不完美維護(hù)下基于剩余壽命預(yù)測(cè)信息的設(shè)備維護(hù)決策模型

裴洪 胡昌華 司小勝 張正新 杜黨波

隨著現(xiàn)代高新科技的快速發(fā)展,航空航天和工業(yè)制造等領(lǐng)域的關(guān)鍵設(shè)備呈現(xiàn)出大規(guī)模和復(fù)雜化的趨勢(shì),同時(shí)也對(duì)這類(lèi)設(shè)備的可靠性和安全性提出了更苛刻的要求.為確保關(guān)鍵設(shè)備安全穩(wěn)定運(yùn)行,預(yù)測(cè)與健康管理(Prognostics and health management,PHM)作為一門(mén)新興技術(shù)受到了學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注[1?2].視情維護(hù)(Condition-based maintenance,CBM)作為PHM的重要組成,能夠提高關(guān)鍵設(shè)備的安全性和可靠性,降低失效事件發(fā)生的概率.因而,CBM成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)問(wèn)題,涌現(xiàn)出了大量的學(xué)術(shù)成果[3?9].

根據(jù)修復(fù)程度不同,通常將維護(hù)分為完美維護(hù)、不完美維護(hù)和小修[10?11]三類(lèi).完美維護(hù)即設(shè)備的退化指標(biāo)通過(guò)維護(hù)活動(dòng)恢復(fù)至全新的狀態(tài),適用于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的設(shè)備;小修即通過(guò)維護(hù)沒(méi)有改善設(shè)備的退化狀態(tài),適用于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的設(shè)備[6].然而,在工程實(shí)際中,大部分維護(hù)活動(dòng)均為不完美維護(hù),即設(shè)備的退化指標(biāo)通過(guò)維護(hù)活動(dòng)無(wú)法恢復(fù)至全新的狀態(tài),只能恢復(fù)至修復(fù)如新和修復(fù)如舊之間的某一狀態(tài)[6,10,12],例如為旋轉(zhuǎn)部件噴灑潤(rùn)滑劑,對(duì)陀螺儀力矩器電流進(jìn)行調(diào)整等.因此,相對(duì)于完美維護(hù)和小修,不完美維護(hù)更具一般性.不完美維護(hù)通常能夠減緩設(shè)備的退化過(guò)程,實(shí)現(xiàn)延壽的目的,受到了學(xué)者們的普遍關(guān)注[13?14].

現(xiàn)有文獻(xiàn)中,不完美維護(hù)的模型一般分為年齡減少模型、風(fēng)險(xiǎn)率增加模型及混合模型[15].Kijima等基于虛擬年齡的概念提出年齡減少模型以描述不完美維護(hù)活動(dòng)對(duì)設(shè)備的影響[16].Nakagawa等從風(fēng)險(xiǎn)率的角度提出了風(fēng)險(xiǎn)率增加模型,通過(guò)引入調(diào)節(jié)因子刻畫(huà)風(fēng)險(xiǎn)率的變化趨勢(shì),進(jìn)而實(shí)現(xiàn)不完美維護(hù)模型的構(gòu)建[17].Zhou等通過(guò)融合這兩類(lèi)模型提出一種混合模型進(jìn)一步改進(jìn)了傳統(tǒng)的不完美維護(hù)模型,并在理論上驗(yàn)證了該模型的合理性[18].上述不完美維護(hù)的模型分別從虛擬年齡和風(fēng)險(xiǎn)率的角度描述不完美維護(hù)影響,忽略了實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中獲取的性能退化數(shù)據(jù),難以保證維護(hù)決策的準(zhǔn)確性.隨著傳感技術(shù)的不斷發(fā)展,退化建模逐漸成為當(dāng)前剩余壽命(Remaining life,RL)預(yù)測(cè)的主流方法[19].國(guó)內(nèi)外有關(guān)從退化角度描述不完美維護(hù)模型的研究較為匱乏,亟需一種基于退化建模的不完美維護(hù)模型.Van等考慮了不完美維護(hù)對(duì)退化量的影響,認(rèn)為不完美維護(hù)后退化量將減少一個(gè)隨機(jī)量[20].Wang等進(jìn)一步研究這種影響,提出一種帶有負(fù)跳變的Wiener過(guò)程對(duì)維護(hù)活動(dòng)干預(yù)下的設(shè)備RL進(jìn)行預(yù)測(cè),但沒(méi)有涉及維護(hù)決策的問(wèn)題[14].Guo等針對(duì)任務(wù)導(dǎo)向型設(shè)備,基于Wiener退化過(guò)程構(gòu)建出維護(hù)決策模型,通過(guò)引入殘余退化量的概念形象刻畫(huà)出不完美維護(hù)對(duì)退化量的影響,通過(guò)優(yōu)化決策函數(shù)進(jìn)而確定出最優(yōu)預(yù)防性維護(hù)閾值[4].Zhang等通過(guò)引入隨機(jī)改善因子考慮了不完美維護(hù)對(duì)退化率的影響,從退化率的角度提出一種新的不完美維護(hù)模型,實(shí)現(xiàn)了陀螺儀的最優(yōu)維護(hù)[6].以上基于退化建模的不完美維護(hù)模型,僅考慮不完美維護(hù)對(duì)退化量和退化率的單一影響,忽略了對(duì)兩者的雙重影響.一般而言,經(jīng)歷不完美維護(hù)后,設(shè)備的退化量與退化率均會(huì)發(fā)生變化.因而為刻畫(huà)不完美維護(hù)的影響,在構(gòu)建不完美維護(hù)模型時(shí)必須同時(shí)融入這兩方面的變化.

