軸線對端面的垂直度誤差測量及評定*

林志熙 周景亮

(福建工程學院，福建福州350014)

檢驗軸線對端面垂直度的傳統(tǒng)方法，一般將被測零件的基準面與檢驗平板貼合，推動寬座角尺，使寬座角尺長邊工作面與被測面的母線接觸，用塞尺檢驗?zāi)妇€與寬座角尺長邊工作面之間的間隙，最大間隙為該母線對底工作面的垂直度誤差。轉(zhuǎn)動被測零件，按此法測量若干條母線對底工作面的垂直度誤差，取其中最大值為該零件的垂直度誤差。這種檢測方法不符合GB/T 1958—2004規(guī)定的軸線對端面垂直度誤差定義，只能用于檢驗位置精度要求較低的零件，且調(diào)整、測量效率低。

如何應(yīng)用簡單方便又符合國標的方法測量和評定面對線垂直度誤差，一直是該研究的研究熱點之一。本文采用光學分度頭測量，建立基準符合最小區(qū)域法、最小二乘法的線對面垂直度誤差的數(shù)學模型。按照最優(yōu)化計算方法的要求，借助于MATLAB，可準確、快速地求解出基準平面度誤差及面對線垂直度誤差值，其結(jié)果完全符合平面度、垂直度誤差的判定準則要求。

1 數(shù)學模型

GB/T 1958—2004規(guī)定:定向最小區(qū)域是指按擬合要素的方向包容被測提取要素時，具有最小寬度f或直徑Φf的包容區(qū)域［1］。在評定端面對軸線垂直度誤差時，首先要確定基準要素3的方向，即對基準提取要素平面度誤差進行評定。然后垂直于基準要素方向，尋找包容被測提取要素1時，具有最小直徑的定向最小區(qū)域包容區(qū)域4。

1.1 建立基準平面

1.1.1 最小區(qū)域法

根據(jù)［1］規(guī)定，按最小區(qū)域法評定平面度誤差實質(zhì)上是尋找被測實際平面且距離最短的兩平行平面?；鶞势矫娴囊话惴匠炭珊唽憺?/p>

設(shè)基準面上任一測量點坐標為 Pi(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n)，各測點到基準平面的距離為

最小區(qū)域法的目標函數(shù) F(A，B，C)=［di］max-［di］min，滿足最小化時，F(xiàn)(A，B，C)的(A，B，C)即基準平面的法向量，且該三元函數(shù)F(A，B，C)的最小值即為平面度誤差。因此基準平面的評定就轉(zhuǎn)化為求三元函數(shù)F(A，B，C)的最小值問題。

1.1.2 最小二乘法

最小二乘平面是個理想平面，它使從實際被測輪廓上各點到該平面的距離的平方和為最小。因此，最小二乘法的目標函數(shù)，即各測點到最小二乘基準平面的距離的平方和，其滿足最小化時，即可求得基準平面的法向量和平面度誤差值。

1.2 評定垂直度誤差

1.2.1 最小區(qū)域圓心的確定

當對被測孔或軸的不同橫截面圓進行如圖1所示測量，在任一截面內(nèi)做等角度采樣，如圖2中所示。O為分度頭回轉(zhuǎn)中心，即坐標原點，Δri為該截面測得的半徑變化量，θi為各被測點的回轉(zhuǎn)角(i=1，2，…，n)。因此測點直角坐標值xi=(r0+Δri)cosθi，yi=(r0+ Δri)sinθi。其中 r0為基圓半徑(這是個未知數(shù)，但接近零件的基本尺寸)。

現(xiàn)采用最小區(qū)域圓法確定擬合圓心C(x，y)。各測點到擬合圓心的距離建立目標函數(shù) F(x，y)={MAX(Ri)-MIN(Ri)}，其滿足最小化時，F(xiàn)(x，y)的(x，y)即為各采樣截面內(nèi)實際輪廓的符合最小條件的擬合圓心。

