在《離散數(shù)學(xué)》的教學(xué)實(shí)踐中融入數(shù)學(xué)建模思想

溫雪蓮 華南師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 510006

在《離散數(shù)學(xué)》的教學(xué)實(shí)踐中融入數(shù)學(xué)建模思想

溫雪蓮 華南師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 510006

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)以及相關(guān)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程。數(shù)學(xué)建模對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力具有重要的作用。本文從在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的意義、方法與實(shí)踐以及對(duì)可能遇到的問題的討論幾個(gè)方面探討離散數(shù)學(xué)的教學(xué)與數(shù)學(xué)建模思想關(guān)系。

Discrete Mathematics; Computer Science and Technology;Mathematical Modeling

離散數(shù)學(xué)是研究離散數(shù)量關(guān)系和離散結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)分支的統(tǒng)稱。是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程。課程涉及的概念、方法和理論在數(shù)字電路、數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)、軟件工程、人工智能、多媒體技術(shù)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等專業(yè)課程都有大量的應(yīng)用。離散數(shù)學(xué)課程所傳授的思想，廣泛地體現(xiàn)在計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)及相關(guān)專業(yè)的諸領(lǐng)域。學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)不僅是為了鍛煉思維能力，更重要的是將所學(xué)的知識(shí)用于解決實(shí)際問題。而數(shù)學(xué)建模就是將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問題的過程。若在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，將有助于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力，同時(shí)也有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的興趣。當(dāng)前，已有許多對(duì)數(shù)學(xué)建模與教學(xué)的關(guān)系的探討[1-3]。本文將從在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的意義、方法與實(shí)踐以及可能遇到的問題等幾個(gè)方面討論如何在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想。

1、融入數(shù)學(xué)建模思想的意義

數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語言，通過抽象、簡化，建立起來的描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這個(gè)結(jié)構(gòu)可以是公式、方程、表格、圖形等。例如：在網(wǎng)絡(luò)的當(dāng)前的負(fù)載狀況下，網(wǎng)絡(luò)兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的一條耗時(shí)最短的通信線路問題可以抽象為賦權(quán)圖中兩點(diǎn)之間邊權(quán)值和最小的通路的數(shù)學(xué)模型；在一定的人力、物力等資源條件下，使得經(jīng)濟(jì)效益最大或資源消耗最小的資源分配問題就可以抽象為線性規(guī)劃模型，問題的求解等價(jià)于求對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解。由此可見，數(shù)學(xué)建模的目的是將復(fù)雜的客觀事物或聯(lián)系簡單化并用數(shù)學(xué)手段對(duì)其進(jìn)行分析和處理。馬克思曾經(jīng)說過“一種科學(xué)只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到真正完善的地步”。數(shù)學(xué)建模正是人們認(rèn)識(shí)世界和改造世界的重要數(shù)學(xué)工具。

建立數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題要經(jīng)過模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解和模型分析這五個(gè)步驟。模型準(zhǔn)備就是了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對(duì)象的特征；模型假設(shè)是根據(jù)對(duì)象的特征和建模目的，對(duì)問題進(jìn)行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設(shè)；模型構(gòu)成是根據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量間的等式關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；模型求解就是采用各種已有的數(shù)學(xué)方法或計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解；模型分析就是將求解結(jié)果進(jìn)行誤差或穩(wěn)定性等數(shù)學(xué)分析，并解釋為對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的解答。由此可見，思想數(shù)學(xué)建模就是將數(shù)學(xué)的理論知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想就是鍛煉應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

國內(nèi)外數(shù)學(xué)教學(xué)改革的趨勢, 越來越注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用性。不注重應(yīng)用性的數(shù)學(xué)教學(xué)，只能使學(xué)生知道一些概念，認(rèn)識(shí)了許多公式，了解了各種方法，可是遇到實(shí)際問題時(shí)卻無從下手。這樣得到的知識(shí)是“死”的，能被應(yīng)用的知識(shí)才是“活”的。在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，就是讓學(xué)生將概念、定理和方法變成能用于解決實(shí)際問題的“活知識(shí)”。這不僅符合數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要,也是社會(huì)發(fā)展的需要。

