邊坡位移時序預(yù)測的組合模型研究

金海元

(中鐵第四勘察設(shè)計院集團有限公司,湖北武漢 437000)

邊坡穩(wěn)定性評價預(yù)測是目前研究的熱點問題,針對該課題,國內(nèi)外學(xué)者進行了不懈努力,取得了可喜的成果,建立了邊坡位移時序預(yù)測的灰色預(yù)測模型[1]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型[2]、指數(shù)平滑預(yù)測[3]、模糊理論預(yù)測[4]、非線性動力學(xué)預(yù)測[5]等眾多預(yù)測模型和方法.然而,各種預(yù)測有其優(yōu)點的同時,也存在著不足之處.例如,灰色預(yù)測模型無法解決數(shù)據(jù)樣本超過一定數(shù)量后模型精度的退化問題,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型無法解決參數(shù)局部最優(yōu)問題,非線性動力學(xué)預(yù)測在判斷系統(tǒng)是否為混沌系統(tǒng)方面存在困難等.為利用多種預(yù)測方法提供的信息,1969年Bates J N和Granger C W提出了組合預(yù)測理論及方法,將不同的預(yù)測方法進行組合,以求產(chǎn)生較好預(yù)測效果.組合預(yù)測有線性組合預(yù)測、非線性組合[6]預(yù)測方法以及變權(quán)重組合預(yù)測方法[7]等,其中應(yīng)用廣泛的是線性組合預(yù)測模型[8].本文擬將邊坡性態(tài)預(yù)測看作一個特殊的凸二次規(guī)劃問題,以加權(quán)一階局域法(AOLMM)、Lyapunov指數(shù)預(yù)報法以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方法(ANN)為基本預(yù)測方法,應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃方法求解組合預(yù)測模型的最優(yōu)解,以達到有效利用各種預(yù)測方法提供的信息提高模型預(yù)測精度的效果.

1 基本預(yù)測方法

1.1 加權(quán)一階局域法

加權(quán)一階局域法在天氣預(yù)報[9]、水文預(yù)報和邊坡變形預(yù)測[10]等領(lǐng)域取得了良好的應(yīng)用效果.應(yīng)用加權(quán)一階局域法實現(xiàn)邊坡位移時序預(yù)測的實施步驟如下:

(1)重構(gòu)相空間.根據(jù)改進的C-C方法計算時間序列的嵌入維數(shù)和時間延遲,得到重構(gòu)的相空間為Y(t)=(x(t),x(t+τ),x(t+(m-1)τ)),t=1,2,…,M,其中M為重構(gòu)相空間的個數(shù).

(2)尋找鄰近點.在相空間中計算各點到中心點Yk之間的空間距離,找出Yk的參考向量集為Yki,i=1,2,…,q,并且點Yki到Y(jié)k的距離為di,設(shè)dm是di中的最小值,定義點Yki的權(quán)值為

式中,a為參數(shù),一般取a=1.

(3)擬合預(yù)測.一階局域線性擬合為

式中,e=(1,1,…,1)T.

當(dāng)m=1時,應(yīng)用加權(quán)最小二乘法有

對上式求解a,b,得到預(yù)測遞推式:

然后構(gòu)造下一個中心點及其臨近點,繼續(xù)計算下一點的預(yù)測值.

1.2 Lyapunov指數(shù)預(yù)報法

Lyapunov指數(shù)作為量化初始軌道的指數(shù)發(fā)散和估計系統(tǒng)的混沌量,是系統(tǒng)的一個很好的預(yù)報參數(shù),在巖石邊坡變形預(yù)測等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景[11].如果最大的 Lyapunov指數(shù)λ1＞0,就認為該系統(tǒng)進入混沌狀態(tài),最大的Lyapunov指數(shù)λ1表示混沌系統(tǒng)狀態(tài)誤差增加一倍所需要的最長時間;同時該指標(biāo)也是進行時間序列預(yù)測的一個重要指標(biāo),一般定義最長可預(yù)報時間尺度T=1/λ1,λ1越大,混沌序列的可預(yù)測時間T越短,可預(yù)測性越差.因此對時間序列進行預(yù)測前首先要判斷該系統(tǒng)是否為混沌系統(tǒng),如果是混沌系統(tǒng),需要先確定最大的可預(yù)報時間尺度,進而基于Lyapunov指數(shù)進行預(yù)測.