鑒于此,本文基于實(shí)際中普遍采用的定期檢測(cè)策略,提出一種考慮不完美維護(hù)活動(dòng)影響的性能退化模型和維護(hù)決策模型,融合維護(hù)活動(dòng)對(duì)設(shè)備退化量和退化率的雙重影響.1)基于Wiener過(guò)程分階段構(gòu)建存在不完美維護(hù)干預(yù)的隨機(jī)退化模型,在首達(dá)時(shí)間的意義下推導(dǎo)出RL的解析概率分布;2)基于RL的預(yù)測(cè)結(jié)果,以檢測(cè)間隔和預(yù)防性維護(hù)閾值為決策變量建立維護(hù)決策模型,通過(guò)搜索方法求取檢測(cè)間隔和預(yù)防性維護(hù)閾值,從而最優(yōu)實(shí)現(xiàn)工程設(shè)備的最優(yōu)維護(hù);3)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文模型的有效性,并對(duì)費(fèi)用參數(shù)進(jìn)行敏感性分析.

1 問(wèn)題描述與模型假設(shè)

1.1 問(wèn)題描述

對(duì)于關(guān)鍵工程設(shè)備而言,通過(guò)狀態(tài)監(jiān)測(cè)技術(shù)能夠獲得設(shè)備當(dāng)前的退化水平,將獲取的退化水平與預(yù)防性維護(hù)閾值進(jìn)行比較從而指導(dǎo)維護(hù)活動(dòng),當(dāng)其超出預(yù)防性維護(hù)閾值時(shí)進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)活動(dòng).在實(shí)際工程中,預(yù)防性維護(hù)一方面會(huì)改善設(shè)備的退化狀態(tài),可用殘余退化量刻畫(huà);另一方面將加快設(shè)備的退化速度.需要強(qiáng)調(diào)的是,本文提到的預(yù)防性維護(hù)均指不完美維護(hù).為了保證設(shè)備的運(yùn)行可靠性和經(jīng)濟(jì)可承受性,工程實(shí)際中通常會(huì)限制預(yù)防性維護(hù)的次數(shù)N.當(dāng)設(shè)備經(jīng)歷N次預(yù)防性維護(hù)后,若其退化水平達(dá)到了預(yù)先設(shè)定的失效閾值w,意味著設(shè)備發(fā)生失效,為了避免財(cái)產(chǎn)損失和事故發(fā)生,在達(dá)到了失效閾值前需要對(duì)設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性替換,如圖1所示.

圖1 不完美維護(hù)干預(yù)下的設(shè)備退化軌跡Fig.1 Degradation trajectory under the in fluence of imperfect maintenance

針對(duì)上述維護(hù)活動(dòng)干預(yù)下的設(shè)備退化過(guò)程,檢測(cè)間隔Δt與預(yù)防性維護(hù)閾值wp不僅影響設(shè)備的安全性和可靠性,同時(shí)對(duì)設(shè)備的運(yùn)行成本也有一定影響.一方面,檢測(cè)間隔過(guò)大時(shí),無(wú)法準(zhǔn)確獲取設(shè)備退化水平的變化情況,貽誤了最佳維護(hù)和替換時(shí)機(jī),難以保證設(shè)備的安全性和可靠性.另一方面,采取較小的檢測(cè)周期便于掌握設(shè)備退化狀態(tài)變化情況,但對(duì)于檢測(cè)成本較高的設(shè)備,頻繁的檢測(cè)將引起設(shè)備運(yùn)行費(fèi)用的提高,造成人力與物力的浪費(fèi).相似地,當(dāng)預(yù)防性維護(hù)閾值過(guò)低時(shí),設(shè)備的安全性和可靠性得到了有力保障,但頻繁的維護(hù)縮短了設(shè)備的運(yùn)行時(shí)間,無(wú)法保證工程實(shí)際中的任務(wù)完成率;當(dāng)預(yù)防性維護(hù)閾值過(guò)高時(shí),設(shè)備運(yùn)行過(guò)程中的安全性和可靠性難以得到保證.因此,合理的檢測(cè)間隔和預(yù)防性維護(hù)閾值能夠?qū)崿F(xiàn)設(shè)備的最優(yōu)維護(hù),在維護(hù)決策領(lǐng)域發(fā)揮著舉足輕重的作用.

基于上述分析,本文主要研究以下內(nèi)容:

1)如何基于Wiener過(guò)程分階段對(duì)考慮不完美維護(hù)活動(dòng)影響的設(shè)備進(jìn)行退化建模;

2)如何基于退化模型在首達(dá)時(shí)間意義下進(jìn)行RL預(yù)測(cè);

3)如何基于RL預(yù)測(cè)結(jié)果構(gòu)建維護(hù)決策模型以及在維護(hù)決策模型基礎(chǔ)上確定最優(yōu)檢測(cè)間隔和預(yù)防性維護(hù)閾值.

