基于LiDAR 數(shù)據(jù)和移動(dòng)面擬合法提取道路橫斷面的方法研究

梁 策 齊 華,2 盧建康 黃華平

(1.西南交通大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,四川成都 610031；2.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院,四川成都 610031；3.中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司測(cè)繪分院,四川成都 610031)

道路橫斷面是道路走向法線方向地形變化趨勢(shì)的反映,一般通過(guò)野外實(shí)測(cè)得到。但野外測(cè)量任務(wù)量大、周期長(zhǎng)。隨著機(jī)載LiDAR技術(shù)的推廣應(yīng)用,自動(dòng)提取高精度橫斷面成為可能。

移動(dòng)曲面擬合法具有計(jì)算方法簡(jiǎn)單、分塊靈活等優(yōu)點(diǎn),但地面采樣點(diǎn)較稀或分布不均勻是影響其精度的主要因素[1]。機(jī)載LiDAR測(cè)量得到的地面采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)具有海量、高密度和高精度等特性,若提供給用戶使用的地面采樣點(diǎn)在平面上呈格網(wǎng)狀或接近格網(wǎng)狀分布(見(jiàn)圖1),對(duì)于移動(dòng)曲面擬合法剛好可以揚(yáng)長(zhǎng)避短。

1 內(nèi)插函數(shù)模型選擇

移動(dòng)曲面擬合法是以內(nèi)插點(diǎn)為中心,確定一個(gè)鄰域范圍,根據(jù)落在鄰域范圍內(nèi)的全部或部分采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)選擇擬合函數(shù),從而展鋪成一張數(shù)學(xué)曲面計(jì)算內(nèi)插點(diǎn)的高程值[2]。

離散狀分布的地面采樣點(diǎn)適宜用移動(dòng)曲面擬合法內(nèi)插高程[3]。由采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)n選擇擬合函數(shù),當(dāng)n≥8時(shí),函數(shù)選用z=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2；當(dāng)n=6或7時(shí),舍去xy項(xiàng)；當(dāng)n=4或5時(shí),舍去平方項(xiàng)；當(dāng)n=3時(shí),僅用線性項(xiàng)[3-4]。格網(wǎng)狀分布的地面采樣點(diǎn),常采用雙線性多項(xiàng)式內(nèi)插,即選取4個(gè)最靠近內(nèi)插點(diǎn)的采樣點(diǎn),函數(shù)選用z=a0+a1x+a2y+a3xy[3]。針對(duì)呈格網(wǎng)狀或接近格網(wǎng)狀分布的高密度地面采樣點(diǎn),試驗(yàn)表明宜采用的函數(shù)為

當(dāng)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)大于待求系數(shù)個(gè)數(shù)時(shí),式(1)中系數(shù)ai可根據(jù)誤差方程式V=MX-Z,按間接平差最小二乘原理求解,有VTPV=min[5],權(quán)值取采樣點(diǎn)到內(nèi)插點(diǎn)距離的倒數(shù)。

2 規(guī)則格網(wǎng)索引LiDAR地面采樣點(diǎn)

首先,利用規(guī)則格網(wǎng)對(duì)LiDAR地面采樣點(diǎn)建立索引(見(jiàn)圖1)[4]。本文中規(guī)則格網(wǎng)尺寸選用20 m ×20 m。內(nèi)插時(shí)用內(nèi)插點(diǎn)平面坐標(biāo)定位格網(wǎng),并從相應(yīng)格網(wǎng)中選擇參與擬合的采樣點(diǎn),進(jìn)而完成內(nèi)插計(jì)算。

圖1 采樣點(diǎn)分布及規(guī)則格網(wǎng)索引

3 利用分級(jí)扇形區(qū)域選擇采樣點(diǎn)