混沌時間序列進行重構(gòu)相空間后,設(shè)YM為預(yù)報的中心點,相空間的YM的最近的鄰點為YK,其距離為dM(0),最大Lyapunov指數(shù)為 λ1,即:

式中,j為鄰近點個數(shù);YM,Yk,Yk+1為重構(gòu)相空間中的點,Yk+1是重構(gòu)相空間中Yk的下一點.點YM+1只有最后一個分量x(tn+1)未知,故x(tn+1)是可預(yù)測的,上式就是基于最大Lyapunov指數(shù)的預(yù)報模式.

1.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方法

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是人工智能領(lǐng)域發(fā)展最快的信息處理技術(shù)之一,在描述和表征自然界大量存在的非線性本質(zhì)的形態(tài)、現(xiàn)象中具有其它學(xué)科難以比擬的優(yōu)勢.應(yīng)用BP算法神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對邊坡進行位移變形預(yù)測時,只需分別構(gòu)造各一個輸入層、隱含層和輸出層組成的網(wǎng)絡(luò).

混沌BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測算法將混沌科學(xué)引入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算中,其計算過程如下[12]:

(1)記YM(t)為一維非線性時間序列,應(yīng)用相空間重構(gòu)算法確定輸入層神經(jīng)元數(shù)目,通過計算監(jiān)測數(shù)據(jù),得到其嵌入維,從而得到輸入層神經(jīng)元數(shù)目;為提高計算精度,把隱含層的神經(jīng)元數(shù)目設(shè)置較多;因為輸出層只有1個輸出,故其神經(jīng)元數(shù)目為1.

(2)構(gòu)造訓(xùn)練樣本訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò).用時間序列YM(t)中前M-1個數(shù)據(jù)來構(gòu)造一定數(shù)量訓(xùn)練樣本.對其中某一點Yj(1＜j＜M-1),先找出Yj的鄰近點Yji(1≤i≤n),并將Yji作為網(wǎng)絡(luò)輸入,Yj的下一點Yj+1作為網(wǎng)絡(luò)輸出.將訓(xùn)練樣本輸入網(wǎng)絡(luò),計算輸出值和監(jiān)測值的均方誤差,通過誤差控制,若計算結(jié)果在允許范圍之內(nèi),可認為網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練成功.

(3)混沌預(yù)測.對所需預(yù)測值YM+1,先用YM來構(gòu)造一個輸入樣本,其方法與訓(xùn)練樣本構(gòu)造方法一樣,即找到Y(jié)M的鄰近點構(gòu)造輸入樣本.將已構(gòu)造的樣本輸入到訓(xùn)練過的網(wǎng)絡(luò)中,即得到了所需的預(yù)測值YM+1.

(4)預(yù)測YM+2的值.更新訓(xùn)練樣本,即可將應(yīng)用YM構(gòu)造出的訓(xùn)練樣本添加至原有訓(xùn)練樣本中;對網(wǎng)絡(luò)重新訓(xùn)練一次,應(yīng)用YM+1構(gòu)造出YM+2的輸入樣本,并以此作為YM+2的預(yù)測值.若不更新訓(xùn)練樣本,盡管可對YM+2進行預(yù)測,但精度降低.

2 組合預(yù)測模型

對某一預(yù)測問題,假設(shè)有多種預(yù)測方法,有N期統(tǒng)計觀測值,yt為第t期觀測值,fit為第i種預(yù)測方法第t期擬合值,其擬合誤差eit=yi-fit,第i種預(yù)測方法的擬合預(yù)測誤差向量為:Ei=(ei1,ei2,…,eiN)T,i=1,2,…,n;t=1,2,…,N;各單一預(yù)測方法的誤差平方和為n.記ft為組合預(yù)測第t期的預(yù)測值,wi為第i種預(yù)

提高組合預(yù)測模型精度即要求組合預(yù)測誤差平方和最小,因而可建立如下組合模型:

其中:En=(1,1,…,1)T;W≥0.

