復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的教學(xué)改革思考

鐘樺

復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的教學(xué)改革思考

鐘樺

針對(duì)目前高等學(xué)校理工科專業(yè)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)中存在的一些問題，提出教學(xué)內(nèi)容要與專業(yè)課教學(xué)緊密結(jié)合，教學(xué)方法要具有多樣性和針對(duì)性，教學(xué)手段上將傳統(tǒng)方式與多媒體技術(shù)結(jié)合，真正實(shí)現(xiàn)為專業(yè)課學(xué)習(xí)奠定良好基礎(chǔ)的目標(biāo)。

復(fù)變函數(shù)與積分變換；教學(xué)改革；教學(xué)方法；教學(xué)手段

復(fù)變函數(shù)與積分變換是是高校理工科相關(guān)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，它不僅是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一種重要的解析工具，還在其他領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在傳統(tǒng)教學(xué)中，該門課程的講授多是從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，學(xué)生感覺內(nèi)容煩瑣、抽象，且常與高等數(shù)學(xué)其他知識(shí)點(diǎn)混淆，導(dǎo)致學(xué)習(xí)難度大，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高。因此，必須在該門課程的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段等多方面加以改革，通過完善內(nèi)容，突出應(yīng)用，啟發(fā)教學(xué)，開展實(shí)驗(yàn)等方式，真正走出一條數(shù)學(xué)理論與專業(yè)相結(jié)合的道路，達(dá)到學(xué)以致用的目的，為培養(yǎng)適應(yīng)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)需要的應(yīng)用型人才打下良好的基礎(chǔ)。

一、完善教學(xué)內(nèi)容

本著“掌握概念，強(qiáng)化應(yīng)用”的原則，以提高學(xué)生素質(zhì)為目的，針對(duì)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程內(nèi)容存在的弊端，在教學(xué)內(nèi)容改革方面提出一些改進(jìn)措施。

（一）增補(bǔ)相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容

目前該課程的教材一般對(duì)數(shù)學(xué)理論強(qiáng)調(diào)過多，應(yīng)用性強(qiáng)調(diào)不足，而且有些內(nèi)容與中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)重復(fù)，如：復(fù)數(shù)的概念、四則運(yùn)算、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分的定義等。有些專業(yè)課需要用到的知識(shí)在教材中沒有體現(xiàn)，如Z–變換及其反變換的內(nèi)容。因此，在教學(xué)過程中根據(jù)以上內(nèi)容的特點(diǎn)，適當(dāng)調(diào)整講授的側(cè)重點(diǎn)，對(duì)已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)作為復(fù)習(xí)，對(duì)相似的知識(shí)可通過類比教學(xué)使學(xué)生掌握它們之間的區(qū)別與聯(lián)系。傅氏級(jí)數(shù)在專業(yè)課中有著非常重要的作用，而高等數(shù)學(xué)教材中沒有相關(guān)內(nèi)容，因此要將其作為重點(diǎn)內(nèi)容增補(bǔ)進(jìn)來。工科專業(yè)中涉及離散信號(hào)的處理方法是通過Z-變換及反變換實(shí)現(xiàn)的，而積分變換教材沒有這個(gè)方面內(nèi)容，必須將Z-變換及其反變換內(nèi)容補(bǔ)充進(jìn)來，為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程打下基礎(chǔ)。另外，還可以適當(dāng)增加Matlab的內(nèi)容，讓學(xué)生自己動(dòng)手學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)軟件在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用，加強(qiáng)計(jì)算能力，幫助對(duì)課堂教學(xué)的理解。

（二）穿插學(xué)科發(fā)展背景知識(shí)