移動(dòng)曲面擬合法選擇采樣點(diǎn)一般考慮三個(gè)因素。范圍：即選用多大鄰域范圍內(nèi)的采樣點(diǎn)；點(diǎn)數(shù)：即選擇多少采樣點(diǎn)參加計(jì)算[2]；分布[3-4]：即采樣點(diǎn)的分布是否包圍內(nèi)插點(diǎn)。

3.1 自適應(yīng)確定鄰域半徑

設(shè)第一級(jí)鄰域含有6個(gè)采樣點(diǎn)；以式(2)計(jì)算鄰域半徑R1；設(shè)第二級(jí)鄰域8個(gè)方位各增加一個(gè)點(diǎn),即含有14個(gè)采樣點(diǎn),以式(3)計(jì)算鄰域半徑R2；第三級(jí)半徑取1.25倍格網(wǎng)尺寸,即R3=25 m。

式(2)(3)[4]中,A為格網(wǎng)面積,n為內(nèi)插點(diǎn)所在格網(wǎng)包含的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù),k是鄰域含有的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù),n1為內(nèi)插點(diǎn)周?chē)?個(gè)格網(wǎng)(即3×3格網(wǎng))包含的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)。

針對(duì)覆蓋區(qū)域地面采樣點(diǎn)總體稀稠不均的情況,本方法將根據(jù)內(nèi)插點(diǎn)所處的局部采樣點(diǎn)密度確定鄰域范圍,準(zhǔn)確度相對(duì)會(huì)提高。

3.2 分級(jí)扇形區(qū)域

以內(nèi)插點(diǎn)為中心,設(shè)采樣點(diǎn)基于內(nèi)插點(diǎn)的坐標(biāo)偏移量為 Δx、Δy,建立8 方位劃分(見(jiàn)圖2),以式(4)計(jì)算方位編號(hào)q。

設(shè)采樣點(diǎn)到內(nèi)插點(diǎn)的距離為d,建立3個(gè)分級(jí),以式(5)計(jì)算級(jí)別編號(hào) p。

圖2 8方位劃分

3個(gè)分級(jí)和8方位構(gòu)成24個(gè)分級(jí)扇形區(qū)域,[p,q]是扇形區(qū)域下標(biāo)(見(jiàn)圖3)。

圖3 24個(gè)分級(jí)扇形區(qū)域

分級(jí)扇形區(qū)域收集采樣點(diǎn)的方法：每個(gè)方位只保留一個(gè)距內(nèi)插點(diǎn)最近的采樣點(diǎn)；根據(jù)采樣點(diǎn)與內(nèi)插點(diǎn)的距離d和坐標(biāo)偏移量 Δx、Δy,計(jì)算扇形區(qū)域下標(biāo),并將采樣點(diǎn)收集到該區(qū)域。

3.3 判斷采樣點(diǎn)包圍內(nèi)插點(diǎn)

設(shè) θi(i=0～7)用于標(biāo)記各個(gè)方位是否含有采樣點(diǎn),含有則為真(如圖4所示)。

表1 采樣點(diǎn)空間分布及判斷條件

滿足表1分布條件的采樣點(diǎn)必然能包圍內(nèi)插點(diǎn)。

3.4 選擇格網(wǎng)并遍歷

圖4 采樣點(diǎn)空間分布

格網(wǎng)位置是固定的,而內(nèi)插點(diǎn)是移動(dòng)的。隨著內(nèi)插點(diǎn)位置的變化,鄰域可能覆蓋到內(nèi)插點(diǎn)所在格網(wǎng)的8個(gè)相鄰格網(wǎng)。選擇采樣點(diǎn)的簡(jiǎn)單辦法是先遍歷這9個(gè)格網(wǎng)內(nèi)的所有采樣點(diǎn),對(duì)屬于鄰域的采樣點(diǎn)再選擇參與擬合的采樣點(diǎn),這將增加額外的計(jì)算量。

