基于2-D系統(tǒng)理論的D型開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制

蔣思中， 王改云

(桂林電子科技大學(xué)計算機與控制學(xué)院，廣西 桂林 541004)

0 引言

2-D系統(tǒng)理論及分析方法始于20世紀(jì)70年代，其中Roesser模型是最常見也最有代表性的模型。迭代學(xué)習(xí)控制［1－2］包含了兩個獨立的過程，即時間過程和迭代過程。傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制［3－4］的主要缺點是難以找到一個數(shù)學(xué)模型同時表達控制系統(tǒng)在時域的動態(tài)特性和在空間的迭代學(xué)習(xí)過程。而在2-D系統(tǒng)中有兩個相互獨立的動態(tài)過程，可用其一反映迭代學(xué)習(xí)控制在時域內(nèi)系統(tǒng)動態(tài)特性，用另一過程反映系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)過程，因此2-D系統(tǒng)模型能成為良好的反映迭代學(xué)習(xí)控制的一種數(shù)學(xué)模型。國外學(xué)者Kurek與Tommy等人［5－6］提出將2-D系統(tǒng)理論用于迭代學(xué)習(xí)控制，但僅限于對開環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制的應(yīng)用，而迭代學(xué)習(xí)控制可分為單純的開環(huán)﹑閉環(huán)［7］及開閉環(huán)［8－9］。其中開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制能同時利用系統(tǒng)前次運行和當(dāng)前運行的信息，因而性能優(yōu)于單純的開環(huán)或閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制。本文利用2-D系統(tǒng)理論，用開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制方法討論了線性連續(xù)系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制及其收斂性。

1 線性連續(xù)系統(tǒng)開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制的2-D描述

系統(tǒng)的動態(tài)過程依賴于兩個獨立的變量則系統(tǒng)稱之為2-D系統(tǒng)，它廣泛用于系統(tǒng)科學(xué)及圖像處理等領(lǐng)域。在2-D系統(tǒng)中，若動態(tài)過程所依賴的兩個變量一個是連續(xù)的，另一個是離散的，則稱之為2-D連續(xù)—離散系統(tǒng)。現(xiàn)在考慮下面的線性連續(xù)控制系統(tǒng):

式中:x(t)∈Rn為狀態(tài)向量;u(t)∈Rm為輸入變量;y(t)∈Rp為輸出變量;A，B，C為適當(dāng)維數(shù)的實矩陣;邊界條件為x(0)=x0。

迭代學(xué)習(xí)控制可以描述如下:對給定的系統(tǒng)(1)，并且邊界條件為x(0)=x0，找到一個理想的控制輸入{u(t)，0≤t≤T}，從而使得系統(tǒng)輸出跟蹤期望輸出yr(t)∈Rp，且滿足

式中:∈為系統(tǒng)允許誤差。

對系統(tǒng)(1)采用如下的開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制律

式中:t為連續(xù)時間變量;k為迭代次數(shù)離散變量;uk+1(t)為本次控制的輸入量;uk(t)為前一次控制的輸入量;Δuk(t)為對前一次控制的修正量;Δuk+1(t)為對本次控制的修正量。迭代學(xué)習(xí)控制的目的就是在不斷對控制輸入進行修正的情況下，使系統(tǒng)的輸出逐漸接近期望值。

由式(3)可知，線性連續(xù)系統(tǒng)(1)的迭代學(xué)習(xí)控制依賴于兩個獨立的動態(tài)過程，一個是連續(xù)時間動態(tài)過程，一個是迭代學(xué)習(xí)動態(tài)過程，若分別用兩個變量t和k來表示這兩個動態(tài)過程，則式(1)和式(3)可表示為

邊界條件為 x(0，k)=x0，k=0，1，2，…，N;u(t，0)=u0(t)，0≤t≤T，初始輸入可以任選，通常選擇零初始輸入。經(jīng)過若干次迭代后，系統(tǒng)(4)應(yīng)滿足‖e(t，k)‖ < ε，t∈［0，T］，e(t，k)=yr(t)－ y(t，k)，式(4)即為線性連續(xù)系統(tǒng)開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)的2-D描述。