1.2 模型假設(shè)

1)設(shè)備經(jīng)歷的檢測(cè)活動(dòng)是定期的且完美的,能夠完全反映設(shè)備退化水平,單次檢測(cè)費(fèi)用為Ci,檢測(cè)間隔為Δt,檢測(cè)所需時(shí)間可忽略不計(jì);

2)設(shè)備經(jīng)歷的預(yù)防性維護(hù)活動(dòng)是不完美的,且對(duì)退化量與退化率有著雙重影響;

3)若檢測(cè)到設(shè)備的退化量超出失效閾值w時(shí),設(shè)備需要進(jìn)行失效性替換,相應(yīng)費(fèi)用為Cf,替換所需時(shí)間可忽略不計(jì);

4)若檢測(cè)到設(shè)備的退化量介于預(yù)防性維護(hù)閾值wp與失效閾值w之間時(shí),設(shè)備需要進(jìn)行預(yù)防性維護(hù),相應(yīng)費(fèi)用為Cp,維護(hù)所需時(shí)間可忽略不計(jì);

5)若檢測(cè)到設(shè)備的退化量低于預(yù)防性維護(hù)閾值wp,設(shè)備繼續(xù)運(yùn)行,不需要進(jìn)行任何維護(hù)活動(dòng);

6)當(dāng)設(shè)備經(jīng)歷N次預(yù)防性維護(hù)后,若在設(shè)備發(fā)生失效前進(jìn)行替換活動(dòng),即預(yù)防性替換,相應(yīng)費(fèi)用為Cr.

2 基于Wiener過(guò)程的退化建模和RL預(yù)測(cè)

基于Wiener過(guò)程的退化模型是一類(lèi)常見(jiàn)的隨機(jī)退化模型,廣泛應(yīng)用于設(shè)備腐蝕、機(jī)械磨損等實(shí)際退化過(guò)程中[4,6,14,21?22].本文采用Wiener過(guò)程對(duì)考慮維護(hù)活動(dòng)影響的設(shè)備進(jìn)行退化建模和RL分析,即基于Wiener過(guò)程分階段對(duì)退化過(guò)程進(jìn)行建模,經(jīng)過(guò)i次維護(hù)活動(dòng)后進(jìn)入壽命周期的第i+1階段,設(shè)備退化量可表示為[21?22]

其中,X(t)為設(shè)備在t時(shí)刻的退化量,i(0≤i≤N)為t時(shí)刻前設(shè)備已經(jīng)歷的維護(hù)次數(shù),N為預(yù)防性維護(hù)的總數(shù),zi為第i次維護(hù)后的殘余退化量,刻畫(huà)維護(hù)活動(dòng)對(duì)退化量的影響,假設(shè)其概率密度函數(shù)滿足[4]

其中,a,b為超參數(shù),I(zi)為示值函數(shù),且有

其中,wp為預(yù)防性維護(hù)閾值,一般由工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)和專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)確定,且有z0=0.λi為第i次維護(hù)后漂移系數(shù),刻畫(huà)維護(hù)活動(dòng)對(duì)退化率的影響,且λi=(i+1)λ0,λ0為未進(jìn)行維護(hù)時(shí)的漂移系數(shù).值得注意的是,退化率的本質(zhì)為退化量的一階導(dǎo)數(shù).Ti為第i次維護(hù)時(shí)刻,σB為擴(kuò)散系數(shù),B(×)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

基于首達(dá)時(shí)間的概念,在第i次預(yù)防性維護(hù)后殘余退化量zi給定的情況下,設(shè)備的退化量首達(dá)預(yù)防性維護(hù)閾值wp的時(shí)間Ri,wp及首達(dá)失效閾值w的時(shí)間Ri,w可定義為

根據(jù)文獻(xiàn)[4,21],能夠進(jìn)一步得到兩類(lèi)首達(dá)時(shí)間Ri,wp和Ri,w的概率密度函數(shù)(Probability density function,PDF)和累積分布函數(shù)(Cumulative distribution function,CDF).

3 維護(hù)決策模型與求解

為了評(píng)估維護(hù)策略的性能,本文選擇長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率函數(shù)作為主要指標(biāo)對(duì)維護(hù)策略進(jìn)行性能分析.具體地,以檢測(cè)間隔與預(yù)防性維護(hù)閾值為決策變量,最小化長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率函數(shù)為準(zhǔn)則,根據(jù)更新報(bào)酬理論,維護(hù)決策模型表示為[3]

其中,EU為設(shè)備壽命周期內(nèi)的運(yùn)行總費(fèi)用,包含預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用、檢測(cè)費(fèi)用、預(yù)防性替換費(fèi)用和失效性替換費(fèi)用,EV為設(shè)備壽命周期的期望.

基于上述分析,EU可進(jìn)一步表示為

其中,Ci為檢測(cè)費(fèi)用,Cp為預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用,Cr為預(yù)防性替換費(fèi)用,Cf為失效性替換費(fèi)用,且Ci＜Cp＜Cr＜Cf.E(Ni)為檢測(cè)次數(shù)的期望值,E(Np)為預(yù)防性維護(hù)次數(shù)的期望值,Pr(Δt,wp)為設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性替換的概率,Pf(Δt,wp)為設(shè)備進(jìn)行失效性替換的概率.

設(shè)備壽命周期的終結(jié)通常分為兩種情形:1)預(yù)防性替換引起壽命周期的計(jì)劃終止;2)失效性替換引起設(shè)備壽命周期的意外終止.

3.1 預(yù)防性替換

設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性替換的過(guò)程如圖2所示.