1.2.2 確定被測提取軸線

圖1所示被測提取中心線1就由各擬合圓心C1，C2，…，Cn連成的空間折線來體現(xiàn)。

1.2.3 計算垂直度誤差

確定基準平面要素3的方向確定后，垂直于基準要素方向，對被測提取中心線1作最小包容圓柱面4，該圓柱面直徑即為垂直度誤差。

假設(shè)理想圓柱面的軸線為L，L的方向由j、k、q三參數(shù)決定，位置由u、v、g決定，則理想圓柱面的軸線可表示為

橫向截面輪廓上各采樣點C(xi，yi，zi)至軸線L的距離di為

其中方向向量(j，k，q)為前面作確定的基準平面的法向量(A，B，C)，參數(shù)(u，v，g)即為待優(yōu)化的參數(shù)。令目標函數(shù)F(u，v，g)={max(di)}，當其滿足最小化的兩倍時，即為軸線對端面的垂直度誤差。

2 MATLAB程序設(shè)計

Matlab 7的優(yōu)化工具箱(Optimization Toolbox)中含有一系列的優(yōu)化算法函數(shù)。用最小條件法、最小二乘法評定平面度誤差和基準平面，測取要素的最小區(qū)域圓心，及定向最小區(qū)域包容區(qū)域的確定，均屬于求解無約束條件非線性極小值。Fminsearch和Fminunc這兩種函數(shù)均可。當維數(shù)不高(本文維數(shù)最多只有三維)時，只要正確建立目標函數(shù)，便有收斂速度比較快，運算結(jié)果可靠的特點［2～4］。

筆者開發(fā)的評定軟件，設(shè)計了可供用戶方便操作的圖形用戶界面［5～6］。用戶可直接在界面上將所測得的數(shù)據(jù)輸入到相應(yīng)的文本框中，選定方法，即可得到基準要素兩種評定方法的基準提取要素平面度誤差以及被測提取要素垂直度誤差評定結(jié)果。該軟件計算精度高，直觀明了，實用性強。

3 測量實例

用光學分度頭對一工件進行實際測量，如圖3所示。在光學分度頭工作臺上加裝一垂直導向定位塊，該定位塊通過定位鍵與光學分度頭的T形槽連接。移動杠桿千分表，從圓心開始向外每15 mm測量端面變化量，共測量3個截面，在每個截面上每轉(zhuǎn)過45°由指示表在測量輪廓上測取相應(yīng)的端面變化量。然后在工件圓柱上相鄰15 mm截取5個截面，每個截面每轉(zhuǎn)過45°測取相應(yīng)的半徑變化量，數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 測量數(shù)據(jù)

將測量數(shù)據(jù)輸入系統(tǒng)界面，選擇基準要素的評定方法，分別計算出基準要素采用最小區(qū)域法評定的平面度誤差為8.4296μm，垂直度誤差為2.0801μm;最小二乘法評定的平面度誤差為9.0207μm，垂直度誤差為1.7708μm。其中最小區(qū)域法求出的平面度誤差值最小，符合國標規(guī)定。進而求出的符合定向最小區(qū)域的垂直度誤差值，可作為發(fā)生爭議時進行仲裁的依據(jù)。最小區(qū)域法計算界面如圖4所示。

4 結(jié)語

本文研制的基準符合最小區(qū)域法、最小二乘法的線對面垂直度誤差計算機數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)?？赏瑫r滿足基準平面度誤差和軸線對端面垂直度誤差的求解。通過測量實例，證明此系統(tǒng)的可靠性。

1 中華人民共和國國家標準GB/T 1958—2004:產(chǎn)品幾何量技術(shù)規(guī)范(GPS)形狀和位置公差檢測規(guī)定.北京:中國標準出版社，2005.

2 張志涌.精通MATLAB6.5版［M］.北京:航空航天大學出版社.2003.

3 飛思科技產(chǎn)品開發(fā)中心編著.MATLAB 7基礎(chǔ)與提高［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2005(9)

4 ［美］Gerald Recktenwald著，伍衛(wèi)國，方群，張輝等譯.數(shù)值方法和MATLAB實現(xiàn)與應(yīng)用［M］.北京:機械工業(yè)出版社.2002:207～229

5 王默玉，宗偉，劉春磊等.基于MATLAB的圖形用戶界面的構(gòu)造方式與應(yīng)用［J］.現(xiàn)代電力.2002，19(1):76 ～78

6 梁輝.MATLAB制作圖形用戶界面的應(yīng)用［J］.佳木斯大學學報.2003，21(4):403 ～407