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育提倡將數(shù)學(xué)發(fā)展史與數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)結(jié)合起來，而復(fù)變函數(shù)與積分變換理論的形成和發(fā)展有著深刻的歷史背景，在教學(xué)中可以適當(dāng)穿插數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生深入了解這門課程書本以外的知識(shí)。例如，在講復(fù)數(shù)概念時(shí)引入復(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程。它是16世紀(jì)中葉意大利卡爾丹在解三次方程時(shí)偶然萌發(fā)了對(duì)負(fù)數(shù)開平方的思想，后來隨著微積分的發(fā)明與發(fā)展最終形成系統(tǒng)的理論體系。在講歐拉公式時(shí)，引出它的發(fā)明者歐拉，并且介紹用i作為虛數(shù)單位也是由他首創(chuàng)。在講解柯西積分定理、傅立葉變換等時(shí)補(bǔ)充介紹柯西、傅立葉的生平簡(jiǎn)介，使數(shù)學(xué)課變得不那么枯燥。在介紹傅氏變換相位和頻譜圖之際，簡(jiǎn)單向?qū)W生介紹傅氏變換的一些最新發(fā)展情況，使學(xué)生覺得傅氏變換很有用處，并且與自己的專業(yè)特點(diǎn)密切相關(guān)，很有學(xué)習(xí)的必要。在教學(xué)過程中對(duì)數(shù)學(xué)理論講授的目的是要求學(xué)生了解它的思想和方法。這就要求老師具有較高的理論水平，要用精煉簡(jiǎn)短的表述讓學(xué)生領(lǐng)悟內(nèi)在的思想。例如通過積分變換介紹數(shù)學(xué)中變換的思想，通過柯西公式介紹邊界決定內(nèi)部的數(shù)學(xué)思想，通過復(fù)變函數(shù)的展開介紹數(shù)學(xué)逼近的思想等，這些正是數(shù)學(xué)中最富有吸引力、最迷人的部分，是數(shù)學(xué)美的體現(xiàn)。

（三）緊密結(jié)合專業(yè)知識(shí)

復(fù)變函數(shù)與積分變換雖然是專業(yè)課的基礎(chǔ)，但是數(shù)學(xué)的定義、定理較多，工科學(xué)生常感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很枯燥。因此，在課堂教學(xué)時(shí)要盡量避免對(duì)理論的推導(dǎo)證明，學(xué)生只需要了解它的思想和方法。在講授理論的同時(shí)強(qiáng)調(diào)其應(yīng)用性，淡化課程中理論性較強(qiáng)而專業(yè)課又不需要的數(shù)學(xué)理論，并將專業(yè)課中所涉及的該方面內(nèi)容用例題的形式自然地融合在一起，切實(shí)解決好內(nèi)容的銜接問題和基礎(chǔ)課與專業(yè)課相脫節(jié)的矛盾。例如，關(guān)于復(fù)數(shù)的模與輻角的計(jì)算，可以舉物理學(xué)中的例子：已知流體在某點(diǎn)的速度為v=-1-i，求其大小和方向。這個(gè)例子雖然是求解模與輻角，但是有具體的物理意義，可以使學(xué)生明白它的應(yīng)用以及模與輻角的實(shí)際意義，使學(xué)生記憶深刻，這比單純地舉例求z=-1-i的模與輻角要生動(dòng)得多。例題求解完后進(jìn)而補(bǔ)充介紹對(duì)于很多流體力學(xué)與彈性力學(xué)中的平面問題來說用復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)作為工具十分有效，這正是由于復(fù)數(shù)可以表示平面向量的緣故。

復(fù)變函數(shù)與積分變換理論對(duì)數(shù)學(xué)的許多分支有著深刻的影響，更具重要意義和價(jià)值在于可以讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟到該門課程的重要性，同時(shí)讓非數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域也得到廣泛應(yīng)用。在課堂教學(xué)中適當(dāng)?shù)亟o學(xué)生介紹一些應(yīng)用的事例，可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，從而產(chǎn)生學(xué)好該門學(xué)科的興趣和積極性。

