兩彈塑性非赫茲接觸粗糙表面溫升的分形模型

田紅亮 朱大林 秦紅玲

(三峽大學(xué)機械與材料學(xué)院,湖北宜昌 443002)

1 赫茲接觸理論的3個缺陷

接觸力學(xué)起源于1882年赫茲發(fā)表的經(jīng)典論文《論彈性固體的接觸》[1].赫茲接觸理論作了4個假設(shè)[2]:(1)表面連續(xù)光滑、非同曲;(2)應(yīng)變小;(3)接近接觸區(qū)時,每個固體都視為半空間彈性體;(4)表面無摩擦.

在滑動過程中,大部分摩擦能量消耗于塑性變形而被直接轉(zhuǎn)化為接觸面表層材料的熱能.塑性變形加劇了原子晶格的振動,產(chǎn)生一種叫光子的聲波,聲能最終轉(zhuǎn)化為熱能.接觸彈性變形的0.1%～10%能量損失消耗于光子.在粘彈性變形中,彈性滯后也會產(chǎn)生熱能.在無潤滑劑的條件下,這些熱量通過接觸點傳入兩個滑動體.因此,摩擦界面的溫升計算十分重要.

1909年和1915年努塞爾(Nusselt)的兩篇論文對強制對流和自然對流的基本微分方程及邊界條件進行量綱分析,獲得了有關(guān)無量綱數(shù)之間的原則關(guān)系,從而開辟了在無量綱數(shù)原則關(guān)系正確指導(dǎo)下,通過實驗研究求解對流傳熱問題的一種基本方法,有力地促進了對流傳熱研究的發(fā)展.布洛克[3]對微接觸點的閃溫進行了理論性分析.阿查德[4]分析了圓形微接觸點的溫度分布.耶格爾[5]推導(dǎo)了不同滑動速度范圍的溫度分布.Wang和Komvopoulos[6]改進了MB模型[7],提出了低速滑動區(qū)域界面溫度分布的分形理論.Ray和Roy Chowdhury[8]對納米表面粗糙度滑動體的接觸閃溫進行了預(yù)測.Czichos和Kirschke[9]建議用載荷、速度、體積溫度這3個參數(shù)來表示摩擦擦傷條件.當(dāng)載荷增加時,相對較軟的表面將會變形.軟表面的分形維數(shù)將改變.粗糙表面將更平滑,分形維數(shù)增大.問題是分形維數(shù)是如何改變的,改變了多少.當(dāng)載荷繼續(xù)增加時,軟表面將不再具有分形特征,分形理論不再適用.孟鳳英等[10]對影響粘性土壤破碎體分形維數(shù)的因素進行了實驗研究,這種通過對研究對象進行破壞性實驗測定分形維數(shù)的方法不適合于那些不宜用外力激振的設(shè)備(如高精密數(shù)控機床、高檔數(shù)控機床),也不適合于用力錘或激振器無法激振的超重型機床.

上述理論模型一般采用赫茲接觸理論能夠預(yù)測接觸點的最大溫升和平均溫升,但不能確定實際接觸面積上的溫度分布,且大多數(shù)模型沒有考慮表面粗糙度對溫度分布的影響.事實上,根據(jù)赫茲接觸理論的第3和4個假設(shè),赫茲接觸理論的第1個缺陷是局限于無摩擦表面及理想彈性固體.根據(jù)第1個假設(shè),赫茲認為[11]表面互相不協(xié)調(diào)的物體最初在一個點或一條線上接觸,甚至在載荷作用下,與物體本身的尺寸相比,接觸面的尺寸通常也很小,在這些情況中,接觸應(yīng)力構(gòu)成局部應(yīng)力集中,它與兩個物體體內(nèi)的應(yīng)力無關(guān).另一方面,表面相互協(xié)調(diào)一致的物體可能會在一塊面積上接觸,接觸面的大小可以與這兩個物體的有效尺寸相比,于是接觸應(yīng)力就變成整個物體內(nèi)一般應(yīng)力分布的一部分,而不能從中分離出來,因此第2個缺陷是赫茲接觸應(yīng)力不適用于兩接觸同曲表面.赫茲接觸理論的第3個缺陷是沒有考慮塑性變形.

