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    Weibull定時截尾情形下的矩估計性能

    2010-07-25 07:42:00馮自立陳曉陽顧家銘
    軸承 2010年9期
    關(guān)鍵詞:估計量樣本量位數(shù)

    馮自立,陳曉陽,顧家銘

    (1.上海大學 軸承研究室,上海 200072;2.上海天安軸承有限公司,上海 200233)

    試驗是掌握產(chǎn)品性能最具說服力的手段,其關(guān)鍵在于建立和確認產(chǎn)品性能的概率分布。普遍認為投入試驗的試件越多,估計結(jié)果越精確,但由于受時間和資金的限制,產(chǎn)品的可靠性試驗不僅不能保證大的樣本量,還必須采取截尾試驗方案。在實踐中定時截尾試驗多于定數(shù)截尾試驗。Weibull分布常被用于描述滾動軸承的疲勞壽命,然而對Weibull分布參數(shù)估計的研究,大多集中于完全樣本試驗[1-2]和定數(shù)截尾試驗。文中通過MonteCarlo法研究矩估計量在小樣本量(樣本量不超過10)定時截尾情形下,對Weibull分布參數(shù)的估計性能。

    1 小樣本量Weibull定時截尾數(shù)據(jù)的特性

    通過MonteCarlo方法[3]研究Weibull分布下的小樣本量定時截尾數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)有以下規(guī)律[4]:(1)在一定的樣本容量和形狀參數(shù)β下,使得某一失效數(shù)出現(xiàn)概率最大的截尾時間,可以是某一區(qū)間上的任意取值;(2)對于同一樣本結(jié)構(gòu)(n,r)(n為樣本容量,r為失效數(shù)),不同Weibull分布(形狀參數(shù)β相同,尺度參數(shù)η不同)下的截尾時間區(qū)間端點與尺度參數(shù)的比值相同。將形狀參數(shù)等于1時,使得n=10的各樣本結(jié)構(gòu)出現(xiàn)概率最大的截尾時間范圍列于表1。

    表1 樣本結(jié)構(gòu)與對應的截尾時間范圍

    2 常用估計方法

    通??刹捎肳eibull概率紙圖估計法、最小二乘法和極大似然法對Weibull分布下的定時截尾數(shù)據(jù)進行估計。最小二乘法改善了圖估計法易受人為主觀因素影響,精度不高的缺點,在實踐中應用廣泛。但是最小二乘法有一個基本假設(shè)[5],即每個樣本點都包含了關(guān)于未知母體的相同信息量。然而從Weibull分布母體得到的順序統(tǒng)計量中,前幾個隨機變量的離散程度大于后續(xù)的隨機變量。通過對樣本點合理加權(quán)可以改善對所有試驗數(shù)據(jù)“一視同仁”的不足。文獻[5]通過引入一個中間隨機變量,成功解決了計算樣本點加權(quán)系數(shù)的問題。

    對于截尾情形下壽命服從Weibull分布的試件,可在各個截尾樣本上用1-F(t)=exp[-(t/η)β]代替概率密度函數(shù)與失效樣本所對應的概率密度函數(shù)值相乘,求出似然函數(shù)。

    根據(jù)極大似然原理可以得到關(guān)于βMLE(形狀參數(shù)β的極大似然估計)的超越方程:

    式中:ti(i=1,2,…,r)為失效時間。方程的左端是βMLE的嚴格減連續(xù)函數(shù),可采用二分法進行迭代求解。在高截尾的小樣本量定時截尾數(shù)據(jù)情形下,(1)式的計算不易收斂。

    以從W(1,1)(β=1,η=1的Weibull分布母體)中抽取的容量為10的定時截尾樣本為例,形狀參數(shù)的極大似然估計量在各個樣本結(jié)構(gòu)下(均保證10 000次有效模擬計算)的5%,50%和95%分位數(shù)與截尾時間(表1)的關(guān)系如圖1所示。

    圖1 形狀參數(shù)極大似然估計量的分位數(shù)與截尾時間(均為無量綱)的關(guān)系

    由圖1可知:在高、中截尾場合(r=2~6),極大似然估計量的分位數(shù)基本不隨截尾時間的變化而改變;在低截尾場合(r=7~9),極大似然估計量的50%和95%分位數(shù)隨著截尾時間的增加明顯減小。這一規(guī)律同樣出現(xiàn)在其他樣本容量所對應的低截尾場合。最小二乘估計量和加權(quán)最小二乘估計量在截尾時間區(qū)間上同樣有這一規(guī)律。為便于比較估計量的性能,對于同一失效數(shù),均取使其出現(xiàn)概率最大的截尾時間區(qū)間的左端點所對應的估計量分布進行分析。