二、采用針對(duì)性的教學(xué)方法

課堂教學(xué)方法多樣，復(fù)變函數(shù)與積分變換作為一門數(shù)學(xué)類的基礎(chǔ)課程，具有高度的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?，因此在教學(xué)過程中采取怎樣的教學(xué)方法就成為取得良好教學(xué)效果的關(guān)鍵所在。針對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容采取不同的教學(xué)方法，才能提高學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的效率，實(shí)現(xiàn)知識(shí)有效遷移，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力。

（一）啟發(fā)式教學(xué)方法的運(yùn)用

在教學(xué)過程中要始終堅(jiān)持以啟發(fā)為主的教學(xué)思想，反對(duì)“填鴨式”的教學(xué)方法。以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，教與學(xué)的關(guān)系是以學(xué)為主，教服務(wù)于學(xué)，啟發(fā)于學(xué)，促進(jìn)于學(xué)。教師的主要責(zé)任就在于激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動(dòng)力，引導(dǎo)學(xué)生思考問題、解決問題正確的方法。例如在講完解析函數(shù)的概念之后，可啟發(fā)學(xué)生總結(jié)出解析與可導(dǎo)之間的關(guān)系，進(jìn)而加深對(duì)解析概念的理解。在學(xué)習(xí)完復(fù)變函數(shù)積分、級(jí)數(shù)等內(nèi)容之后，可啟發(fā)學(xué)生歸納出與函數(shù)解析相等價(jià)的所有命題。這樣讓學(xué)生對(duì)所學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)歸納，達(dá)到溫故知新的效果。再如講解求復(fù)變函數(shù)積分的例題時(shí)，可啟發(fā)學(xué)生總結(jié)出求解復(fù)積分的步驟和方法。首先判斷被積函數(shù)的解析性，若解析，用什么方法。如果不解析后產(chǎn)生什么后果。如果被積函數(shù)在圍線內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn)時(shí)用什么方法解決。如果有多個(gè)奇點(diǎn)時(shí)又用什么方法求解。這樣一步一步的引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生，最后總結(jié)出求復(fù)積分的方法，學(xué)生定會(huì)記憶深刻。因此，只要學(xué)生自身積極思考以及教師合理引導(dǎo)，就會(huì)使教學(xué)活動(dòng)始終是在教與學(xué)兩者的互動(dòng)中進(jìn)行，就能保證取得良好的教學(xué)效果，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及提高學(xué)生專業(yè)素質(zhì)的教學(xué)目的。

（二）類比教學(xué)法的運(yùn)用

所謂類比法就是指通過兩個(gè)對(duì)象類似之處的比較，由以往獲得的知識(shí)引出新的猜測(cè)方法。復(fù)變函數(shù)與積分變換作為高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程，與高等數(shù)學(xué)有著許多的相似和不同之處。因此，采用類比教學(xué)法，對(duì)相同的內(nèi)容盡量少講，或留給學(xué)生自學(xué)，而把不同的、容易混淆的內(nèi)容作為教學(xué)的重點(diǎn)，力求精講、講透。

由于復(fù)變函數(shù)是實(shí)函數(shù)在復(fù)數(shù)域上的推廣，所以復(fù)變函數(shù)中的許多定義、定理都與實(shí)函數(shù)相似，如極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微、積分等的概念。在講解復(fù)變函數(shù)極限的定義時(shí)，要求學(xué)生觀察復(fù)變函數(shù)極限與實(shí)函數(shù)極限在定義上上的差異，明確兩者的不同之處在于趨近方式上，實(shí)函數(shù)是沿?cái)?shù)軸的兩個(gè)方向趨近，而復(fù)函數(shù)是平面上可以到達(dá)該點(diǎn)的任意路徑。這個(gè)不同之處正是實(shí)函數(shù)與復(fù)函數(shù)不同的根源所在，它貫穿了實(shí)與復(fù)的始終。由極限引發(fā)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微、積分都可由學(xué)生自己去總結(jié)它們之間的區(qū)別與聯(lián)系。在積分變換教學(xué)中也可采用類比建構(gòu)的方法對(duì)比傅立葉變換和拉普拉斯變換的區(qū)別與聯(lián)系：拉氏變換是傅氏變換的拓展，傅氏變換是拉氏變換的一種特例，他們的實(shí)質(zhì)都是時(shí)間函數(shù)到頻譜函數(shù)的映射，他們具有很多相似的地方。這種類比法還可應(yīng)用在格林公式與復(fù)合閉路定理、實(shí)復(fù)函數(shù)的Abel定理以及Taylor級(jí)數(shù)等內(nèi)容中。通過類比讓學(xué)生了解新舊知識(shí)的關(guān)系，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性，對(duì)知識(shí)起到承前啟后的作用。