MB模型是原創(chuàng)性定量計算方法,被公認為分形理論的奠基石,為了使MB模型在算法上達到完美,田紅亮等[12]指出MB模型存在3個缺陷,修正了MB模型的后兩個缺陷,本文以修正后的MB模型為計算基礎(chǔ).螺紋聯(lián)接中振動能量的耗散機理很復(fù)雜,也很少有人研究.能量耗散的重要根源是螺紋間及相配零件接合處的摩擦,以及接觸表面的互相撞擊.此外,隨著振動,接合處的聯(lián)接零件也會產(chǎn)生彈性變形[13].本文考慮表面粗糙度和塑性變形,適當(dāng)處理接觸物體交界面處的摩擦,將赫茲接觸理論以更符合實際的方式推廣到滑動接觸,根據(jù)球形微凸體的赫茲接觸理論和MB修正模型,對微接觸點的溫升進行了分析,得到了低速滑動區(qū)域內(nèi)的分形區(qū)域?qū)嶋H接觸面積溫升的補充累積概率分布函數(shù)的封閉形式表達式.

2 兩彈塑性接觸表面的溫升

實際表面上粗糙峰頂?shù)男螤钔ǔＪ菣E圓體,由于橢圓體的接觸區(qū)尺寸遠小于本身的曲率半徑,因而粗糙峰可以近似地視為球體,兩個平面的接觸可視為一系列高低不齊的球體相接觸,單個粗糙峰簡稱單峰.對非球體,單峰頂端是使表面輪廓曲率半徑取最大值的某一點.單峰頂端的干涉量[14]為

式中,pa為微接觸點的平均壓應(yīng)力,下標(biāo)a表示平均(average);E′為兩接觸粗糙表面的復(fù)合彈性模量;R為赫茲接觸的等效峰頂曲率半徑;G為分形粗糙度參數(shù);D為表面輪廓分形維數(shù)為一個微接觸點的平截面積;r′為一個微接觸點的平截半徑.

臨界平均壓應(yīng)力為

式中,Kf為摩擦校正系數(shù)[15],下標(biāo)f表示摩擦(friction);σy=H/K為較軟材料的屈服強度,下標(biāo)y表示屈服(yield);H為較軟材料的硬度;K為相關(guān)系數(shù),0.5≤K≤3.

式中,f為摩擦因數(shù).

將式(5)代入式(1),可得接觸點材料初始屈服時的臨界干涉量為

將式(4)代入式(7),得

式(8)除以式(2),得

式中,a′y為劃分彈塑性區(qū)域的臨界平截微接觸點面積.

確定實際接觸面積中彈性變形和塑性變形接觸面積大小的研究表明,由式(9)可得當(dāng)δ＞δy或a′＜a′y即壓應(yīng)力較大,接觸點處于塑性變形;當(dāng) δ＜δy或a′＞a′y即壓應(yīng)力較小,接觸點處于彈性變形.兩固體表面受法向力作用,單峰尖端接觸,實際接觸面積很小,壓應(yīng)力很高,產(chǎn)生塑性變形,然后當(dāng)載荷增加時,實際接觸面積逐漸增大,這些塑性變形點合并成為一個較大曲率半徑的接觸點,從而釋放壓應(yīng)力,直至壓應(yīng)力降到屈服點σs,形成彈性接觸狀態(tài),此過程當(dāng)然會涉及加工硬化(下面會詳細討論),大的接觸點處于彈性變形,因為幾個小的接觸點結(jié)合在一起,成為一個大的接觸點,這時肯定有相互作用.MB模型沒有考慮相鄰微凸體之間的作用.這些分析結(jié)果與MB模型得出的結(jié)論相同,與經(jīng)典GW 模型[16]得出的結(jié)論相反.

球形壓痕頭塑性轉(zhuǎn)變的準(zhǔn)則[17]為

式中,σf為流動應(yīng)力,下標(biāo)f表示流動(flow).

式中,下標(biāo)pt表示塑性(plastic)轉(zhuǎn)變(transition).

一個彈塑性微接觸點的平均壓應(yīng)力為

式中,β為量綱一應(yīng)變;下標(biāo)aep表示平均(average)彈塑性(elastoplastic).

式中,ε為球形壓痕頭的總應(yīng)變;n為應(yīng)變加工硬化指數(shù)的倒數(shù).

系數(shù)B滿足下式

將式(16)、(15)代入式(18),得

將式(19)代入式(13),得

式(1)的干涉量是理論值.當(dāng)考慮應(yīng)變加工硬化時,實驗干涉量小于式(1)的理論干涉量.實驗干涉量稱為穿透深度.壓痕頭壓入半空間的穿透深度[18]為

由式(21)可得一個彈塑性微接觸點的面積為

當(dāng)n=1,可得赫茲理論一個彈性微接觸點的面積為

由式(3)、(15)得

微接觸點溫升的彈塑性校正系數(shù)為

式中,下標(biāo)t表示溫度(temperature).

