基于欠采樣和ZFFT的流速動態(tài)跟蹤測量方法

李建立 ，劉紀元 ，2，焦學(xué)峰

(1.沈陽航空工業(yè)學(xué)院，遼寧 沈陽 110136；2.中國科學(xué)院聲學(xué)研究所，北京 100100；3.北京航瑞博泰科技有限公司，北京 100102)

明渠流量測量中需要測量水速和水深兩個關(guān)鍵參數(shù)。新型的流量計大多采用超聲波進行測量，依據(jù)多普勒原理求解渠中水的速度，并依據(jù)發(fā)射和接收脈沖信號的時間差估計渠中水的深度。利用帶通欠采樣技術(shù)，選擇合適的采樣頻率，可以完全恢復(fù)原信號，同時，可大大降低采樣速率。另外，采用帶通欠采樣技術(shù)測速和測深可以分時利用前端抗混疊帶通濾波器，達到有效地利用硬件資源，簡化了設(shè)計，節(jié)約了成本。

但是共用前端帶通抗混疊濾波器，可致使采樣率較高。其原因是：在明渠測深中需要一個寬帶脈沖信號。相對而言，明渠中流速的測量其有效帶寬較窄。所以，抗混疊帶通濾波器的設(shè)計，須按照帶寬較寬的參數(shù)設(shè)計。除此之外，中心頻率越高，帶通的窄帶性越難做到，這也是導(dǎo)致采樣率較高的原因之一。為了提高測速分辨率，設(shè)計中引入局部頻帶細化技術(shù)ZFFT(ZoomFFT)，大大提高了速度分辨率。實現(xiàn)方法為：通過跟蹤水的瞬時動態(tài)流速范圍，確定一個較窄的局部動態(tài)頻帶，通過軟件中設(shè)計的抽取帶通濾波器對關(guān)注的局部頻帶進行選擇和抽取，然后進行頻帶的細化和分析。文中給出了帶通欠采樣技術(shù)下ZFFT實現(xiàn)的具體過程。事實證明，這種方法具有計算量小的特點，易于實現(xiàn)，而且可以達到很高的測量精度。

1 多普勒測速原理

多普勒現(xiàn)象：向以相對運動的目標發(fā)射信號，回波信號的頻率和原來發(fā)射信號頻率不同，產(chǎn)生頻率差，這一現(xiàn)象稱作多普勒現(xiàn)象[1-3]。

利用這一原理在水中發(fā)射水聲信號，水中運動的雜質(zhì)顆粒反射波的頻率，反映了水體的流速。關(guān)系如下：

式中，φ為換能器安裝角(波束方向與水平面的夾角)；c為超聲在水中的傳播速度，常溫下大約1 500 m/s。

實驗中發(fā)射信號頻率采用1 MHz，水聲換能器與水速的安裝夾角為45°，若認為水速 5 m/s時，為實際水渠的極限值，由式(1)可以反推多普勒頻偏為4.7 kHz。取5 kHz為最大頻偏，且考慮流速的方向性，測速有效帶寬范圍為：0.995 MHz～1.005 MHz。為了提取多普勒信號，本文采用帶通欠采樣的技術(shù)。通過欠采樣把發(fā)射信號的頻率移到低頻的某一對應(yīng)頻率處，如圖1所示A點，回波信號頻譜可以存在OA或AB兩個區(qū)內(nèi)，回波信號與發(fā)射信號(對應(yīng)位置A點)坐標差反映了多普勒頻偏。把發(fā)射信號移到中頻位置A點，是為了能對流水的方向做判定。

圖1 多普勒頻率搬移示意圖

2 帶通欠采樣及其采樣率的確定

設(shè)信號的頻帶范圍為(f1，f2)，f1＜f2，若 采樣頻率 fs滿足式(2)：

其中，2＜n＜[f2/B]，符號[]表示取整。 滿足式(2)可保證信號頻譜不發(fā)生混疊及完全可恢復(fù)原信號，這就是帶通采樣定理[4]。實際應(yīng)用中，信號進入數(shù)字系統(tǒng)前，f1代表帶通濾波器的下端截止頻率；f2代表上端截止頻率。B=f2-f1表示帶寬。帶通欠采樣可以采用比傳統(tǒng)技術(shù)低得多的采樣率，表示數(shù)據(jù)采集性能的提高及功耗和成本的降低[5-6]。