在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的積極性。離散數(shù)學(xué)課程主要包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論四個(gè)部分。具有內(nèi)容零散，概念多，理論性強(qiáng)和高度抽象等特點(diǎn)。如果僅對(duì)概念和定理進(jìn)行理論講解，不但聽起來覺得比較枯燥，而且學(xué)生在學(xué)習(xí)過程無法體會(huì)到它在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用，容易失去學(xué)習(xí)的熱情和產(chǎn)生畏難心理。用數(shù)學(xué)建模的思想指導(dǎo)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)，將生活實(shí)踐引入課堂，用課本知識(shí)分析實(shí)際問題，讓學(xué)生感到離散數(shù)學(xué)貼近生活。教師可以引導(dǎo)學(xué)生自己尋找與該數(shù)學(xué)模型相吻合的實(shí)際問題活用離散數(shù)學(xué)建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行報(bào)告和討論，使得學(xué)生有自己獨(dú)到的見解和看法，有助于知識(shí)的融會(huì)貫通和掌握，大大提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的興趣。

在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，還有助于培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、綜合、類比能力和抽象思維。運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題必須首先觀察分析實(shí)際問題，抽象出問題包含的量及量之間的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)語言表示出來，然后再把數(shù)學(xué)模型納入某知識(shí)系統(tǒng)進(jìn)行處理。完成這個(gè)過程需要學(xué)生具有一定的觀察、分析、抽象、綜合和類比能力，并把數(shù)學(xué)知識(shí)融入到解決問題中。這種能力并非一朝一夕就可以獲得，只有將數(shù)學(xué)建模思想貫穿于教學(xué)中，不斷引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去觀察、分析、抽象，從紛繁復(fù)雜的具體問題抽象出數(shù)學(xué)模型，才能使數(shù)學(xué)建模思想成為學(xué)生思考問題的習(xí)慣。

2、離散數(shù)學(xué)融入數(shù)學(xué)建模思想的方法與實(shí)踐

要將數(shù)學(xué)建模思想融入到離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中，需要從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法入手。

2.1 挖掘應(yīng)用，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情

傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)教材只包含極少的應(yīng)用實(shí)例，有些部分甚至只是簡單地提及在哪些領(lǐng)域有應(yīng)用。比如代數(shù)結(jié)構(gòu)部分，大部分教材都只包含了大量的概念和題解，看似數(shù)學(xué)專業(yè)教材的一部分，學(xué)生學(xué)起來比較枯燥。而在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的關(guān)鍵就是在教學(xué)中聯(lián)系實(shí)際，因此，教師需要深入鉆研教學(xué)內(nèi)容，廣泛搜集資料，挖掘離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用素材，加以推廣，結(jié)合計(jì)算機(jī)專業(yè)選編合適的實(shí)際問題，創(chuàng)建實(shí)際問題情境。盡量選擇與學(xué)生身邊或?qū)I(yè)性的問題，使學(xué)生體會(huì)到所學(xué)知識(shí)的實(shí)用價(jià)值，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

例如，布爾代數(shù)[4]是離散數(shù)學(xué)中比較抽象的概念，如果只作理論上的闡釋往往會(huì)讓學(xué)生覺得晦澀難懂，為了吸引學(xué)生的注意力和興趣，教師可以先引入如下的應(yīng)用實(shí)例：在舉重比賽中，通常設(shè)三位裁判，一位主裁判，兩位副裁判；競賽規(guī)則規(guī)定運(yùn)動(dòng)員每次試舉必須獲得主裁判及至少一位副裁判的認(rèn)可，方算成功。裁判的意見只有通過和不通過兩種；運(yùn)動(dòng)員的試舉也只有成功和失敗兩種，如何設(shè)計(jì)滿足這些要求的舉重裁判的設(shè)計(jì)電路呢？通過引入這些有趣的實(shí)例來講解布爾代數(shù)的理論，能激發(fā)學(xué)生用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的思考、分析和求解，這就是數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生的鍛煉過程，這個(gè)過程使學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力得到提升，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)建模的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)和興趣。類似的例子在離散數(shù)學(xué)中有很多，需要教師留心身邊的實(shí)例和查閱相關(guān)的資料，不能僅僅依靠一兩本教材。