將式(20)、(22)～(24)代入式(25),得

當(dāng)n=1,Kt=0.1π(2-ln0.6)=0.788 8,與 β 無關(guān).微接觸點溫升的彈塑性校正系數(shù)隨量綱一應(yīng)變的變化如圖1所示.

圖1 彈塑性校正系數(shù)隨量綱一應(yīng)變的變化

在實際接觸面積上的溫升概率分布密度(單位是℃-1)為

式中,Ts=Tm-T0為穩(wěn)態(tài)摩擦溫升,下標(biāo)s表示平穩(wěn)(steady);Tm為熔點,下標(biāo)m表示熔化(melting);T0為整體溫度(bulk temperature);C=0.5/ln(0.5π);Tsmax為分形區(qū)域的最大溫升.

量綱一最大Jaeger參數(shù)滿足

式中,ρ為密度;c為比熱容,單位是J/(kg?℃);k為熱導(dǎo)率;a′L為一個最大微接觸點的平截面積,下標(biāo)L表示最大(Largest).

溫升的補充累積概率分布函數(shù)為

將式(27)代入式(31),得

由式(27)可得平均溫升為

穩(wěn)態(tài)摩擦溫升Ts的二階原點矩為

溫升的標(biāo)準(zhǔn)差為

由式(33)可以看出,平均溫升是最大溫升的0.4023倍,文獻[19]的平均溫升是最大溫升的π/4=0.7854倍,因為該文獻假定接觸壓應(yīng)力為赫茲應(yīng)力,而赫茲接觸理論是近似的.由式(22)和(23)可以看出,aep≥aHertz,所以赫茲接觸理論低估了微接觸面積,高估了接觸壓應(yīng)力.應(yīng)用赫茲接觸理論造成平均溫升偏大的另一個原因是,赫茲接觸理論認為作用在彈性體上的集中外力F1與作用在剛性平面上的接觸支反力F2相等,即F1=F2,事實上由于物體的慣性等原因,F1＞F2,張朝暉[20]用ANSYS對鋼球和剛性平面的赫茲接觸進行了分析,集中外力傳遞到接觸表面后,力衰減的百分比為(F1-F2)/F1=(5 000-4754.92)/5000=4.9016%,其中F1=5000 N為球頂承受的法向集中力;F2=4754.92 N為剛性平面的接觸支反力.本文考慮了表面的摩擦、法向接觸的非彈性特征及塑性轉(zhuǎn)變,所以平均溫升偏小.

3 工程實例、實驗與結(jié)果分析

作為工程結(jié)構(gòu)陶瓷材料,有以Si3N4和SiC為主要成分的高溫結(jié)構(gòu)陶瓷;有以Al2O3為主要成分的刀具結(jié)構(gòu)陶瓷.陶瓷材料的主要特點是:硬度極高、耐磨、耐腐蝕、熔點高、剛度大以及密度比鋼鐵低等.陶瓷材料常被形容為“像鋼一樣強,像金剛石一樣硬,像鋁一樣輕”的材料.目前,陶瓷材料已應(yīng)用于密封件、滾動軸承和切削刀具等結(jié)構(gòu)中.但是陶瓷材料的主要缺點是比較脆,斷裂韌度低,價格昂貴,加工工藝性差等.4種陶瓷的力學(xué)和熱物理性能見表1,表中平均摩擦因數(shù)取0.15.

表1 4種陶瓷的力學(xué)和熱物理性能

4種陶瓷彈塑性區(qū)域的臨界平截微接觸點面積、一個最大微接觸點的平截面積見表2.3種情況皆可以得到a′L＞a′y,故發(fā)生彈塑性變形,因為 :根據(jù)文獻[21]的式(3),可得到 0＜a′≤a′L,再根據(jù)該文獻的式(4),可認為a′是積分變量,積分區(qū)間(0,a′y)+[a′y,a′L],在積分區(qū)間a′∈ (0,a′y)發(fā)生塑性變形 ,在積分區(qū)間a′∈[a′y,a′L]發(fā)生彈性變形.