本文采用的方法是先遍歷內(nèi)插點(diǎn)所在格網(wǎng)中的采樣點(diǎn),用分級(jí)扇形區(qū)域收集采樣點(diǎn)；若p=0級(jí)中的采樣點(diǎn)不包圍內(nèi)插點(diǎn),則從8個(gè)相鄰格網(wǎng)中選擇格網(wǎng)并遍歷,從而收集采樣點(diǎn)。

選擇格網(wǎng)的方法及實(shí)現(xiàn)：

(1)數(shù)組下標(biāo)從0到7對(duì)應(yīng)8個(gè)方位編號(hào)(見(jiàn)圖2)和8個(gè)相鄰格網(wǎng)的編號(hào)(見(jiàn)圖5(a))；

(2)每個(gè)數(shù)組成員對(duì)應(yīng)一個(gè)格網(wǎng),且存儲(chǔ)其索引下標(biāo),初始狀態(tài)全為F；

(3)依據(jù)表2的對(duì)應(yīng)關(guān)系,將缺少采樣點(diǎn)的方位相應(yīng)數(shù)組成員的狀態(tài)改為T(mén)；

(4)數(shù)組中狀態(tài)為T(mén)的成員,其對(duì)應(yīng)的格網(wǎng)即選定的格網(wǎng)。

表2 方位與數(shù)組下標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系

例如當(dāng)3、4、5、6方位中已經(jīng)收集到采樣點(diǎn)時(shí),只需遍歷0 、1 、2 、3、7 格網(wǎng),(見(jiàn)圖 5)。

3.5 選擇參與擬合的采樣點(diǎn)

用分級(jí)扇形區(qū)域收集采樣點(diǎn)后,從其中選擇采樣點(diǎn)(即參考樣點(diǎn))進(jìn)行擬合的步驟為：

(1)取p=0級(jí)中的采樣點(diǎn),若采樣點(diǎn)包圍內(nèi)插點(diǎn),則跳至(4)；

(2)增加p=1級(jí)中的采樣點(diǎn),若采樣點(diǎn)包圍內(nèi)插點(diǎn),則跳至(4)；

(3)增加p=2級(jí)中的采樣點(diǎn),若采樣點(diǎn)不包圍內(nèi)插點(diǎn),則退出；

(4)取到的采樣點(diǎn)為參與擬合的采樣點(diǎn)。

圖5 選擇格網(wǎng)

有效鄰域范圍R即參與擬合的采樣點(diǎn)到內(nèi)插點(diǎn)的最大距離。

4 道路橫斷面內(nèi)插

4.1 內(nèi)插中兩種特殊情況處理

若采樣點(diǎn)距內(nèi)插點(diǎn)不足0.2 m,以采樣點(diǎn)高程作為內(nèi)插高程值[6]。

若矩陣不可逆或采樣點(diǎn)無(wú)法包圍內(nèi)插點(diǎn),則標(biāo)注內(nèi)插失敗,該內(nèi)插地形點(diǎn)不記入橫斷面。

4.2 自定義等間距內(nèi)插

地形特征點(diǎn)距中樁的距離是未知的,為了能得到比較準(zhǔn)確的地形特征點(diǎn),內(nèi)插間距需要盡量小些,用戶可以根據(jù)實(shí)際地形情況自行設(shè)置內(nèi)插間距l(xiāng)。

實(shí)現(xiàn)方法為：已知中樁高程及橫斷面的中樁和邊樁平面坐標(biāo)；從邊樁開(kāi)始,每次向中樁靠近l距離內(nèi)插地形點(diǎn)的高程；首個(gè)內(nèi)插成功的地形點(diǎn)作為實(shí)際邊樁,記載內(nèi)插成功的地形點(diǎn),直到中樁為止。地形點(diǎn)只標(biāo)記其與中樁的高差和平距(左側(cè)為負(fù),右側(cè)為正)；中樁視為高差和平距均為零的地形點(diǎn)。

