脈沖噪聲環(huán)境下循環(huán)ESPRIT新方法

蘭天，邱天爽，楊嬌

（大連理工大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

1 引言

現(xiàn)代移動通信和集成傳輸系統(tǒng)的迅速發(fā)展，使電磁波的傳輸環(huán)境變得越來越復(fù)雜，并且對高分辨波達方向估計和減少干擾波影響的技術(shù)要求也越來越高[1]。在這些技術(shù)中，cyclic-MUSIC[2]（循環(huán)MUSIC）和 cyclic-ESPRIT[2]（循環(huán) ESPRIT）2類算法可以利用到達波的循環(huán)平穩(wěn)性[3,4]有選擇性地估計波達方向，且估計精度也很高，因而受到廣泛重視。與cyclic-MUSIC算法相比較，cyclic- ESPRIT算法無需譜峰搜索因而運算量少,且具有穩(wěn)健性等優(yōu)點，更適合在工程上的應(yīng)用。在cyclic- ESPRIT類算法中，TLS-cyclic-ESPRIT（總體最小二乘循環(huán)ESPRIT）算法性能更好，因為此算法可以把一個較大維數(shù)病態(tài)廣義特征問題轉(zhuǎn)化為一個較小維數(shù)的無病態(tài)廣義特征問題[5]。

但是當(dāng)實際環(huán)境中存在脈沖噪聲時，cyclic-ESPRIT類算法的性能會明顯退化甚至失效，這是因為脈沖噪聲可能不存在有限的二階統(tǒng)計量[6]。文獻[7,8]表明，現(xiàn)實環(huán)境中的確存在著大量脈沖噪聲，例如環(huán)境噪聲、雷達雜波以及水下聲波信號、人造信號等，這些脈沖性噪聲難以用高斯模型描述，而往往采用具有厚拖尾的α穩(wěn)定分布[7]過程來描述。根據(jù)脈沖性噪聲的特性和 cyclic-ESPRIT算法存在的問題，本文提出了分數(shù)低階循環(huán)相關(guān)矩陣的概念，并在此基礎(chǔ)上，提出了分數(shù)低階總體最小二乘（TLS）循環(huán)ESPRIT算法的2種新形式。新算法保留了 cyclic-ESPRIT類算法的優(yōu)良性能，并對脈沖噪聲有較強的抑制作用，其性能顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的cyclic-ESPRIT算法。

2 信號噪聲模型

如圖1所示，設(shè)陣元數(shù)為M的天線陣列為線性均勻陣列[9]，各相鄰陣元間的距離為 d ≤λ0/2，其中 ， λ0=2πc/ω0,ω0為 信 號 的 中 心 頻 率 。為l個入射信號，假定s1( n), s2( n),… ,sKa(n)為指定的循環(huán)頻率的循環(huán)平穩(wěn)信號，且為非相干源。其他 l - Ka個信號為非指定循環(huán)頻率的信號；入射角分別為 θ1, θ2,… ,θl。第i個信號到達各個陣元的相位差所組成的向量為：第k個陣元上的接收信號為

圖1 陣列模型

2.1 ESPRIT算法形式1的信號噪聲模型

x (n)=A1S (n)+ v( n)，y (n )=A1ΦS (n)+v (n+1)其中， A1為此算法的天線陣列的方向矩陣，將其寫成Vandermonde矩陣形式，有：為天線陣列接收到的噪聲矢量，假定各個陣元接收噪聲均服從α穩(wěn)定分布，且與信號循環(huán)互不相關(guān)。

2.2 ESPRIT算法形式2的信號噪聲模型

把M個陣元組成線陣分為2個子陣，其中子陣列1由第1個至第 1M- 個陣列組成，子陣2由第2個至第M個陣元組成。由式（1）得整個陣列輸出為

則：

其中，A =[a(θ1) , a(θ2), … ,a(θl)]為天線陣列的方向矩陣，φ是一酉矩陣，所以 X1和 X2具有相同的信號子空間和噪聲子空間。 Ρ(n)= [v1(n), v2( n ) ,… ,vM(n) ]為天線陣列接收到的噪聲矢量，假定各個陣元接收噪聲均服從α穩(wěn)定分布，且與信號循環(huán)互不相關(guān)。

2.3 α穩(wěn)定分布的概念

α穩(wěn)定分布是唯一一類滿足廣義中心極限定理的分布[6,7]。與高斯分布相比，α穩(wěn)定分布具有更厚的統(tǒng)計拖尾，因此其時域?qū)崿F(xiàn)具有顯著的脈沖特性。α穩(wěn)定分布并沒有閉合的表達式，但可以用它的特征函數(shù)來方便地表示α穩(wěn)定分布。