    以對來自于W(1,1),容量為10的定時截尾樣本估計為例,用箱線圖表示形狀參數(shù)的最小二乘估計量、加權(quán)最小二乘估計量以及極大似然估計量在各失效數(shù)下的90%分布區(qū)間(在各樣本結(jié)構(gòu)下對3種估計量均保證10 000次有效模擬計算),見圖2。

    圖2 估計量的90%分布區(qū)間箱線圖

    由圖2可知:(1)隨著失效數(shù)的增加,各估計量的精度均在提高,最小二乘估計量與加權(quán)最小二乘估計量逐漸趨于無偏(中位數(shù)意義上),而極大似然估計量逐漸變大;(2)極大似然估計法精度最高,加權(quán)最小二乘法次之,最小二乘法精度最低。

    3 矩估計

    3.1 矩估計原理

    極值分布屬于位置-刻度分布族,其分布函數(shù)為:

    若A~W(β,η)(隨機變量A服從形狀參數(shù)為β,尺度參數(shù)為η的兩參數(shù)Weibull分布),則ln A服從極值分布,其中參數(shù)μ=lnη,σ=1/β。

    考慮位置-刻度分布族的好處就在于對定時截尾情形下的數(shù)據(jù)可以采用矩法進行估計[6]。文獻[7]利用Weibull分布與極值分布之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系首先研究了Weibull分布下定時截尾數(shù)據(jù)的矩估計問題,并證明了其構(gòu)造的形狀參數(shù)與尺度參數(shù)的矩估計量具有強相合性。

    中間變量h(p)為[6-7]:

    式中:p=P(X≤T)(設(shè)隨機變量X服從Weibull分布)。

    文獻[7]給出的形狀參數(shù)與尺度參數(shù)的矩估計量為:

    式中:T為截尾時間;采用pE(pE=r/n)作為p的估計,計算出h(pE)作為h(p)的近似值。

    為方便使用,給出樣本容量10以內(nèi)所有樣本結(jié)構(gòu)對應的h(pE),見表2。

    表2 小樣本量下的h(p E)值

    3.2 矩估計性能

    在低截尾場合下,矩估計量的5%,50%和95%分位數(shù)同樣隨著截尾時間的增加而減小。以對母體為W(2,1)的截尾樣本(10,9)估計為例,其矩估計量的分位數(shù)隨截尾時間變化的曲線如圖3所示。

    對于不同的失效數(shù),取其對應的截尾時間區(qū)間左端點上的極大似然估計量和矩估計量的分布進行比較。

    對來自于W(2,1),容量為10的定時截尾樣本進行估計(在每個樣本結(jié)構(gòu)下均保證10 000次有效模擬計算),形狀參數(shù)的矩估計量與極大似然估計量的90%分布區(qū)間如圖4所示。

    圖3 低截尾場合下形狀參數(shù)矩估計量的分位數(shù)隨截尾時間(無量綱)變化的曲線

    圖4 估計量的90%分布區(qū)間箱線圖

    由圖4可知:(1)在小樣本量定時截尾情形下,矩估計隨著失效數(shù)的增加逐漸變大;(2)矩估計與極大似然估計的精度相當。

    4 實例計算

    以某型陀螺電動機轉(zhuǎn)子軸承小樣本精度壽命模擬試驗為例說明上述方法的可靠性估計[8],試驗采用定時截尾方案(截尾時間為4 000 h)。共投入8組(每組2套)軸承,其中5組失效,壽命時間依次為:1 313,2 288,2 472,2 506和3 382 h,其余3組截尾。分布擬合優(yōu)度檢驗結(jié)果表明,可以接受該型軸承精度壽命服從Weibull分布的假設(shè)。分別采用極大似然估計法(1)式和矩估計法(3)式對壽命數(shù)據(jù)進行估計,結(jié)果見表3。

    表3 陀螺轉(zhuǎn)子軸承在3種置信水平下的可靠性壽命估計

    此外,陀螺生產(chǎn)廠家用10套該型軸承裝配5臺某型高速陀螺電動機,進行了通電壽命試驗。每臺陀螺電動機累計通電工作時間達1 023 h,均滿足性能指標。

    陀螺電動機通電壽命試驗結(jié)果表明:兩種估計方法的計算結(jié)果相近,均比較符合實際;矩估計較極大似然估計略偏保守。

    5 結(jié)論

    (1)極大似然估計較最小二乘估計以及加權(quán)最小二乘估計更加精確。

    (2)矩估計無需迭代,在高截尾情形下不會出現(xiàn)極大似然估計難以收斂的情況。

    (3)矩估計與極大似然估計精度相當。

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