表2 臨界平截面積、最大平截面積

采用最小二乘法對實驗數(shù)據(jù)進行曲面擬合,滑動速度、名義壓應(yīng)力和溫度對摩擦因數(shù)的影響如圖2所示.根據(jù)圖2(a),摩擦因數(shù)首先隨名義壓應(yīng)力增大而增大,然后隨名義壓應(yīng)力增大而減小;摩擦因數(shù)隨滑動速度增大而減小.根據(jù)圖2(b),摩擦因數(shù)首先隨名義壓應(yīng)力增大而增大,然后隨名義壓應(yīng)力增大而減小;摩擦因數(shù)首先隨溫度增大而增大,然后隨溫度增大而減小,溫度較高時,摩擦因數(shù)相對低溫時要穩(wěn)定,沒有出現(xiàn)熱衰退現(xiàn)象.根據(jù)圖2(c),摩擦因數(shù)隨滑動速度增大而減小;摩擦因數(shù)首先隨溫度增大而增大,然后隨溫度增大而減小.

分形區(qū)域的最大溫升隨滑動速度的變化如圖3所示.根據(jù)圖3,分形區(qū)域的最大溫升隨滑動速度增大而線性增大.ZrO2的最大滑動速度為0.1852m/s,Al2O3-TiC的最大滑動速度為1.951 m/s,WC的最大滑動速度為2.969m/s,金剛石的最大滑動速度為176.1m/s.在低速滑動區(qū)域,金剛石具有最大的速度范圍,因為金剛石的熱擴散率最高.對于給定的滑動速度,ZrO2的最大溫升最高,因為ZrO2的比值E′/k最大.

圖3 分形區(qū)域的最大溫升隨滑動速度的變化

實際接觸面積的溫升概率分布密度隨一個微接觸點的溫升的變化如圖4所示.根據(jù)圖4(a),非零域隨滑動速度增大而擴展.對于固定的滑動速度1.951 m/s,Al2O3-TiC實際接觸面積溫升概率分布密度的穩(wěn)定水平常數(shù)值(即縱坐標(biāo)的最大值)比WC的低,因為此時Al2O3-TiC所受的最大溫升更高.根據(jù)圖4(b),對于固定的量綱一分形粗糙度參數(shù),最大溫升隨分形維數(shù)增大而減小;對于固定的分形維數(shù),最大溫升隨量綱一分形粗糙度參數(shù)增大而增大.

當(dāng)Tm=69℃,T0=25℃時,溫升的補充累積概率分布函數(shù)隨滑動速度的變化如圖5所示.根據(jù)圖5,溫升的補充累積概率分布函數(shù)隨滑動速度增大而增大,表明非潤滑面積在加大;溫升的補充累積概率分布函數(shù)還隨分形維數(shù)增大或量綱一分形粗糙度參數(shù)減小而減小.對于相同的滑動速度、分形維數(shù)和量綱一分形粗糙度參數(shù),Al2O3-TiC的溫升的補充累積概率分布函數(shù)比WC的高.

圖5 補充累積概率分布函數(shù)隨滑動速度的變化

4 分形維數(shù)與分形粗糙度參數(shù)

在滑動過程中,分形維數(shù)-時間關(guān)系如圖6所示.根據(jù)圖6,分形維數(shù)隨時間增大而增大.

圖6 分形維數(shù)-時間關(guān)系

在滑動過程中,分形粗糙度參數(shù)-時間關(guān)系如圖7所示.根據(jù)圖7,分形粗糙度參數(shù)首先隨時間增大而增大,然后隨時間增大而減小.

圖7 分形粗糙度參數(shù)-時間關(guān)系

5 結(jié) 語

根據(jù)球形微凸體的赫茲接觸理論和MB修正模型,對微接觸點的溫升進行了分析,得到了低速滑動區(qū)域內(nèi)的分形區(qū)域?qū)嶋H接觸面積溫升的補充累積概率分布函數(shù)的封閉形式表達式.

分形區(qū)域的最大溫升隨滑動速度增大而線性增大.非零域隨滑動速度增大而擴展.對于固定的量綱一分形粗糙度參數(shù),最大溫升隨分形維數(shù)增大而減小.對于固定的分形維數(shù),最大溫升隨量綱一分形粗糙度參數(shù)增大而增大.溫升的補充累積概率分布函數(shù)隨滑動速度增大而增大,隨分形維數(shù)增大或量綱一分形粗糙度參數(shù)減小而減小.平均溫升為最大溫升的0.4023倍,溫升的標(biāo)準(zhǔn)差為最大溫升的0.24倍.

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