圖2 預(yù)防性替換過(guò)程Fig.2 Process of the preventive replacement

從圖2可以看出,設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性替換需要滿足兩個(gè)前提條件:1)設(shè)備進(jìn)行了N次預(yù)防性維護(hù);2)失效前對(duì)設(shè)備進(jìn)行更換.假定預(yù)防性替換時(shí)刻為(k+1)Δt(k≥N),預(yù)防性替換活動(dòng)通過(guò)對(duì)設(shè)備進(jìn)行更換進(jìn)而保證設(shè)備運(yùn)行的安全性和可靠性,且第i(1≤i≤N)次預(yù)防性維護(hù)時(shí)刻為jiΔt.由于預(yù)防性維護(hù)時(shí)刻jiΔt具有隨機(jī)性,因而為確定此時(shí)刻進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)的概率P(ji),給出如下定理.

定理1.對(duì)于不完美維護(hù)活動(dòng)干預(yù)的隨機(jī)退化設(shè)備,在jiΔt(i∈[1,N],i∈N+)時(shí)刻進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)的概率P(ji)能夠表示為

證明.在jiΔt時(shí)刻進(jìn)行預(yù)防性維護(hù),即(ji?1)Δt的退化量X((ji?1)Δt)低于預(yù)防性維護(hù)閾值wp,且jiΔt的退化量X(jiΔt)介于預(yù)防性維護(hù)閾值wp和失效閾值w之間,因而,jiΔt時(shí)刻進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)的概率P(ji)可進(jìn)一步表示為

值得注意的是,式(13)的推導(dǎo)利用了Wiener過(guò)程的獨(dú)立增量特性,即X(jiΔt)?X((ji?1)Δt)=X(Δt).在不考慮殘余退化量zi?1隨機(jī)性的情況下,同時(shí)基于獨(dú)立事件的相關(guān)知識(shí),則jiΔt時(shí)刻進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)的條件概率P(ji|zi?1)可表示為

考慮(ji?1)Δt時(shí)刻退化量X((ji?1)Δt)的隨機(jī)性,式(14)中的幾項(xiàng)概率為

將式(15)～(17)分別代入式(14),可得jiΔt時(shí)刻進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)的條件概率P(ji|zi?1).

根據(jù)全概率公式,jiΔt時(shí)刻進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)的概率P(ji)可表示為

基于上述描述,設(shè)備在(k+1)Δt(k≥N)進(jìn)行預(yù)防性替換之前,經(jīng)歷了N次預(yù)防性維護(hù),這些維護(hù)不僅自身相互獨(dú)立而且與維護(hù)后的替換活動(dòng)相互獨(dú)立.假定設(shè)備在kΔt時(shí)刻的退化量為X(kΔt),在(k+1)Δt時(shí)刻的退化量為((k+1)Δt),根據(jù)上述定理的結(jié)論,設(shè)備在(k+1)Δt(k≥N)進(jìn)行預(yù)防性替換概率Pr(k+1,N)可表示為

設(shè)備在N次預(yù)防性維護(hù)后進(jìn)行預(yù)防性替換的概率Pr(Δt,wp)為

3.2 失效性替換

根據(jù)概率論中對(duì)立事件的關(guān)系,設(shè)備進(jìn)行失效性替換的概率可表示為

具體地,由于設(shè)備性能退化的隨機(jī)性,設(shè)備在壽命周期內(nèi)的任何階段內(nèi)均有可能發(fā)生失效,失效后進(jìn)行的替換活動(dòng)均為失效性替換.假定設(shè)備在(kΔt,(k+1)Δt]發(fā)生失效,根據(jù)失效前經(jīng)歷維護(hù)活動(dòng)的次數(shù),將失效性替換分為兩種情況.

1)設(shè)備失效前未進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)活動(dòng).如圖3(a)所示,設(shè)備在壽命周期的第一階段內(nèi),即第一次預(yù)期維護(hù)前突發(fā)失效,通過(guò)狀態(tài)檢測(cè)技術(shù)失效狀態(tài)會(huì)在下一個(gè)檢測(cè)時(shí)刻(k+1)Δt發(fā)現(xiàn),進(jìn)而對(duì)設(shè)備進(jìn)行更換,實(shí)現(xiàn)壽命周期的交替循環(huán).

圖3 預(yù)防性替換過(guò)程Fig.3 Process of the preventive maintenance

設(shè)備失效前未進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)活動(dòng)意味著預(yù)防性維護(hù)活動(dòng)無(wú)法在延壽方面發(fā)揮作用,等價(jià)于在設(shè)備壽命周期的第一階段內(nèi)在kΔt時(shí)刻的退化量X(kΔt)小于預(yù)防性維護(hù)閾值wp,在(k+1)Δt時(shí)刻的退化量X((k+1)Δt)大于失效閾值w,則設(shè)備在失效前未進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)活動(dòng)的概率Pf(k+1,0)可表示為

2)設(shè)備失效前進(jìn)行了n(1≤n≤N)次預(yù)防性維護(hù).如圖3(b)所示,設(shè)備經(jīng)歷n次預(yù)防性維護(hù)后進(jìn)入在壽命周期第n+1階段,此時(shí)設(shè)備在(kΔt,(k+1)Δt]區(qū)間突發(fā)失效,由于預(yù)防性維護(hù)次數(shù)n＞0,意味著預(yù)防性維護(hù)活動(dòng)在延壽方面發(fā)揮了作用.基于定理1,則設(shè)備在失效前進(jìn)行n(1≤n≤N)次預(yù)防性維護(hù)的概率為

通過(guò)以上分析,能夠得到維護(hù)決策模型的相關(guān)參數(shù),其他參數(shù)(EV,E(Ni),E(Np))可基于上述參數(shù)推導(dǎo)得到

EV表示設(shè)備壽命周期的期望,由于預(yù)防性替換與失效性替換的替換時(shí)刻均為(k+1)Δt(k≥N),根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)可得壽命周期的期望值;E(Ni)表示檢測(cè)次數(shù)的期望值,由于檢測(cè)間隔為Δt,根據(jù)設(shè)備壽命周期的期望與檢測(cè)間隔的比值即可得出檢測(cè)次數(shù)的期望值;E(Np)表示預(yù)防性維護(hù)次數(shù)的期望值,與壽命周期的期望計(jì)算過(guò)程相似,同樣可根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)得到預(yù)防性維護(hù)次數(shù)的期望值.