式中，

其中， - ∞＜a＜∞,γ＞ 0,0 ＜α≤2,-1 ≤ β≤1。

由上式可見，α穩(wěn)定分布的特征函數(shù)由α、β、γ、a 4個參數(shù)即可確定。α為特征指數(shù)，它決定該分布脈沖特性的程度。α越小，所對應(yīng)的分布拖尾越厚，脈沖特性越顯著。β為對稱參數(shù)，0β=對應(yīng)于對稱分布，簡稱SαS分布。γ為分散系數(shù)，類似于高斯分布中的方差。a稱為位置參數(shù)，對于SαS分布，a表示中值或均值。當(dāng)2α=時，其特征函數(shù)與均值為a，方差為22σ的高斯分布相同，即高斯分布是α穩(wěn)定分布的一個特例。定義02α＜＜的非高斯穩(wěn)定分布為分數(shù)低階α穩(wěn)定分布。

3 分數(shù)低階循環(huán)ESPRIT算法

經(jīng)典的循環(huán)ESPRIT類算法通常是把加性噪聲假設(shè)為高斯噪聲，利用陣列輸出信號的二階循環(huán)統(tǒng)計量進行波達方向（DOA) 估計。但是如果信號模型與實際的信號環(huán)境不匹配，則會使算法的估計性能下降，甚至失效。即當(dāng)信號被高斯噪聲污染時，基于二階循環(huán)統(tǒng)計量的算法可以很好地抑制相關(guān)噪聲和干擾，提取有用信號的信息。但是，當(dāng)信道中存在沒有二階統(tǒng)計量的 alpha穩(wěn)定分布的脈沖噪聲時，經(jīng)典的循環(huán)ESPRIT類算法是不能有效濾除或抑制這種噪聲的。因此，本文提出了分數(shù)低階循環(huán)ESPRIT算法。

3.1 分數(shù)低階循環(huán)相關(guān)矩陣

針對分數(shù)低階α穩(wěn)定分布條件下，二階統(tǒng)計量的循環(huán)ESPRIT算法存在退化問題，本文提出了一種新的估計矩陣——分數(shù)低階循環(huán)相關(guān)矩陣為

本文提出的分數(shù)低階循環(huán)ESPRIT算法，分為2種形式：分數(shù)低階總體最小二乘循環(huán)ESPRIT算法形式 1和算法形式 2(分別簡稱為 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1 和 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2)。

3.2 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1

根據(jù) x(n)和 y (n)的定義，由式（5）得出(M-1)×( M- 1)維分數(shù)低階循環(huán)相關(guān)矩陣為由式（6）得到的第i行、第j列元素為

把式(1)代入式(7)得

[10]的證明，可寫成

其中：當(dāng) m = 1和 m ＞Ka時，ζm(j+1)= 0 ;當(dāng)1 ＜m≤ Ka時，

其中，(1)mjδ+為克羅內(nèi)克爾符號。因為只有aK個信號為指定循環(huán)頻率的循環(huán)平穩(wěn)信號，其他非指定循環(huán)頻率的信號都為零。由于噪聲不存在非零的循環(huán)頻率，因此η為零。

其中，Λ1的第i行、第j列元素為ζij，i, j = 1,2,…,l 。同理可求得

可以看出式（10）和式（11）與二階循環(huán)相關(guān)矩陣[2]表達式類似，之后按照循環(huán) ESPRIT的方法估計波達方向。，因為矩陣A1滿列秩， Λ1非奇異[1]，所以矩陣和I - λΦH的廣義特征值完全相等。其中，λ為的廣義特征值。為了使做廣義特征值的矩陣束的維數(shù)減小，提高估計精度，本文使用TLS方法，對做截尾奇異值分解，得到。求矩陣束的廣義特征值分解，得到單位圓上的個廣義特征值，由確定波達方向。

3.3 FLOM-TLS-Cyclic-ESPRIT2

根據(jù) x ( n)和 y ( n)的定義，由式（5）得出(M - 1 )×(M - 1 )維分數(shù)低階循環(huán)相關(guān)矩陣為由式（6）得到的第i行、第j列元素為

與3.2節(jié)中推理步驟相同，可以得到

其中，Λ的第i行、第 j列為：

①當(dāng)1 ≤ i≤ Ka時，

②當(dāng)Ka＜i≤l時，ξij=0，i, j = 1 ,2,… ,l 。

4 仿真實驗結(jié)果

本文采用廣義信噪比（GSNR, generalized signal-noise-ratio）為 1 0lg(γ)來描述SαS過程的信噪比[7]。其中 γ ( γ ＞ 0 )表示SαS噪聲的分散系數(shù)，表示信號功率。實驗采用8陣元均勻線陣，陣元距為半個波長。入射源為2個BPSK信號，其中，目標(biāo)信號的入射角為30°，載頻為100MHz；干擾信號為入射角為60°，載頻為30MHz。這里的均方根誤差定義為輻射源的波達方向估計的樣本均方根誤差。即， ?()n為第n次實驗的估計值，N為實驗總次數(shù)。