4.3 D-P算法提取地形特征點(diǎn)

等間距內(nèi)插得到的地形點(diǎn)未必都是地形特征點(diǎn),需要進(jìn)一步提取,從而在一定高程精度約束下降低數(shù)據(jù)冗余。目前最為穩(wěn)定和實(shí)用的是Douglas-Peucker(簡(jiǎn)稱 D-P)法[7]。

算法思想：給定閾值 δ；連接曲線首、末兩點(diǎn),依次計(jì)算中間點(diǎn)到該線段的距離；找出最大距離點(diǎn),并判斷該距離是否小于 δ,若是,則舍去該曲線的所有中間點(diǎn)；否則,保留該點(diǎn),并以該點(diǎn)為界,將曲線分為兩部分,對(duì)這兩部分重復(fù)進(jìn)行上述操作[7]。以中樁為界分別對(duì)橫斷面左右兩側(cè)進(jìn)行D-P算法處理。

5 試驗(yàn)

本試驗(yàn)數(shù)據(jù)是丘陵區(qū)1136 m ×370 m范圍內(nèi),呈格網(wǎng)狀及接近格網(wǎng)狀分布的365 974個(gè)LiDAR地面采樣點(diǎn),平均密度為0.87個(gè)/m2。以呈離散狀分布的534個(gè)實(shí)測(cè)地面采樣點(diǎn)作為內(nèi)插對(duì)象,以實(shí)測(cè)采樣點(diǎn)的平面坐標(biāo)為內(nèi)插點(diǎn)。內(nèi)插高程與實(shí)測(cè)高程比較后統(tǒng)計(jì)精度如表3所示。選擇參與擬合的采樣點(diǎn)時(shí),分級(jí)扇形區(qū)域增加到的級(jí)別,其出現(xiàn)次數(shù)統(tǒng)計(jì)如表4所示。

表3 誤差及參與擬合的平均采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)

表4 分級(jí)扇形區(qū)域選擇采樣點(diǎn)增加到的級(jí)別使用次數(shù)

以該區(qū)域采樣點(diǎn)建立TIN,并提取出73個(gè)橫斷面,共計(jì)7 956個(gè)地形點(diǎn)。為了與TIN中內(nèi)插到的地形點(diǎn)做比較,利用73個(gè)橫斷面中的平距換算地形點(diǎn)平面坐標(biāo),應(yīng)用移動(dòng)曲面擬合法內(nèi)插,計(jì)算內(nèi)插值與TIN中對(duì)應(yīng)地形點(diǎn)的誤差,統(tǒng)計(jì)精度如表5所示。

表5 擬合法內(nèi)插值與TIN中地形點(diǎn)的誤差統(tǒng)計(jì)

從表3和表5可以看出,內(nèi)插精度優(yōu)于0.1 m；從表4可以看出,自適應(yīng)確定鄰域半徑,絕大部分情況下R1和R2兩級(jí)鄰域可以提供滿足分布要求的采樣點(diǎn),R3可以作為補(bǔ)充。與TIN中提取的橫斷面比較(見(jiàn)圖6),可以看出移動(dòng)曲面擬合法的結(jié)果在反映地形趨勢(shì)方面是一致的。經(jīng)D-P算法提取地形特征點(diǎn)后,地形趨勢(shì)得以保留,冗余數(shù)據(jù)量顯著減少。

圖6 橫斷面

6 結(jié)論

利用分級(jí)扇形區(qū)域選擇參與擬合的采樣點(diǎn),可以在確定內(nèi)插鄰域中兼顧范圍、采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)及其空間分布三方面影響精度的因素,這對(duì)于保證內(nèi)插的可靠性及精度是有利的；此外,對(duì)3×3規(guī)則格網(wǎng)有選擇性的遍歷,縮小了搜索空間,從而提高了選擇采樣點(diǎn)的時(shí)間效率。本文的方法對(duì)于從呈格網(wǎng)狀及接近格網(wǎng)狀分布的地面采樣點(diǎn)中提取道路橫斷面具有一定的參考價(jià)值。

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