將上述參數(shù)代入式(10)定義的維護(hù)決策模型中,利用MATLAB軟件通過(guò)搜索的方法尋求最優(yōu)的檢測(cè)間隔和預(yù)防性維護(hù)閾值,并進(jìn)行敏感度分析,研究費(fèi)用參數(shù)對(duì)最小長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率的影響.

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)本文模型的有效性和優(yōu)越性進(jìn)行驗(yàn)證,確定最優(yōu)的檢測(cè)間隔和預(yù)防性維護(hù)閾值,實(shí)現(xiàn)工程實(shí)際中的最優(yōu)維護(hù),同時(shí)對(duì)相關(guān)費(fèi)用參數(shù)的敏感性進(jìn)行系統(tǒng)分析.在實(shí)驗(yàn)中,將本文模型記為模型1,將文獻(xiàn)[4]模型記為模型2,通過(guò)對(duì)比兩種模型得出最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率,實(shí)現(xiàn)兩種模型的比較.

4.1 參數(shù)設(shè)置

假定設(shè)備的退化過(guò)程服從式(1)定義的Wiener過(guò)程,其中,未進(jìn)行維護(hù)時(shí)的漂移系數(shù)λ0和擴(kuò)散系數(shù)σB分別設(shè)為0.3和0.2,殘余退化量的參數(shù)(a,b)設(shè)為0.2和0.001.以周期Δt對(duì)設(shè)備的退化量進(jìn)行定期檢測(cè),單位為小時(shí),當(dāng)檢測(cè)到設(shè)備當(dāng)前退化量超出失效閾值w=10時(shí),意味著設(shè)備發(fā)生失效而停機(jī),此時(shí)必須進(jìn)行失效性替換;當(dāng)檢測(cè)到退化量介于失效閾值w與預(yù)防性維護(hù)閾值wp之間時(shí),應(yīng)立即采取預(yù)防性維護(hù)以保證設(shè)備運(yùn)行可靠性,經(jīng)過(guò)N=3次預(yù)防性維護(hù)后,當(dāng)退化量再次超出預(yù)防性維護(hù)閾值wp且未發(fā)生故障時(shí),立即進(jìn)行預(yù)防性替換.基于式(10),為得到長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率,需要給定檢測(cè)、預(yù)防性維護(hù)與預(yù)防性替換等相關(guān)費(fèi)用,相關(guān)費(fèi)用參數(shù)可參考表1.

表1 相關(guān)費(fèi)用參數(shù)Table 1 Cost parameters

4.2 結(jié)果分析與討論

參數(shù)設(shè)置完成后,基于模型1中的各參數(shù),能夠得出設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性替換的概率Pr(Δt,wp),設(shè)備進(jìn)行失效性替換的概率Pf(Δt,wp),監(jiān)測(cè)次數(shù)的期望值E(Ni),預(yù)防性維護(hù)次數(shù)的期望值E(Np)和設(shè)備壽命周期的期望EV,將所得結(jié)果代入式(10),得到長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率E(Δt,wp).為研究費(fèi)用率函數(shù)與兩類(lèi)決策變量間的關(guān)系,利用多維搜索的方法描繪出模型1費(fèi)用率的函數(shù)圖像,如圖4所示.從圖4可以看出,當(dāng)Δt=0.5小時(shí)且wp=9時(shí),長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率達(dá)到最小,最小值為13.02元/小時(shí),即實(shí)現(xiàn)工程實(shí)際中的最優(yōu)維護(hù).

圖4 模型1的決策變量與長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率的關(guān)系Fig.4 Relationship between the decision variables of model 1 and long term expected maintenance cost rate

對(duì)于模型2,為研究預(yù)防性維護(hù)閾值與長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率的關(guān)系,需要固定檢測(cè)間隔Δt,這里設(shè)定檢測(cè)間隔Δt=0.45小時(shí).由于模型2僅有一個(gè)決策變量,能夠較為方便地通過(guò)搜索方法確定最優(yōu)預(yù)防性維護(hù)閾值.預(yù)防性維護(hù)閾值與長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率的關(guān)系如圖5所示.從圖5可以看出,當(dāng)wp＜9時(shí),長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率隨著預(yù)防性閾值的增加單調(diào)遞減;當(dāng)wp＞9時(shí),長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率隨著預(yù)防性閾值的增加單調(diào)遞增;當(dāng)wp=9時(shí),長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率最小,最小值為14.31元/小時(shí).

圖5 模型2的決策變量與長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率的關(guān)系Fig.5 Relationship between the decision variables of model 2 and long term expected maintenance cost rate

通過(guò)對(duì)比圖4與圖5能夠發(fā)現(xiàn),模型1得出的最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率明顯小于模型2得出的最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率,主要原因是模型1優(yōu)化了維護(hù)決策模型中的兩個(gè)決策變量,而模型2僅優(yōu)化了維護(hù)決策模型中的一個(gè)決策變量.驗(yàn)證了本文模型的有效性與優(yōu)越性.

