基于球碼的空頻碼研究

王軍生， 程智慧， 雷向勇， 何儀周， 許 正， 郭 峰

（北京1481信箱，北京 102442）

0 引言

在MIMO瑞麗平衰落信道下，空時碼可獲得空間分集增益[1-2]。目前空時碼的研究領域主要集中在發(fā)射天線數(shù)nt數(shù)較小領域，究其原因，就是因為在高速碼元下最大似然譯碼譯碼難以實時譯碼。那么，能否采用利用差分幾何結構將球分組/碼和空時分組/碼結合起來解決高速實時譯碼的問題呢？答案是肯定的。由于球碼在不改變碼間距離的情況下可平滑轉化為空時碼，且變換后的接收信號性能在一定程度上可控，本文將這種結合編碼稱為“球空頻碼”，在譯碼過程中，采用預分組旋轉格子算法，解決了高速大容量碼元難以實時極大似然譯碼的難題，并適用于任意天線數(shù)。

1 信道模型

符號說明：x? = FFT( x)， x′ = IFFT( x) = FFT+(x)，-、t、+分別表示矩陣復共扼、轉置、厄米特轉置。1、0分別表示單位陣、零矩陣。(I)FFT矩陣由酉陣 ω= e-(2πi/K)的K階復共扼根組成（K個等分點），CK的 調(diào) 頻 指 數(shù)（時間）轉換矩陣階標準基本向量）可通過相互轉換。

在頻率選擇性瑞麗平衰落信道下，假設K子載波數(shù)L子信道，MIMO-OFDM 系統(tǒng)發(fā)射天線nt、接收天線nτ，信參所有預發(fā)射碼元等分點經(jīng)IFFT變換而來 K×n矩陣，t其循環(huán)前綴長度為L。接收端采用K等分點FFT變換去掉循環(huán)前綴。信道模型為噪聲矩陣，且和均服從獨立同分布

2 空頻碼設計準則

3 基于空時碼的空頻編碼

全分集空頻碼的設計可轉化多徑分集和碼元結構矩陣A兩個方面[4]。對于某一T而言，根據(jù)式(2a)和(2b)構建空時最后符合式（2c）的空頻 碼[4]如下：(忽略循環(huán)前綴的)空頻碼元速率R與“內(nèi)部”空時碼元速率滿足 R = (T / K)。此外，空頻碼要獲得最大分集，則要求T≤K /L。因此碼元結構設計目標就是T=K/ L。令：

4 基于球碼的空時分組

在兩個同質(zhì)性空間中各取一個“基”點，例如球體的N極和Stiefel空間的點，通過指數(shù)映射，兩空間上的所有點在相應的正切空間上具有等效地址。

假設存在某一正交基{Yi}，則從球切面空間到Stiefel切面空間正交基{ Xi}的范式映射如下：，此映射為切平面的等距映射。由于曲率的原因，非徑向距離相對于Stiefel空間中的截面曲率上界會變小。此外，最短距離僅僅是接收端“弦”距的近似值，可以看到，這兩個距離是等價的?？偠灾捎谇虼a可轉化為空時碼，但是最小球面距離可能會因此而變小。

5 格子球形空頻碼及分集旋轉

大分組或多子載波系統(tǒng)的高速編碼結構一般都會遇到難以實時譯碼的難題，故須對碼字結構作必要的優(yōu)化。在碼元中內(nèi)嵌代數(shù)結構的目的就是提供碼字預處理運算法則，編碼(1→8)/譯碼(8→4)編譯碼過程如下所示，這里符號說明：K表示子載波數(shù)，nt表示發(fā)射天線數(shù)，L表示子信道數(shù)，ds表示對象(球)最小距離，C表示空時頻碼：

① D ← nt(2 T - nt),T ← K/ L ，然后選擇合適的格子矩陣 Λ ?RD以合適的ds；

② 根據(jù)預處理算法[5]得到球碼(Cs,ds)，并將Cs投影到球北極點的切面空間 TNSD內(nèi)；

以上算法無法直接優(yōu)化分集積PF而導致分集損失。故在預編碼算法中引入旋轉格子算法，該算法本身并不會降低譯碼性能。對角線元素e定義為所有基本向量的旋轉軸，假設We為正交矩陣及個(D- 1) ×(D- 1)的上三角全為1的反對稱矩陣，則R1是關于e1軸的α次旋轉矩陣，的旋轉軸。

6 仿真與討論

仿真環(huán)境：nt= 2，L=2，空時碼分組長度T=4，相應的格子維數(shù)D=12，系統(tǒng)碼字子載波K=LT= 8,接收端采用最大似然估計譯碼。分組長度為 2、子載波K=2L= 4的Alamouti架構空時/頻碼作為對比仿真。當K偏小時，分集增益損失較大，當K較大時，則冗余過多。在仿真圖上，球空頻碼元速率R= 1.95,1.71,1.65,1.64時對應的 8－PSK調(diào)制Alamouti架構R=1.5空頻碼R=1.5。當球空頻碼元速率R= 1.32,1.15,1.04時，對應的QPSK調(diào)制Alamouti架構空頻碼R=1.0。為獲得更佳分集增益，圖中所有的球空頻碼均經(jīng)過α= π/2的分集旋轉處理。仿真結果如圖1所示。

圖1 球空頻碼與Alamouti架構下DPSK、QPSK的性能比較

仿真結果說明：在高速時，球空頻碼比相應的Alamouti架構碼性能更好。在中速時，Alamouti架構碼性能還是比球空頻碼要好一些。由于采用分集旋轉，所有的碼字都擁有了全分集。

7 結語

本文提出了一種基于文獻[4]的適用于任意信道參數(shù)的全分集球空頻碼，其速率取決于格子維數(shù)和最小距離。通過格子旋轉，球空頻碼可獲得全分集。根據(jù)式(5)，多徑分集可通過載波的發(fā)射能量進行控制。仿真結果表明：在高速碼元時，基于旋轉格子算法的編譯碼復雜度在可控范圍內(nèi)、譯碼復雜度適度。本文精心構建的編碼算法，在一定程度上提高了碼元設計性能，降低了譯碼復雜度，可運用于CDMA系統(tǒng)。

[1] 程智慧,張勇,雷向勇,等.循環(huán)群酉空時碼的優(yōu)化設計[J].通信技術,2009,42(12):223-225.

[2] 程智慧, 張勇,逄大鵬,等.多發(fā)射天線的差分酉空時調(diào)制信號星座圖[J].通信技術, 2009,42(10):41-42,45.

[3] Hochwald B M, Marzetta T L. Unitary Space-time Modulation for Multiple-antenna Communications in Rayleigh Flat Fading[J].IEEE Trans Inform Theory,2000(03):543–565.

[4] olcskei H B, Borgmann M, Paulraj A. Space-frequency Coded MIMO-OFDM with Variable Multiplexing-diversity Tradeoff[J].Communications,2003(05):2837-2841.

[5] Hamkins J, Zeger K. Asymptotically Dense Spherical Codes—part I: Wrapped Spherical Codes[J]. IEEE Trans Inform Theory,1997(06):1774-1785.