2.2 在概念、定理的講授及課后習(xí)題中引入數(shù)學(xué)建模思想

不但要挖掘?qū)嶋H應(yīng)用實(shí)例融入理論教學(xué)中，在課程講授方式上也要融入數(shù)學(xué)建模的思想。

離散數(shù)學(xué)課程中包含很多概念，如果著重于概念的闡釋，學(xué)生無法深刻理解，而且忘得快。如果在講解概念的時(shí)候滲透數(shù)學(xué)建模的思想就可以解決這個(gè)問題。數(shù)學(xué)概念都是從客觀事物的某種數(shù)量關(guān)系或空間形式中抽象出來的數(shù)學(xué)模型，本身就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想。因此在講解概念時(shí)可以借助于概念產(chǎn)生的背景，以及概念是如何由實(shí)際問題通過分析、抽象、概括而得到的過程，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)到由實(shí)際問題到數(shù)學(xué)概念的方法，不但能加深學(xué)生對(duì)概念的理解，而且能逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識(shí)。例如：集合是對(duì)若干無聯(lián)系的具體或抽象的對(duì)象的整體的抽象。圖論中研究的圖是對(duì)若干兩兩之間存在或不存在某種關(guān)系的對(duì)象以及它們之間的關(guān)系的抽象，這個(gè)抽象起源于哥尼斯堡七橋問題等等。

數(shù)學(xué)公式定理也是離散數(shù)學(xué)的重要組成部分。在講解公式時(shí)，教師可以設(shè)置能反映公式結(jié)論的實(shí)際用例，通過向同學(xué)們提出疑問的方式，由學(xué)生們自己推導(dǎo)出公式。例如，在講解二部圖具有覆蓋一個(gè)部的匹配的Hall定理[5]時(shí)，教師可以先舉這樣的一個(gè)實(shí)例讓學(xué)生進(jìn)行思考，如果有n個(gè)工人和m項(xiàng)任務(wù)，其中n≥m，每個(gè)工人能勝任其中的若干項(xiàng)任務(wù)，當(dāng)工人和項(xiàng)目之間滿足什么條件時(shí)，所有項(xiàng)目都能找到勝任該任務(wù)的工人來完成？學(xué)生們要思考這個(gè)問題，首先就要將每項(xiàng)任務(wù)和每個(gè)工人分別用圖中不同的點(diǎn)來表示，如果一個(gè)工人勝任一項(xiàng)任務(wù)，就在代表該工人和任務(wù)的點(diǎn)之間連一條邊，這樣抽象出來的二部圖就是該問題的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，原問題實(shí)際上就轉(zhuǎn)化為在這個(gè)二部圖中兩個(gè)分類中的頂點(diǎn)之間存在什么關(guān)系，才能使得該圖有完美匹配。這樣，在介紹公式的同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想，也加深學(xué)生對(duì)公式的理解與掌握。

此外，在習(xí)題課和作業(yè)的安排中也可以融入數(shù)學(xué)建模思想。利用課本的純數(shù)學(xué)問題，結(jié)合生活的實(shí)際問題進(jìn)行改編成綜合應(yīng)用題，讓學(xué)生以數(shù)學(xué)建模論文的形式提交，作為平時(shí)成績的一部分，此外，鼓勵(lì)學(xué)生自愿組成學(xué)習(xí)小組，培養(yǎng)他們的協(xié)作精神。這樣，學(xué)生們就可以通過做來認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)建模的思想方法。

2.3 突破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，采用開放式教學(xué)

在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式下，即使從事數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)，也僅是教師提供素材，學(xué)生被動(dòng)地參與學(xué)習(xí)與討論，學(xué)生真正碰到實(shí)際問題,往往仍感到無從下手。因此要培養(yǎng)學(xué)生建模能力，需要突破傳統(tǒng)教學(xué)模式。

在教學(xué)形式上，可采用分組活動(dòng)，通過社會(huì)實(shí)踐或社會(huì)調(diào)查形式來實(shí)行。例如，在某地有一個(gè)6岔路口，路口上設(shè)置多臺(tái)紅綠燈，如果設(shè)置紅綠燈的時(shí)間和行車才能使得車流量最大。這是個(gè)切實(shí)存在的實(shí)際問題，學(xué)生通過調(diào)查不同時(shí)間的車流量并結(jié)合離散數(shù)學(xué)中圖論的知識(shí)來制定一個(gè)有效的解決辦法，由此來鍛煉學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

教學(xué)內(nèi)容也要開放。利用離散數(shù)學(xué)方法能解決的實(shí)際問題比比皆是，而教師提供的素材與問題都是十分有限的。為調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性與創(chuàng)造性,應(yīng)讓學(xué)生自己選擇熟悉的感興趣的實(shí)踐活動(dòng)，讓他們自己提出問題、設(shè)計(jì)方案、分析解決。