下面重點(diǎn)研究本文模型的最優(yōu)維護(hù)策略對(duì)維護(hù)費(fèi)用參數(shù)的敏感性.

為分析最優(yōu)維護(hù)策略對(duì)維護(hù)費(fèi)用參數(shù)的敏感性,本文基于固定變量法研究某種費(fèi)用參數(shù)與長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率的關(guān)系.首先研究檢測(cè)費(fèi)用Ci對(duì)最優(yōu)維護(hù)策略與最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率的影響.為方便研究,本文假定檢測(cè)費(fèi)用Ci滿足1元≤Ci≤50元,其他費(fèi)用參數(shù)固定不變,對(duì)于不同的檢測(cè)費(fèi)用,通過(guò)上述維護(hù)決策模型,能夠得到不同的最優(yōu)維護(hù)策略及最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率,如圖6所示.

從圖6能夠看出,對(duì)于最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率而言,當(dāng)檢測(cè)費(fèi)用Ci從1元變化至50元,最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率從12元/小時(shí)線性變化至24.4元/小時(shí),意味著檢測(cè)費(fèi)用Ci每增加1元,最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率增加約0.25元/小時(shí),由于最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率在整個(gè)區(qū)間內(nèi)始終保持這種線性變化關(guān)系,因而最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率受到檢測(cè)費(fèi)用的影響最為明顯.對(duì)于檢測(cè)間隔而言,隨著檢測(cè)費(fèi)用的變化,檢測(cè)間隔分別在Ci=6,12,34,45元附近有明顯的上升,每次上升約0.05小時(shí),檢測(cè)間隔在檢測(cè)費(fèi)用的大部分區(qū)間內(nèi)均保持恒定,因而檢測(cè)間隔受到檢測(cè)費(fèi)用的影響較為明顯.檢測(cè)間隔上升的主要原因是當(dāng)檢測(cè)費(fèi)用較低時(shí),頻繁的檢測(cè)能夠及時(shí)掌握設(shè)備的退化狀態(tài),保證設(shè)備的運(yùn)行可靠性,降低設(shè)備的失效風(fēng)險(xiǎn),因而此時(shí)最優(yōu)檢測(cè)間隔較短;隨著檢測(cè)費(fèi)用的增長(zhǎng),頻繁的檢測(cè)將導(dǎo)致檢測(cè)成本的上升,因而檢測(cè)間隔隨之提高.對(duì)于預(yù)防性維護(hù)閾值而言,隨著檢測(cè)費(fèi)用的變化,預(yù)防性維護(hù)閾值僅在Ci=17,34元附近有明顯的下降,第一次下降約0.2元,第二次下降約0.1元,預(yù)防性維護(hù)閾值在檢測(cè)費(fèi)用的大部分區(qū)間內(nèi)均保持恒定,因而預(yù)防性維護(hù)閾值受到檢測(cè)費(fèi)用的影響相對(duì)最小,即預(yù)防性維護(hù)閾值對(duì)檢測(cè)費(fèi)用的敏感性最差,總體上會(huì)略微下降,以降低設(shè)備失效的概率.

圖6 檢測(cè)費(fèi)用與最優(yōu)維護(hù)策略及最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率的關(guān)系Fig.6 Relationship between preventive maintenance cost and maintenance policy with the optimal long term expected maintenance cost rate

圖7給出了預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用與最優(yōu)維護(hù)策略及最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率的關(guān)系,假定預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用Cp滿足5元≤Cp≤180元,其他參數(shù)固定不變.從圖7可以看出,對(duì)于最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率而言,當(dāng)預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用Cp從5元變化至130元,最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率從8.93元/小時(shí)線性變化至17.51元/小時(shí),意味著預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用Cp每增加1元,最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率增加約0.069元/小時(shí)；當(dāng)Cp≥130元時(shí),最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率基本保持恒定,與文獻(xiàn)[23]中的結(jié)果相一致.由于最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率在預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用的大部分區(qū)間內(nèi)均保持上述線性變化關(guān)系,因而最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率受到預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用的影響最為明顯.對(duì)于預(yù)防性維護(hù)閾值而言,隨著預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用的變化,預(yù)防性維護(hù)閾值分別在Cp=20,53,84,129元附近有明顯的上升,每次上升約0.2元,預(yù)防性維護(hù)閾值在預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用的大部分區(qū)間內(nèi)均保持恒定,因而預(yù)防性維護(hù)閾值受到預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用的影響較為明顯.預(yù)防性維護(hù)閾值上升的主要原因是當(dāng)預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用較低時(shí),較低的預(yù)防性維護(hù)閾值可提高維護(hù)的頻率,保證了設(shè)備運(yùn)行的安全性與可靠性；隨著預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用的增長(zhǎng),頻繁的維護(hù)將導(dǎo)致維護(hù)成本的上升,因而預(yù)防性維護(hù)閾值隨之提高.對(duì)于檢測(cè)間隔而言,隨著預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用的變化,檢測(cè)間隔僅在Cp=20元附近上升至0.5小時(shí),之后一直保持在0.5小時(shí)不變,因而檢測(cè)間隔受到預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用的影響相對(duì)最小,即檢測(cè)間隔對(duì)預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用的敏感性最差.

