時(shí)滯雙線性系統(tǒng)的最優(yōu)跟蹤控制*

趙艷東，葛素楠

(青島科技大學(xué) 自動(dòng)化與電子工程學(xué)院，山東 青島 266042)

跟蹤問題的主要目標(biāo)是抑制外部擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性能的影響并使系統(tǒng)輸出無靜差跟蹤外部參考輸入。目前，對(duì)于線性系統(tǒng)的跟蹤問題研究比較成熟，許多學(xué)者致力于研究非線性系統(tǒng)的跟蹤問題[1-2]。而雙線性系統(tǒng)是一類比較特殊的非線性系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型的非線性部分通常為系統(tǒng)的狀態(tài)和輸入的二次型函數(shù)或者雙線性函數(shù)[3]。對(duì)于這種非線性系統(tǒng)，有學(xué)者將非線性過程進(jìn)行精確反饋線性化[4-5]，然后再對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性求解。但線性化的過程往往比較復(fù)雜，且運(yùn)算過程需要消耗大量的時(shí)間，并且得到的線性系統(tǒng)與原來非線性相比誤差較大，魯棒性也沒有預(yù)期的好，反而造成系統(tǒng)新的不穩(wěn)定性。

對(duì)于最優(yōu)跟蹤問題，主要采用數(shù)值方法，例如：冪級(jí)數(shù)近似法[6]、Galerkin逐次逼近法[7]、利用逐次求解一個(gè)基于狀態(tài)的Riccati方程來求得最優(yōu)解的迭代算法[8-9]和Riccati方程近似序列的方法[10]。但這些方法需要進(jìn)行矩陣微分方程求解，導(dǎo)致計(jì)算量大大增加。

本文利用一種迭代求解的逐次逼近法，致力解決帶有時(shí)滯項(xiàng)的雙線性系統(tǒng)最優(yōu)跟蹤問題。依據(jù)最優(yōu)跟蹤控制求解規(guī)律將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)邊值問題，同時(shí)不需要通過求解Riccati方程或 Hamilton-Jacobi-Bellman方程[6-9]得出控制律，而是將兩點(diǎn)邊值問題轉(zhuǎn)化為無窮的序列，通過截取近似的控制序列求出次優(yōu)控制律，并針對(duì)控制律的物理不可實(shí)現(xiàn)性這一問題，設(shè)計(jì)了降維觀測(cè)器進(jìn)行解決。通過仿真結(jié)果，可以看出此方法的有效性。

1 最優(yōu)跟蹤問題

已知帶有時(shí)滯項(xiàng)的雙線性系統(tǒng)如下：

其中 Q∈Rn×n，R∈Rm×m，且都是正定矩陣。

設(shè)系統(tǒng)式(1)的輸出 y跟蹤參考輸入的期望軌線y?，并由如下穩(wěn)定的外系統(tǒng)確定：

且 z∈Rp，∈Rr，K和 H 為相應(yīng)維數(shù)的常量矩陣。 假設(shè)(A，B)為完全能控，(A，C)為完全能觀測(cè)，即(K，H)為完全能觀測(cè)。則輸出誤差為：

根據(jù)系統(tǒng)最優(yōu)跟蹤控制的求解規(guī)律，系統(tǒng)式(1)依據(jù)二次性能指標(biāo)式(3)，得出了最優(yōu)跟蹤控制中的兩點(diǎn)邊值問題，如下：

其中：

此時(shí)系統(tǒng)的最優(yōu)跟蹤控制律為：

通過對(duì)式(6)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)式中既含有時(shí)滯項(xiàng)又含有超前項(xiàng)，并且存在雙線性項(xiàng)，這時(shí) λ(t)和 x(t)相互耦合，對(duì)于這類問題采用求解迭代的向量微分方程來解決這個(gè)問題。

2 最優(yōu)跟蹤控制器的設(shè)計(jì)

引入式(5)來構(gòu)造帶有兩點(diǎn)邊值問題的族：

邊界條件為：

其中伴隨向量序列g(shù)k(t)可以通過如下方程確定：

其中S=BR-1BT，F(xiàn)(t)的迭代形式如下：

對(duì)于未知矩陣P1、P2分別為下列矩陣方程的解：

則系統(tǒng)式(1)的最優(yōu)跟蹤控制律為：

證明 設(shè)：

其中 g(t)∈Rn為待求的伴隨向量，P1、P2為未知常量矩陣，對(duì)式(17)兩邊分別求導(dǎo)可得出：

把系統(tǒng)式(1)和穩(wěn)定的外系統(tǒng)式(4)代入到式(18)，與式(6)相結(jié)合，得到伴隨向量的導(dǎo)數(shù)的形式：

同時(shí)得出：

從而也得出最優(yōu)控制律：

在式(21)最優(yōu)控制律當(dāng)中，含有兩個(gè)常量矩陣P1、P2，這兩個(gè)矩陣量可以通過式(15)得到。這時(shí)將式(19)和式(20)構(gòu)造成序列式(12)和式(13)，通過迭代逐次逼近法分別解出序列式(12)和式(13)，進(jìn)一步解出最優(yōu)控制律u*(t)的序列，即式(11)。

對(duì)于第k次優(yōu)化問題，最優(yōu)狀態(tài)軌線和最優(yōu)跟蹤控制律分別為 xk(t)和 uk(t)。 令{xk(t)}和{gk(t)}為 Cauchy序列，由參考文獻(xiàn)[11]中的引理 1可知，{gk(t)}和{xk(t)}一致收斂于式(19)和式(20)的解，即：

