基于格林函數(shù)聲表面波換能器的分析

張永剛

（安徽理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南 232001）

0 引言

聲表面波是指沿著彈性固體表面?zhèn)鞑サ膹椥月暡╗1]，在彈性固體單個表面上鍍一層叉指形狀的金屬薄膜電極，就構(gòu)成聲表面波換能器，它是聲表面波器件的核心。在換能器電極上加載激勵信號電壓，彈性固體內(nèi)就會有聲表面波的產(chǎn)生。適當改變金屬電極的間隔、數(shù)目、長度以及形狀等參數(shù)，就能夠得到聲波的不同傳輸特性。聲表面波器件的功能就是通過電極對介質(zhì)內(nèi)傳播的聲表面波進行處理來實現(xiàn)信號采集與處理的功能[1]。近年來，聲表面波器件在通信領(lǐng)域的地位越來越重要，隨著半導(dǎo)體工藝水平的提高，聲表面波器件的應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴大：從信號采集、衛(wèi)星通信、雷達制導(dǎo)、無線遙控、廣播電視到移動通信、無繩電話等都廣泛使用聲表面波器件。

格林函數(shù)法是分析聲波器件的一種常用方法，這種方法就是是針對特定邊界條件建立相應(yīng)的格林函數(shù)，用它表示系統(tǒng)中某點的激發(fā)源在另一點建立的響應(yīng)，任意場量都可寫成格林函數(shù)同物理激發(fā)量的空間分布的卷積[2]。格林函數(shù)直接表征了對應(yīng)物理系統(tǒng)的基本特征，分析格林函數(shù)就可獲得系統(tǒng)的基本物理特征。

1 格林函數(shù)分析原理

在換能器電極上加載激勵電壓，換能器的介質(zhì)內(nèi)就會產(chǎn)生聲表面波，換能器產(chǎn)生聲表面波的傳遞函數(shù)和電極上的電荷分布之間存在線性關(guān)系，所以可以由電極上的電荷分布計算出聲波的大小，可以把電極上的電荷分布看成產(chǎn)生聲表面波的源。格林函數(shù)表示如下[1]：

其中 Ge( x)為靜電場部分， Gs( x,ω)為聲表面波部分，Gb( x,ω)為體聲波部分。

在聲表面波器件中，由于換能器表面的機電耦合不是很強，其它作用比聲表面波作用弱得多，對表面換能起主要作用的是靜電荷。若其它作用省略，只考慮 Ge( x)，這種近似分析稱為準靜態(tài)分析，那么有：

相應(yīng)的格林函數(shù) Ge( x) 表達式為[1]：

其中0ε是真空中的介電常數(shù)，常數(shù)上式中格林函數(shù) Ge( x)表達式中的積分值為無窮大，考慮假設(shè)在x=x0有一個+δ電荷，在 x=-x0處有一個對應(yīng)的-δ電荷，這時有：

根據(jù)定積分公式：

可以得到：

式（6）和式（3）都是 Ge( x)的表達式，它們之間相差一個常數(shù)，這個常數(shù)的值為無窮大。只要電荷總和為 0，式中正電荷的常數(shù)總能和負電荷的常數(shù)相抵消。所以在總的電荷為0的條件下，用式（6）代替式（3）是允許的[1]。

當已知電極上的激勵電壓，求換能器上的靜態(tài)電荷分布時，通?？梢圆徊捎蒙鲜鐾耆馕龅姆椒ǎ梢圆捎媒馕龇椒ê蛿?shù)值方法相結(jié)合方法[3-4]：把換能器上每個電極等分成偶數(shù)段（如圖 1所示），每一段的中心位置依次設(shè)為：x1,x2,…,xn，(n=1,2,…,m, m為小段總數(shù))，設(shè)電極上每一小段的長度為Δx。