圖7 預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用與最優(yōu)維護(hù)策略及最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率的關(guān)系Fig.7 Relationship between monitoring cost and maintenance policy with the optimal long term expected maintenance cost rate

圖8表示預(yù)防性替換費(fèi)用與最優(yōu)維護(hù)策略及最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率的關(guān)系,假定預(yù)防性替換費(fèi)用Cr滿足50元≤Cr≤500元,其他參數(shù)固定不變.從圖8可以看出,對(duì)于最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率而言,當(dāng)預(yù)防性替換費(fèi)用Cr從50元變化至500元,最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率從8.4元/小時(shí)線性變化至21.1元/小時(shí),意味著預(yù)防性替換費(fèi)用Cr每增加1元,最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率增加約0.028元/小時(shí),由于最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率在整個(gè)區(qū)間內(nèi)始終保持這種線性變化關(guān)系,因而最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率受到預(yù)防性替換費(fèi)用的影響最為明顯.對(duì)于預(yù)防性維護(hù)閾值而言,隨著預(yù)防性替換費(fèi)用的變化,預(yù)防性維護(hù)閾值分別在Cr=90,160,235,355,460元附近呈現(xiàn)明顯的降低趨勢(shì),每次降低約0.2元,預(yù)防性維護(hù)閾值在預(yù)防性替換費(fèi)用的大部分區(qū)間內(nèi)均保持恒定,因而預(yù)防性維護(hù)閾值受到預(yù)防性替換費(fèi)用的影響較為明顯.對(duì)于檢測(cè)間隔而言,當(dāng)預(yù)防性替換費(fèi)用50元≤Cr≤450元 時(shí),檢測(cè)間隔始終保持在0.5小時(shí)附近,預(yù)防性替換費(fèi)用Cr在450元附近時(shí),檢測(cè)間隔會(huì)上升至0.55小時(shí).檢測(cè)間隔上升的原因是當(dāng)預(yù)防性替換費(fèi)用在失效性替換費(fèi)用附近時(shí),預(yù)防性替換已難以降低設(shè)備的維護(hù)成本,意味著無(wú)需再進(jìn)行提前更換,因而檢測(cè)間隔會(huì)有所上升.

圖8 預(yù)防性替換費(fèi)用與最優(yōu)維護(hù)策略及最優(yōu)長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率的關(guān)系Fig.8 Relationship between preventive replacement cost and maintenance policy with the optimal long term expected maintenance cost rate

綜合上述實(shí)驗(yàn)研究可以看出,1)在給定的費(fèi)用參數(shù)條件下,本文模型能夠?qū)こ淘O(shè)備的檢測(cè)間隔Δt與預(yù)防性維護(hù)閾值wp進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化,保證了設(shè)備運(yùn)行的安全性和可靠性,延長(zhǎng)了設(shè)備的服役期限,降低了設(shè)備的維護(hù)成本,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了設(shè)備的最優(yōu)維護(hù).2)對(duì)于不同的費(fèi)用參數(shù),最優(yōu)維護(hù)策略的敏感程度具有明顯的差異性.具體地,對(duì)于檢測(cè)費(fèi)用而言,檢測(cè)間隔的敏感程度高于預(yù)防性維護(hù)閾值的敏感程度;相反,對(duì)于預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用和預(yù)防性替換費(fèi)用而言,預(yù)防性維護(hù)閾值的敏感程度遠(yuǎn)高于檢測(cè)間隔的敏感程度.長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率對(duì)于不同費(fèi)用參數(shù)的敏感程度具有一定相似性.一般來(lái)說(shuō),隨著費(fèi)用參數(shù)的增長(zhǎng),長(zhǎng)期期望維護(hù)費(fèi)用率將線性遞增.

5 結(jié)論

本文針對(duì)工程關(guān)鍵設(shè)備,基于實(shí)際中普遍采用的定期檢測(cè)策略,提出一種考慮不完美維護(hù)活動(dòng)影響的性能退化模型和維護(hù)決策模型,融合了不完美維護(hù)對(duì)設(shè)備退化量和退化率的雙重影響,確定了最優(yōu)的檢測(cè)間隔和預(yù)防性維護(hù)閾值,進(jìn)而達(dá)到了降低設(shè)備維護(hù)費(fèi)用的最終目的.由于Wiener過(guò)程通常僅用來(lái)描述線性退化過(guò)程,無(wú)法準(zhǔn)確刻畫(huà)出非線性退化過(guò)程,因而采用本文模型對(duì)非線性退化設(shè)備進(jìn)行維護(hù)決策時(shí),維護(hù)決策的結(jié)果會(huì)受到嚴(yán)重影響,難以實(shí)現(xiàn)工程實(shí)際中的最優(yōu)維護(hù).針對(duì)該模型的不足,下一步將研究如何基于非線性擴(kuò)散過(guò)程對(duì)不完美維護(hù)干預(yù)下的非線性退化設(shè)備進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè),以及如何利用剩余壽命預(yù)測(cè)信息進(jìn)行維護(hù)決策模型的構(gòu)建.