組合預(yù)測模型(4)式為一特殊二次凸規(guī)劃問題[13],在可行域內(nèi)或其邊界上存在唯一最優(yōu)解,但一般情況下無法直接求,但可以在Kuhn-Tucker條件下,將其轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,再找出最優(yōu)解,但其求解過程繁瑣[14],一般不予采用,本文探討應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃法求解所表示的非線性規(guī)劃問題.

應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃解法[15],原模型可以表示為

于是模型的求解可以轉(zhuǎn)化為一個多階段決策問題,可把整個問題分為幾個階段,每種預(yù)測方法作為一個階段,階段變量為k=1,2,…,n,決策變量即組合權(quán)重wk,狀態(tài)變量Sk=wk+wk+1+…+wn,狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

其指標(biāo)函數(shù)即為組合預(yù)測值的誤差平方和,即

3 工程應(yīng)用

西南某水電工程邊坡地質(zhì)條件復(fù)雜,以其左岸邊坡的變形時間序列作為工程應(yīng)用實例,應(yīng)用上述建立及求解模型的步驟,應(yīng)用Matlab編程語言,分別按上述加權(quán)一階局域法(AOLMM)、Lyapunov指數(shù)預(yù)報法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測法(ANN)進行初始預(yù)測,并應(yīng)用上述組合模型實現(xiàn)組合模型預(yù)測.

圖1 孔口位移實測曲線

表1 重構(gòu)相空間后數(shù)據(jù)表

以位移計孔口相對位移監(jiān)測數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù),首先利用C-C方法求得該時間序列的嵌入維m=6和時間延遲τ=1.于是形成了一個6維相空間,共有n-m+1個相點,即120-6+1=115個點.用該重構(gòu)后的相空間代替原有的狀態(tài)空間,而此相空間中的每個點都表示了系統(tǒng)在某個瞬時后的狀態(tài),而這些點的連線就構(gòu)成了點在相空間中的軌跡,這條軌跡線便表示了系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的演化情況,可以利用這些點來建立預(yù)測模型.

計算此時序的最大Lyapunov指數(shù)為0.115,則說明此時間序列為混沌序列,其可預(yù)報最大尺度為:Tm=1/λ1=1/0.115=8.7,即利用該位移時間序列進行未來位移預(yù)測時,在精度損失不太嚴重的情況下,最大預(yù)測時步為8步.由于監(jiān)測時間間隔為7 d,因此,最大預(yù)測時間為Tm×7=56d.

應(yīng)指出的是,位移預(yù)測精度并非在最大預(yù)測時間內(nèi)均為一樣,一般隨著預(yù)測時間的增大而降低,隨著預(yù)測步數(shù)的增加,預(yù)測誤差逐漸增大.

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法則將重構(gòu)后的時間序列構(gòu)造學(xué)習(xí)樣本,樣本取前107個點,預(yù)測樣本(測試樣本)取后8個點.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測中,輸入層神經(jīng)元數(shù)目為107;為提高計算精度,隱含層的神經(jīng)元數(shù)目設(shè)置較多;而輸出層,因僅有1個輸出,所以輸出層神經(jīng)元數(shù)目是1.

各方法預(yù)測結(jié)果見表2,可以看出,組合預(yù)測結(jié)果的相對誤差均小于10%,且多數(shù)小于5%.從圖2可以看出,雖然各種預(yù)測方法的預(yù)測結(jié)果都達到誤差精度范圍,但組合預(yù)測結(jié)果更優(yōu)于單一方法預(yù)測結(jié)果,證明本文提出的組合預(yù)測方法的可行性和準(zhǔn)確性.