三、更新教學(xué)手段

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，社會(huì)已經(jīng)進(jìn)入信息高度發(fā)達(dá)的時(shí)代。網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算機(jī)、多媒體等的飛速發(fā)展也為教學(xué)提供了大量便利的工具使得教學(xué)活動(dòng)不再局限于刻板的傳統(tǒng)教學(xué)模式。在復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)中，通過適當(dāng)運(yùn)用多媒體、投影儀等手段，使課程內(nèi)容更加生動(dòng)。但是作為數(shù)學(xué)課，演算與推理是必須的，這一過程在黑板上展示更好。對(duì)于一些含有圖象信息的內(nèi)容，如無窮大與復(fù)球面、共形影射等可以通過多媒體形式展示，通過動(dòng)畫效果使圖形變換過程生動(dòng)形象。因此，在教學(xué)過程中采用以板書為主，以多媒體技術(shù)為輔的教學(xué)手段，將板書與多媒體有機(jī)結(jié)合起來。合理的運(yùn)用這些手段，必將使教學(xué)過程生動(dòng)形象，同時(shí)更好地提高教學(xué)質(zhì)量。

另外，還可以通過增加實(shí)踐環(huán)節(jié)鍛煉學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手能力。實(shí)踐教學(xué)是新時(shí)期高等教育教學(xué)改革中的重要內(nèi)容和組成部分。通過開展實(shí)驗(yàn)課，利用相關(guān)計(jì)算機(jī)軟件，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力和創(chuàng)業(yè)意識(shí)。復(fù)變函數(shù)與積分變換在長(zhǎng)期的教學(xué)過程中并無實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，因此有必要?jiǎng)?chuàng)建融合課程理論與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)于一體的新型授課模式，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合，使學(xué)生利用計(jì)算機(jī)解決復(fù)變函數(shù)與積分變換中的實(shí)際問題。例如，增加傅立葉積分變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用實(shí)驗(yàn)課，使學(xué)生充分理解傅立葉變換的物理意義，熟練掌握其應(yīng)用特性；用Matlab了解關(guān)于數(shù)字信號(hào)的知識(shí)，學(xué)習(xí)產(chǎn)生信號(hào)和繪制信號(hào)的基本命令和一些基礎(chǔ)編程語言。這些都將會(huì)讓學(xué)生受益非淺。

復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的教學(xué)改革是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，需要不斷改進(jìn)和完善。要真正實(shí)現(xiàn)人才培養(yǎng)目標(biāo)，還需要廣大教師共同努力，讓學(xué)生真正學(xué)好這門專業(yè)基礎(chǔ)課程，才能在以后學(xué)習(xí)專業(yè)課中輕松自如地掌握相關(guān)知識(shí)，并運(yùn)用于實(shí)踐中。

[1]李文林.數(shù)學(xué)史[M].北京:高等教育出版社,2000：45-48.

[2]華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:高等教育出版社,2008.

[3]袁亞湘.大學(xué)數(shù)學(xué)重在介紹思想[J].高等數(shù)學(xué)研究,2002(3).

[4]龔定東，郭玉琴.關(guān)于復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂教學(xué)的思考[J].高等數(shù)學(xué)研究,2009(12).

O174.5；G642.0

A

1673-1999（2010）24-0181-02

鐘樺（1980-），女，重慶人，博士，重慶科技學(xué)院數(shù)理系講師，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)。

2010-09-26