(xué)猜想方法

概率論課程具有系統(tǒng)性強(qiáng)的特點(diǎn)，因此在概率論學(xué)習(xí)中可采用類比性猜想、歸納性猜想、推廣性猜想等數(shù)學(xué)猜想方法，以增進(jìn)學(xué)習(xí)效果。

1 類比性猜想

類比就是某種類型的相似性。類比是抓住事物間的相似特征進(jìn)行比較、對(duì)照的一種思維方法。類比方法具有啟迪思路、提供線索、舉一反三、觸類旁通的作用。類比是一種邏輯推理的方法，又是一種科學(xué)研究的方法，它是人們思考和處理問題的主要手段，是發(fā)明創(chuàng)造的金鑰匙。在數(shù)學(xué)中，類比法也是最常用、最有效的思維方法之一。運(yùn)用類比猜想法，往往能夠得到一些新的結(jié)論或發(fā)現(xiàn)一些新的問題，從而促使人們進(jìn)一步地去追根究底，推理論證。

在概率論的教學(xué)中，可多次使用類比法。譬如:比較一維隨機(jī)變量及其分布與多維隨機(jī)變量及其分布兩部分知識(shí)可發(fā)現(xiàn)，有許多平行甚至本質(zhì)上一致的內(nèi)容，如離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的概念，分布函數(shù)的定義，分布律、密度函數(shù)、隨機(jī)變量間的獨(dú)立性，等等，都可以由一維的情形類比推廣出二維、甚至多維的結(jié)論。這樣在介紹多維隨機(jī)變量及其分布時(shí)，可對(duì)比一維隨機(jī)變量的相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)教師可不必急著合盤推出，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所涉及的概念如多維隨機(jī)變量的概念、多維隨機(jī)變量的分類、多維隨機(jī)變量的分布函數(shù)、分布律、概率密度等知識(shí)與一維隨機(jī)變量進(jìn)行對(duì)比性猜測(cè)，這便形成了對(duì)比性猜想。再比如，在介紹樣本的各階矩(包括原點(diǎn)矩和中心矩)時(shí)，可對(duì)比前面講過的總體的各階矩，它們?cè)谛问胶鸵饬x上非常相似。這樣做一方面容易接受新的概念和公式，另一方面也為后面章節(jié)要介紹的矩估計(jì)法埋下伏筆，可起到一舉兩得的作用。

事實(shí)上，讓學(xué)生對(duì)新的知識(shí)進(jìn)行猜想，不管結(jié)果正確與否，都能使學(xué)生的思維積極活躍起來(lái)，充分挖掘?qū)W生個(gè)人的潛力。因此，運(yùn)用類比性猜想，是概率論教學(xué)中的重要方法，它是將知識(shí)由已知通向未知的橋梁。

2 推廣性猜想

推廣性猜想是指猜測(cè)一個(gè)定理所設(shè)計(jì)的數(shù)量關(guān)系或空間形式在個(gè)數(shù)、維數(shù)、適用范圍等方面在一般情況下也成立的一種方法，這是從特殊到特殊的思維方法［3］。在概率論中，當(dāng)介紹過二維隨機(jī)變量及其分布后，讓學(xué)生試著猜想一下三維、四維乃至更高維隨機(jī)變量的相應(yīng)概念及其分布，這便形成了推廣性猜想。若學(xué)生猜想正確，教師再?gòu)?qiáng)調(diào)一下，若學(xué)生猜想錯(cuò)誤，教師需予以糾正。

3 歸納性猜想

歸納性猜想是指對(duì)研究的問題從一定數(shù)量的特例出發(fā)，進(jìn)行觀察、分析，啟發(fā)歸納出有關(guān)命題的形式、結(jié)論或方法的猜想。這是一種從個(gè)別到一般，從試驗(yàn)事實(shí)到理論的一種尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的手段。在概率論中，講隨機(jī)變量的數(shù)字特征這部分知識(shí)后，把隨機(jī)變量的期望、方差、協(xié)方差、矩等數(shù)字特征放到一起，要求學(xué)生歸納一下其共性。學(xué)生的歸納結(jié)果是:這幾個(gè)數(shù)字特征都可以用數(shù)學(xué)期望來(lái)表示，另外，矩是一般式或通式，期望、方差和協(xié)方差都是矩的特殊情形，這便形成了歸納性猜想。

以上這幾種形式的數(shù)學(xué)猜想都起到了以點(diǎn)帶面，將知識(shí)系統(tǒng)化的作用。通過數(shù)學(xué)猜想，可使學(xué)生更好地把握概念的本質(zhì)特征，建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使知識(shí)在腦海中以體系形式呈現(xiàn)。

四 結(jié)束語(yǔ)

通過概率論的教學(xué)實(shí)例，可以清楚地看到，現(xiàn)有知識(shí)的熟練掌握和理解對(duì)提出數(shù)學(xué)猜想起著至關(guān)重要的作用.縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，很多定理都是由最初的數(shù)學(xué)猜想轉(zhuǎn)化而來(lái)的。正如數(shù)學(xué)家G.波利亞說:“假如你希望用一句話來(lái)說明什么是科學(xué)的方法，那么我提議它是‘猜測(cè)和檢驗(yàn)’［4］”。牛頓也預(yù)言:“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)”，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的過程，往往是先有一個(gè)猜想，而后對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證或修正的過程。數(shù)學(xué)猜想不但促進(jìn)了數(shù)學(xué)理論發(fā)展，而且也促進(jìn)了數(shù)學(xué)方法的研究和數(shù)學(xué)家之間的學(xué)術(shù)交流，我們知道，一個(gè)學(xué)科只有大量的問題推出，才能使他永葆青春，猜想的誕生就預(yù)示著數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，從而推動(dòng)了數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展［5］。總之，數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法，有利于培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。數(shù)學(xué)猜想的方法在其它學(xué)科的研究中也有廣泛的應(yīng)用。

［1］ 王玉敏，王黎輝.大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提高創(chuàng)新能力的策略［J］.中國(guó)成人教育，2006(5).

［2］ 龐坤，李明振.數(shù)學(xué)猜想及其方法論意義［J］.科學(xué)技術(shù)與辯證法，2006.

［3］ 張亞靜.試論數(shù)學(xué)中的合情推測(cè)［J］.教學(xué)與管理，2006.

［4］ G.波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)［M］.劉景麟等譯.呼和浩特:內(nèi)蒙古人民出版社，1981.

［5］ 劉興祥，劉康波.數(shù)學(xué)猜想的類型、方法及其對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響［J］.延安大學(xué)學(xué)報(bào)，2007.

Key words:mathematical conjecture;analogic conjecture;inductive conjecture;promotion of conjecture

Abstract:The paper elaborated on the concept and role of mathematical conjecture，listed some famous mathematical conjecture of the history.At the same time，the paper pointed out the teaching of probability theory need mathematical conjecture，then introduced some application of mathematical conjecture in the teaching of probability theory.

An Application of Mathematical Conjecture in the Teaching of Probability Theory

WANG Xin-chun，JIN Dian-chun，JIANG Jun-na
(College of Science，Hebei Polytechnic University，Tangshan Hebei 063009，China)

H 642.41

A

1673-2804(2010)06-0132-03

2010-01-04

河北省教育科學(xué)研究十一五規(guī)劃課題，編號(hào):06020499