如果設(shè)換能器電極上的激勵電壓為ψ(x)，電極上電荷分布為σ(x)，激勵電壓和電荷分布之間的關(guān)系為：

這個方程的系數(shù)是由元素Aij組成的矩陣 A。當Δx→0時,m→∞，此矩陣方程和下面公式相同：

其中系數(shù)矩陣元素：

對于系數(shù)矩陣Aij:當Δx→0,且i=j時,Aij趨于無窮大。這個式子也無法計算出正確的結(jié)果,消除無窮大的方法是令:可知系數(shù)矩陣A是對稱矩陣，即 Aij= Aji。

可以把式（7）進行變換，以電極上的激勵電壓為已知量，電荷分布為未知量，方程可轉(zhuǎn)化為：

方程系數(shù)是由Bij組成的矩陣B，根據(jù)矩陣A的性質(zhì)可知矩陣B是矩陣A的逆矩陣而且有：

2 計算結(jié)果

設(shè)聲表面波換能器的壓電基體上有5個電極，電極寬度等于電極之間的間隙寬度。本文計算的第一種情況是在換能器中間電極上加載單位直流電壓，其他4個電極接地（如圖2所示），采用格林函數(shù)方法得到的靜態(tài)電荷分布如圖3所示。為了對結(jié)果加以對比，我們采用有限元方法計算出相同電壓激勵下的靜態(tài)電荷分布[5]，把兩種方法計算結(jié)果放在一起進行比較（如圖 3所示）?？梢钥闯龈窳趾瘮?shù)法結(jié)果和有限元法的的結(jié)果是基本一致的，圖3中縱坐標數(shù)值要乘以10-10。

圖2 中間電極加單位直流電壓激勵

中心電極加載單位直流電壓，其他電極接地的激勵方式是計算換能器電荷分布的基本方式，對于其它電極上的不同電壓激勵，除了可以采用前面描述的式（11）來直接求解外，也可以通過把上述求解的結(jié)果疊加來求電極上的電荷分布。

第二種情況是在換能器相鄰的電極上加載極性相反的單位直流電壓（如圖 4所示）。采用采用格林函數(shù)法計算，得到換能器電極上的電荷分布如下頁圖5所示。

圖4 正負相反加載單位直流電壓激勵

圖5 正負相反加載單位直流電壓時的電荷分布

圖5（縱坐標數(shù)值要乘以10-11）中，邊緣電極和中間電極上的電荷分布差別較大，原因是換能器中不同位置電極的周圍環(huán)境不同，造成每個電極上電荷分布也會有所不同。比如中間的電極的左右環(huán)境是相同的，所以這個電極上的電荷分布是左右對稱的，而換能器邊緣的電極左右電極排列不同，即它的左右環(huán)境不同，同時也不同于中間電極，所以邊緣電極上電荷分布是不對稱的，也不同于中間電極的電荷分布。

3 結(jié)語

在換能器電極上加載激勵電壓，換能器介質(zhì)將電信號轉(zhuǎn)換成聲信號，這是物理學(xué)中的一類非常普遍的問題，格林函數(shù)是解決這一類問題的適用方法，本文采用格林函數(shù)法對聲表面波換能器的表面換能問題進行分析，計算換能器電極上的靜態(tài)電荷分布并與有限元法的計算結(jié)果進行比較，兩種方法的結(jié)果是一致的。格林函數(shù)法對聲表面波換能器的分析可以用來求聲換能器的其它參數(shù),為聲表面波器件的設(shè)計優(yōu)化與建模提供精確的數(shù)據(jù)。

[1] 水永安.聲表面波與聲表面波器件講義[M].南京:南京大學(xué),1998:202-205.

[2] Arfken G, Mathematical Methods for Physicists[M]. 3rded. New York: Academic.1985:78-94.

[3] Morgan D P. Surface-Wave Devices for Signal Processing[M]. New York:Elsevier. 1985:49-52.

[4] Milsom R F, Reily N H C, Redwood M. Analysis of Generation and Detection of Surface and Bulk Acoustic Waves by Interdigital Transducers[J].IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonic.1997,24(03):257-263.

[5] 張永剛.基于有限元法的聲表面波換能器電荷分布的靜電解[J].聲學(xué)與電子工程,2007(03):31-33.