References

1 Pecht M G.Prognostics and Health Management of Electronics.New Jersey,USA:John Wiley,2008.

2 Zhou Dong-Hua,Wei Mu-Heng,Si Xiao-Sheng.A survey on anomaly detection,life prediction and maintenance decision for industrial processes.Acta Automatica Sinica,2013,39(6):711?722(周東華,魏慕恒,司小勝.工業(yè)過(guò)程異常檢測(cè)、壽命預(yù)測(cè)與維修決策的研究進(jìn)展.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2013,39(6):711?722)

3 Cheng Zhi-Jun,Guo-Bo.Optimization of inspection and maintenance policy for deteriorating system with semi-Markov decision process.Acta Automatica Sinica,2007,33(10):1101?1104(程志君,郭波.基于半Markov決策過(guò)程的劣化系統(tǒng)檢測(cè)與維修優(yōu)化模型.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2007,33(10):1101?1104)

4 Guo C M,Wang W B,Guo B,Si X S.A maintenance optimization model for mission-oriented systems based on Wiener degradation.Reliability Engineering and System Safety,2013,111:183?194

5 Tu Hui-Ling,Zhang Sheng-Gui,Si Shu-Bin,Dui Hong-Yan.The integrated importance measure of multi-state compound systems for maintenance processes.Acta Automatica Sinica,2014,40(1):126?134(涂慧玲,張勝貴,司書(shū)賓,兌紅炎.面向維修過(guò)程的多態(tài)混聯(lián)系統(tǒng)綜合重要度計(jì)算方法.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2014,40(1):126?134)

6 Zhang M M,Gaudoin O,Xie M.Degradation-based maintenance decision using stochastic filtering for systems under imperfect maintenance.European Journal of Operational Research,2015,245(2):531?541

7 Zhang M M,Ye Z S,Xie M.A condition-based maintenance strategy for heterogeneous populations.Computers and Industrial Engineering,2014,77:103?114

8 Xu Xiao-Bin,Zhang Zhen,Li Shi-Bao,Wen Cheng-Lin.Fault diagnosis based on fusion and updating of diagnosis evidence.Acta Automatica Sinica,2016,42(1):107?121(徐曉濱,張鎮(zhèn),李世寶,文成林.基于診斷證據(jù)靜態(tài)融合與動(dòng)態(tài)更新的故障診斷方法.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2016,42(1):107?121)

9 Gao Wen-Ke,Zhang Zhi-Sheng,Zhou Yi-Fan,Liu Yang,Liu Qi.Reliability modeling and maintenance policy for main and supplementary parallel system with failure interaction and imperfect detection.Acta Automatica Sinica,2015,41(12):2100?2114(高文科,張志勝,周一帆,劉飏,劉祺.存在故障相關(guān)及不完備檢測(cè)的主輔并聯(lián)系統(tǒng)可靠性建模與維修策略.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2015,41(12):2100?2114)

10 Pham H,Wang H Z.Imperfect maintenance.European Journal of Operational Research,1996,94(3):425?438

11 Mercier S,Castro I T.On the modelling of imperfect repairs for a continuously monitored gamma wear process through age reduction.Journal of Applied Probability,2013,50(4):1057?1076

12 Van P D,Voisin A,Levrat E,Lung B.Remaining useful life based maintenance decision making for deteriorating systems with both perfect and imperfect maintenance actions.In:Proceedings of the 2013 IEEE Conference on Prognostics and Health Management.Gaithersburg,MD,USA:IEEE,2013.1?9

13 Castro I T.A model of imperfect preventive maintenance with dependent failure modes.European Journal of Operational Research,2009,196(1):217?224

14 Wang Z Q,Hu C H,Wang W B,Si X S.A simulationbased remaining useful life prediction method considering the in fluence of maintenance activities.In:Proceedings of the 2014 Prognostics and System Health Management Conference.Zhangjiajie,China:IEEE,2014.284?289

15 Khatab A.Hybrid hazard rate model for imperfect preventive maintenance of systems subject to random deterioration.Journal of Intelligent Manufacturing,2015,26(3):601?608

16 Kijima M.Some results for repairable systems with general repair.Journal of Applied Probability,1989,26(1):89?102

17 Nakagawa T.Sequential imperfect preventive maintenance policies.IEEE Transactions on Reliability,1988,37(3):295?298

18 Zhou X J,Xi L F,Lee J.Reliability-centered predictive maintenance scheduling for a continuously monitored system subject to degradation.Reliability Engineering and System Safety,2007,92(4):530?534

19 Si X S,Wang W B,Hu C H,Zhou D H.Remaining useful life estimation—a review on the statistical data driven approaches.European Journal of Operational Research,2011,213(1):1?14

20 Van P D,Bérenguer C.Condition-based maintenance with imperfect preventive repairs for a deteriorating production system.Quality and Reliability Engineering International,2012,28(6):624?633

21 Si Xiao-Sheng,Hu Chang-Hua,Zhou Dong-Hua.Nonlinear degradation process modeling and remaining useful life estimation subject to measurement error.Acta Automatica Sinica,2013,39(5):530?541(司小勝,胡昌華,周東華.帶測(cè)量誤差的非線性退化過(guò)程建模與剩余壽命估計(jì).自動(dòng)化學(xué)報(bào),2013,39(5):530?541)

22 Huang Z Y,Xu Z G,Ke X J,Wang W H,Sun Y X.Remaining useful life prediction for an adaptive skew-Wiener process model.Mechanical Systems and Signal Processing,2017,87:294?306

23 Ge En-Shun,Li Qing-Min,Zhang Guang-Yu,Yang Mei-Ling.Optimization of condition-based maintenance for degradation systems under imperfect maintenance.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2013,34(2):316?324(葛恩順,李慶民,張光宇,楊美玲.考慮不完全維修的劣化系統(tǒng)最優(yōu)視情維修策略.航空學(xué)報(bào),2013,34(2):316?324)