2 2-D開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)收斂性分析

對于系統(tǒng)(4)，可以推導(dǎo)其學(xué)習(xí)律，令:

假設(shè)yr(t)是可微的，采用如下的D型開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)律:

這里K1，K2待定，還涉及到e(t，k+1)的預(yù)測問題。

式(5)～式(8)聯(lián)立可得出D型開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制的2-D連續(xù)—離散Roessor模型為

該模型的邊界條件為 η(0，k)=0，e(0，k)=yr(0)－Cx0=0，其中 k=0，1，2，…，N(如果 e(0，k)≠0，設(shè)e′(t)=e(t，k)－ yr(0)+Cx0，從而得到類似的結(jié)論)，另外為了使(I+CBK2)－1(I－CBK1)存在，控制系統(tǒng)必須滿足維數(shù)條件p=m。

引理［10］對于2-D線性連續(xù)—離散系統(tǒng)，

式中:x(t，k)∈Rn1;y(t，k)∈Rn2;A1∈Rn1×n1;A2∈Rn1×n2;A3∈Rn2×n1;A4∈Rn2×n2。該系統(tǒng)的邊界條件為x(0，k)=0，k=0，1，2，…和 y(t，0)關(guān)于時間 t(t>0)的任意變量。如果矩陣A4是漸近穩(wěn)定的，即矩陣A4的譜半徑ρ(A4)<1，那么對于所有的t≥0，當(dāng)k→∞時都有

根據(jù)以上引理，可得出下面的定理。

定理1 對于線性連續(xù)控制系統(tǒng)(4)，D型開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)律:

收斂的充分必要條件［11］是矩陣(I+CBK2)－1(ICBK1)漸近穩(wěn)定即它的譜半徑 ρ［(I+CBK2)－1(ICBK1)］<1。這里給出的收斂條件是以譜半徑的形式給出的，其受到的限制小于以范數(shù)形式給出的收斂條件。

3 仿真實例

對于線性連續(xù)系統(tǒng)

系統(tǒng)的期望輸出為yr(t)=t2，系統(tǒng)的初始控制輸入為u0(t)=0，用如下的D型開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制算法:

1)當(dāng)k=0 時，u0(t)=0，x(0)=x0，并取K1=K2=(CB)－1;

對于本文中的仿真實例，取K1=K2=(CB)－1=20，分別用D型開環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制律(即令K2=0)和D型開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制律進行仿真，得出的結(jié)果如圖1﹑圖2所示。

圖1﹑圖2中，橫軸為迭代時間t，縱軸為系統(tǒng)輸出y(t)，迭代次數(shù)為K，實線代表期望輸出yr(t)，另外3條曲線分別代表K=1，K=2，K=3時系統(tǒng)的實際輸出。從兩圖的對比可得出，采用開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)律的控制系統(tǒng)明顯比單純采用開環(huán)迭代學(xué)習(xí)律的控制系統(tǒng)收斂速度更快，跟蹤性能更好。

圖1 D型開環(huán)迭代學(xué)習(xí)律的跟蹤性能Fig.1 Tracking performance using D-type open-loop ILC algorithm

圖2 D型開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)律的跟蹤性能Fig.2 Tracking performance using D-type open-closed-loop ILC algorithm

4 結(jié)論

本文采用D型開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制律來控制線性連續(xù)系統(tǒng)，并建立了控制系統(tǒng)的2-D連續(xù)—離散Roessor模型，分析了系統(tǒng)的收斂性，最后通過仿真實例來證明，采用D型開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制律的控制系統(tǒng)在收斂速度上大大優(yōu)于采用單純D型開環(huán)的控制系統(tǒng)，另外本文用譜半徑來給出收斂條件，因此其受到的限制要小于以范數(shù)形式給出的收斂條件。

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