實驗1 G SNR= 1 5dB ,循環(huán)頻率取200MHz，p從0.5取到2，每個p值仿真200次，取均方根誤差。

由圖2(a)可以得出，當(dāng) p = 1 .3時，此算法DOA估計誤差最小。由圖2(b)可以得出，當(dāng) p = 1 .4時，此算法DOA估計誤差最小。當(dāng) p = 2 時，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法退化為TLS-cyclic-ESPRIT類算法，估計誤差較大。在使用本文提出的新算法時，首先找到在給出的脈沖環(huán)境中最優(yōu)的p值，之后再按照這個p值進行新算法的角度估計。

圖2 p取不同值時，對FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法的影響

實驗2 G SNR=15dB、α=1.5的SαS噪聲環(huán)境下 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法與 TLS-cyclic-ESPRIT算法的比較。參照實驗1，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法的p取1.3, FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2算法的p取1.4。仿真分別獨立進行了2 000次。

從表1和表2中可以得到，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法的性能明顯好于 TLS-cyclic-ESRPIT類算法。在α穩(wěn)定分布噪聲的條件下，TLS-cyclic-ESRPIT算法的穩(wěn)定性差，估計精度低。而FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法穩(wěn)定性很好，估計精度高，可以很好地抑制了α穩(wěn)定分布噪聲，比較準確地估計出了源信號的 DOA。同時可以得到在這個廣義信噪比條件下，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic- ESPRIT1算法的性能優(yōu)于FLOM-TLS-cyclic- ESPRIT2。

表1 TLS-cyclic-ESPRIT算法形式1和FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法結(jié)果比較

表2 TLS-cyclic-ESPRIT 算法形式2 和FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2 算法結(jié)果比較

實驗3 廣義信噪比從 15dB- 到15dB增大時，均方根誤差的變化，其他條件同上。每個廣義信噪比的取值都獨立仿真200次。

圖3 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法的抗噪性能分析

從圖 3(a)中可以看出，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic- ESPRIT1算法和TLS-cyclic-ESPRIT算法形式1在廣義信噪比比較低（ 15dB- ～5dB- ）時，抗噪性能基本相當(dāng)；當(dāng)廣義信噪比升高時，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法抗噪性能明顯好于TLS-cyclic- ESPRIT算法形式1。從圖3(b)中可以看出，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法的抗噪性能明顯好于 TLS-cyclic- ESPRIT算法形式2。從圖3(c)中可以看出，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法和FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2在廣義信噪比比較低（ -1 5dB～ -5 dB）時，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT2的抗噪性能較好；當(dāng)廣義信噪比升高時，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法抗噪性能稍微好于 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2。FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法在低廣義信噪比時性能下降的原因應(yīng)該是p值的選擇，在不同的廣義信噪比下，最優(yōu)的p值是不同的。

實驗 4 為驗證本文算法的廣泛適用性，對入射源為QPSK信號的情況進行仿真實驗。入射源為2個QPSK信號，其中，目標(biāo)信號入射角為30°，載頻為100MHz，鍵控速率為50MHz；干攏信號入射角為60°，載頻為30MHz，鍵控速率為3MHz。在 G SNR=15dB 、α=1.5的SαS噪聲環(huán)境下，循環(huán)頻率取為 2倍鍵控速率100MHz。p從0.5取到2（間隔為0.1），每個p值仿真200次，取均方根誤差最小時對應(yīng)p值對 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法與 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2算法進行仿真比較。仿真分別獨立進行了2 000次。

通過對表1～表3的對比看出，本文提出算法對QPSK信號的DOA效果較好，但對BPSK信號具有更高的估計精度。可以表明本文的FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法和 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2算法具有較為普遍的適用性。

表3 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1與FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2算法結(jié)果比較

5 結(jié)束語

循環(huán)統(tǒng)計量是一種研究具有循環(huán)平穩(wěn)特性的非平穩(wěn)隨機信號的有效工具，但是廣泛存在的脈沖性非高斯分布噪聲會降低基于傳統(tǒng)二階循環(huán)統(tǒng)計量的各類算法的性能。本文以α穩(wěn)定分布作為噪聲模型，考慮了非高斯噪聲對傳統(tǒng)的二階循環(huán)統(tǒng)計量的影響，給出了分數(shù)低階循環(huán)相關(guān)矩陣的概念，同時結(jié)合高分辨波達方向估計技術(shù)，提出基于分數(shù)低階循環(huán)相關(guān)矩陣的ESPRIT新方法，仿真表明該方法可以有效消除α穩(wěn)定分布噪聲及相關(guān)干擾對角度估值的影響，具有潛在的應(yīng)用前景。

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