此外，還要注意離散數(shù)學(xué)與其它相關(guān)學(xué)科的聯(lián)系。離散數(shù)學(xué)在化學(xué)、生物、工程管理等學(xué)科都有緊密的聯(lián)系。例如，圖論中的染色問題就是解決化學(xué)品存放問題的數(shù)學(xué)模型，圖論中在教學(xué)中注意離散數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的呼應(yīng)，不但可以幫助學(xué)生加深對(duì)其它學(xué)科的理解，也是培養(yǎng)學(xué)生建模意識(shí)的一個(gè)不可忽視的途徑。

3、問題討論

要將數(shù)學(xué)建模思想有效地融入到離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中，在教學(xué)實(shí)踐中仍需要解決許多問題。

首先是教學(xué)時(shí)間的分配問題。工科院校對(duì)離散數(shù)學(xué)課安排的課時(shí)普遍較少。這對(duì)離散數(shù)學(xué)這門具有豐富的理論和實(shí)際應(yīng)用內(nèi)容的課程來說遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。但在無法更改教學(xué)課時(shí)的情況下，需要教師合理地分配教學(xué)時(shí)間，同時(shí)充分地調(diào)動(dòng)同學(xué)們課余學(xué)習(xí)的積極性。對(duì)于部分課程內(nèi)容，可以通過布置一些有趣的實(shí)際應(yīng)用題目，讓學(xué)生通過預(yù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容來解決，在課堂上只需再對(duì)重點(diǎn)難點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)講解，節(jié)約了理論講解的時(shí)間，同時(shí)也調(diào)動(dòng)了同學(xué)們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

其次是任課教師自身素質(zhì)的提高問題。傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式是將離散數(shù)學(xué)作為一個(gè)數(shù)學(xué)理論課。主要是對(duì)其中的定義、理論和方法進(jìn)行闡釋。對(duì)應(yīng)用只作簡單的介紹，課程內(nèi)容的變化不大，因此教師備課往往是一勞永逸。而將數(shù)學(xué)建模的思想融入到離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師不僅需要掌握該課程的理論知識(shí)，還必須盡可能地了解與之相關(guān)的專業(yè)課程的內(nèi)容，挖掘與離散數(shù)學(xué)相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用，因此需要教師不斷地更新教學(xué)內(nèi)容，調(diào)整教學(xué)模式，這對(duì)離散數(shù)學(xué)教師提出了一個(gè)更高的要求。

4、結(jié)語

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)專業(yè)的基礎(chǔ)核心課程，同時(shí)在計(jì)算機(jī)專業(yè)課程中起著承前啟后的重要作用。在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想，就是通過融入應(yīng)用實(shí)例和調(diào)整教學(xué)方式，將與離散數(shù)學(xué)相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用和理論教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起。這種教學(xué)思想，一方面，能使學(xué)生明確學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的理論知識(shí)可以有效地解決實(shí)際問題，從而提高學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性，同時(shí)也啟發(fā)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和能力。另一方面，改變了傳統(tǒng)的以闡釋理論為核心的教學(xué)模式。要求教師不斷挖掘、探索新的應(yīng)用實(shí)例，了解與離散數(shù)學(xué)相關(guān)的學(xué)科，提高了教師的教學(xué)水平和自身的素質(zhì)。從而形成教與學(xué)互相促進(jìn)、不斷進(jìn)步的良性循環(huán)。

[1] 趙凌. 從數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)談高校數(shù)學(xué)教學(xué)改革[J]. 成都大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2001,(04): 61-63

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The Infiltration Of The Concept Of Mathematical Modeling Into The Teaching of Discrete Mathematics

Wen Xuelian
School of Economics and Management, South China Normal University, Guangzhou 510006

Discrete mathematics is an important course of computer science and its correlative specialties. The procedure of Mathematical modeling is very important in helping the students to cultivate the ability of using mathematics in practice. This paper deals with the relation between the concept of mathematical modeling and the teaching of discrete mathematics from the significance, the method, the practice and the problems that may be met in the infiltration of the concept of mathematical modeling into the teaching of discrete mathematics.

離散數(shù)學(xué);計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù);數(shù)學(xué)建模