對(duì)于式(23)中x(t)是精確解，相比式(11)的序列解要精確的多，效果更好。同時(shí)，對(duì)于具體系統(tǒng)M的選取可以根據(jù)一定的誤差標(biāo)準(zhǔn)確定。下面給出這種求解的算法：

在實(shí)際系統(tǒng)最優(yōu)控制律的設(shè)計(jì)中，g∞(t)不可能求出。通常，求解序列式(13)的前M個(gè)解來近似其精確解，這樣便得到系統(tǒng)式(1)的第M階次優(yōu)控制律：(5)求出 e(t)。

(3)令 M=k，將式(3)轉(zhuǎn)化為：此時(shí)求出JM。

(4)如果當(dāng)

時(shí)將第M次的gM帶入到式(23)中，即可得到系統(tǒng)的次優(yōu)控制律。

3 降維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

由于控制律含有外系統(tǒng)變量，從而控制律物理不可實(shí)現(xiàn)。為了解決這個(gè)問題，需要對(duì)外系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行重構(gòu)。

其中：

從而得到基于觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)跟蹤控制律：

由于控制式(30)含有參考輸入觀測(cè)器，且觀測(cè)器的系數(shù)矩陣是按極點(diǎn)要求選取的，所以這個(gè)控制律不是最優(yōu)或次優(yōu)控制律，如果選擇適當(dāng)系數(shù)矩陣可以使控制律式(30)的控制效果接近次優(yōu)控制律。

圖1 當(dāng) k=2，4，6，8時(shí)的系統(tǒng)輸出誤差 e(t)仿真曲線

圖2 當(dāng) k=2，4，6，8時(shí)的系統(tǒng)控制變量 u(t)仿真曲線

圖3 系統(tǒng)輸出變量曲線

4 仿真

考慮由式(1)描述的系統(tǒng)，其中：

根據(jù)參考輸入有外系統(tǒng)式(4)描述，各參數(shù)應(yīng)為：

系統(tǒng)的性能指標(biāo)參數(shù)應(yīng)為：

選取控制精度ε=0.02，表1給出了迭代次數(shù)分別為k=2，3，4，6，9，10 系統(tǒng)的性能指標(biāo)， 得知|(J10-J9)/J9|＜ε，當(dāng)k=10滿足精度要求，從而u10可作為系統(tǒng)的近似最優(yōu)輸出跟蹤控制律。 圖 1、圖 2給出了當(dāng) k=2，4，6，8時(shí)的系統(tǒng)輸出誤差e(t)和控制變量u(t)的仿真曲線，可以看出隨著k的取值越大，得出的最優(yōu)輸出跟蹤控制律越理想，誤差也越來越小。圖3給出了系統(tǒng)輸出的仿真曲線。

表1 當(dāng) k=2，3，4，6，9，10 時(shí)的性能指標(biāo)的值

本文對(duì)這一類帶有時(shí)滯項(xiàng)的雙線性系統(tǒng)進(jìn)行研究，討論了在無限時(shí)間二次型性能指標(biāo)下的最優(yōu)輸出跟蹤控制問題，利用了一種迭代逐次逼近法來解決出現(xiàn)的非線性兩點(diǎn)邊值問題。并引入了參考輸入觀測(cè)器來解決控制律的物理不可實(shí)現(xiàn)性。這種方法計(jì)算量小、容易實(shí)現(xiàn)。通過仿真結(jié)果可以看出這種方法的可行性。

[1]GRABBE M T，DAWSON D M.Application of optimal control theory to the trajectory tracking of rigid robot manipulators[J].Optimal Control Applications and Methods，1994，15(4):237-249.

[2]GARRARD W L， ENNS D F， SNELL S A.Nonlinear feedback control of highly manoeuvrable aircraft[J].Int J Control， 1992，56(4):799-812.

[3]TANG G Y，MA H，ZHANG B L.Successive-approximation approach of optimal control for bilinear discrete-time systems[J].IEE Proceedings of Control Theory and Applications， 2005，152(6):636-644.

[4]ZHANG Z H，WANG S Q，RONG G.Predictive function control based on global feedback linearization for MIMO bilinear system[J].Control Theory&Applications，2003，20(3):477-480.

[5]LIU R M， LIN J J，YU J S.A new method of robust control of bilinear system by state feedback[J].Journal of East China University of Science and Technology， 2000，26(5):499-501.

[6]BEARD R W，SARIDIS G N，WEN J T.Galerkin approximations of the generalized hamilton-jacobi-bellman equation[J].Automatica， 1997，33(12):2159-2177.

[7]HARRISON R F.Asymptotically optimal stabilising quadratic control of an inverted pendulum [J].IEE Proceedings:Control Theory and Applications， 2003，150(1):7-16.

[8]MCCAFFREY D，BANKS S P.Lagrangian manifolds and asymptotically optimal stabilizing feedback control[J].Systems and Control Letters， 2001，43(3):219-224.

[9]CIMEN T，BANKS S P.Nonlinear optimal tracking control with application to super-tankers for autopilot design[J].Automatica， 2004，40(11):1845-1863.

[10]TANG G Y.Suboptimal control for nonlinear systems:a successive approximation approach[J].Systems and Control Letters， 2005，54(5):429-434.