表2 某邊坡變形量的實測值及模型預(yù)測值

圖2 各模型的預(yù)測值時序曲線

4 結(jié) 論

在邊坡的位移變形預(yù)測中,應(yīng)用加權(quán)函數(shù)組合預(yù)測模型把幾種預(yù)測方法的預(yù)測結(jié)果進行加權(quán)組合,應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃求解法,將求解模型轉(zhuǎn)化為多階段單目標(biāo)決策問題,并通過使得組合預(yù)測誤差平方和最小的方式得到組合權(quán)重,以此得到的變形預(yù)測結(jié)果精度有很大的提高,能很好地滿足工程實際需求.運用現(xiàn)代非線性動力學(xué)理論,對邊坡變形的預(yù)測問題進行探索性研究,把混沌時間序列理論中的相空間重構(gòu)理論、Lyapunov預(yù)測方法、加權(quán)一階局域法引入到邊坡工程研究中,結(jié)合了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方法以及組合預(yù)測法,并在西南某水電站左岸邊坡變形預(yù)測方面得到了應(yīng)用,充分證明了非線性動力學(xué)方法及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法在巖石邊坡反演及變形預(yù)測方面應(yīng)用的可行性,為該理論在巖土工程領(lǐng)域的應(yīng)用提供有利支持.

[1]Liu Z B,Xu W Y,Meng Y D,et al.M odification of GM(1,1)and its Application in Analysis of Rock-slope Deformation[C].Proceedings of 2009 IEEE International Conference on Grey Systems and Intelligent Services,Nov.2009,Nanjing,China,Pages:415-419.

[2]徐衛(wèi)亞,邵建富.邊坡工程反饋設(shè)計研究的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[J].武漢水利電力大學(xué)(宜昌)學(xué)報,1997,19(2):9-17.

[3]劉造保,徐衛(wèi)亞,張開普等.基于改進指數(shù)平滑法的巖體邊坡變形預(yù)測[J].河海大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2009,37(3):313-316.

[4]徐衛(wèi)亞,談小龍,蔣中明.節(jié)理巖體邊坡模糊穩(wěn)定性分析方法研究[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報,26(6):1232-1236.

[5]黃志全.邊坡工程非線性分析理論及應(yīng)用[M].鄭州:黃河水利出版社,2005.

[6]萬玉成,何亞群,盛昭瀚.基于灰色系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的航材消耗廣義加權(quán)函數(shù)平均組合預(yù)測模型研究[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2003(7):81-87.

[7]黃巖,張國春,王其藩等.一種新的計算組合預(yù)測權(quán)重的方法[J].管理工程學(xué)報,2001,15(2):44-46.

[8]金海元,徐衛(wèi)亞.加權(quán)函數(shù)組合預(yù)測邊坡變形模型的研究[J].工程地質(zhì)學(xué)報,2008,16(4):518～521.

[9]吳耿鋒,周佩玲,儲閱春等.基于相空間重構(gòu)的預(yù)測方法及其在天氣預(yù)報中的應(yīng)用[J].自然雜志,1999,21(2):107-110.

[10]劉華明,齊 歡,蔡志強.滑坡預(yù)測的非線性混沌模型[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報,2003,22(3):434-437.

[11]梁桂蘭.基于安全監(jiān)控的巖石高邊坡工程分析研究及應(yīng)用[D].南京:河海大學(xué)博士學(xué)位論文,2008.

[12]周家文,徐衛(wèi)亞,石安池.高邊坡開挖變形的非線性時間序列預(yù)測分析[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報,2006,25(1)增:2795-2800.

[13]楊桂元,唐小我.非負權(quán)重組合預(yù)測模型優(yōu)化方法研究[J].數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究,1998(3):56-60.

[14]宋學(xué)峰,魏曉平.運籌學(xué)[M].南京:東南大學(xué)出版社,2006.

[15]清華大學(xué)《現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)手冊》編委會.現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)手冊―運籌學(xué)與最優(yōu)化理論卷[M].北京:清華大學(xué)出版社,1997.