為了降低設(shè)計成本，測速測深采用分時利用同一抗混疊帶通濾波器。設(shè)計中采用帶寬B=60 kHz，中心頻率f0=1 MHz，即帶通范圍為 0.97 MHz～1.03 MHz，這樣既可以滿足測速的帶寬需求，又可以滿足測深的帶寬要求。但在測速中，其采樣速率提高了很多。式(2)中，f1=0.97 MHz，f2=1.03 MH，n=10，則 201 kHz＜fs＜221 kHz，選擇 留有一定的邊界冗余采樣率fs=204 kHz，則經(jīng)欠采樣后，搬移到奈奎斯特第一主頻(15 kHz，25 kHz)，若在頻譜分析中 FFT計算點數(shù)為N=2 048，則頻率分辨率 △f=fs/N=99.6 Hz。代入式(1)，速度分辨率=10 cm/s。為了進一步提高速度分辨率，還需要在軟件中對數(shù)據(jù)作細化處理。

3 動態(tài)跟蹤流速范圍，抽取局部頻帶細化處理

明渠流量中水速多普勒頻帶范圍分布(0.995 MHz，1.005 MHz)頻帶內(nèi)，其寬度為 10 kHz，然而在某一個時段渠中，水的流速變化對應(yīng)的多普勒頻帶只占據(jù)頻帶上一個很窄的范圍(速度變化是一個連續(xù)的過程，不可能發(fā)生速度值的跳變)。因此可以通過跟蹤水的瞬時動態(tài)流速范圍，確定一個較窄的局部頻帶。通過在軟件中設(shè)計一個較窄的抽取帶通濾波器選取出這個時段的局部頻帶，使得信號帶寬變窄，采樣速率下降，進而可以提高速度分辨率。

ZFFT技術(shù)關(guān)鍵是局部信號提取，并通過頻譜搬移至低頻，然后利用奈奎斯特采樣定理，就能以很低的采樣率進行采樣(對局部頻帶的細化處理ZFFT技術(shù)可以查閱參考文獻[7-8])。但是在欠采樣下，依據(jù)欠采樣的性質(zhì)，可以很好地與ZFFT方法結(jié)合在一起。欠采樣本身具有把頻譜向低頻搬移的特性。因此欠采樣下可以簡化這個步驟，帶通欠采樣下具體實現(xiàn)頻帶細化的過程如下：

(1)首先選擇某一采樣頻率(滿足式(2)，且采樣率 fs×N≠1 MHz)，目的是在初次測量中，將1 MHz頻率移到中頻，且能判定流速方向。根據(jù)本次測量值的大小選擇抽取帶通濾波器。

(2)參照閾值。在流速變化過程中，當流速測量值超出某個閾值v1，采用臨近較高頻段的帶通進行頻帶選取。當流速低于某個閾值v2時，采用臨近較低頻段帶通。比如兩個流速范圍劃分A(0，1.3 m/s)和 B(1.0 m/s、2.6 m/s)，分別對應(yīng)抽取帶通濾波器 A1和 B1，當流速 v大于v1=1.2 m/s時，采用抽取帶通濾波器B1；當流速小于v2=1.1 m/s時，采用抽取帶通濾波器A1，對頻帶進行抽取(設(shè)置閾值時，v1≠v2)。

(3)流速范圍劃分后，選擇相應(yīng)的帶通，抽取相應(yīng)的局部頻帶。依據(jù)局部頻帶帶寬，確定重抽樣倍數(shù)D。對采集到的數(shù)據(jù)進行重抽樣(如仍做欠采樣，頻譜會被搬移到低頻處，所以欠采樣下ZFFT省去了移頻過程)。

(4)進行快速傅里葉變換(FFT)分析。在上述步驟(2)流速范圍劃分下，對應(yīng)帶寬約1.25 kHz，可以選擇D=64進行細化，這樣得到的頻譜的分辨率=204 kHz/64/2048=1.55 Hz，流速分辨率=1.6 mm/s。(無需頻譜還原，測速只要求解出多普勒頻偏即可)。

4 兩次欠采樣下流速方向的判定

對信號進行欠采樣，在頻域上是對頻譜進行頻譜搬移。0～fs稱作奈奎斯特第一主頻，在頻域0～fs/2內(nèi)的頻譜有兩種可能：(1)正向頻譜的搬移；(2)負向頻譜的搬移，兩種搬移流速方向判定相反。

欠采樣的頻率選擇：式(2)中，若取 n為偶數(shù)，則頻帶[0，fs/2]為負向頻帶頻譜搬移；若 n取奇數(shù)，[0～fs/2]為正向頻譜搬移，如圖2所示。

設(shè)計中兩次用到欠采樣，最終的流速方向由兩次欠采樣共同決定。具體關(guān)系如表1所示。

在0～fs/2為正向頻譜搬移，若回波信號頻率變大則流速方向為正向向換能器流動；變小則方向相反。

在0～fs/2為負向頻譜搬移，若回波信號頻率變大則流速方向為逆向向換能器流動；變小則方向相反。

表1 兩次欠采樣后的頻譜搬移特性

根據(jù)兩次欠采樣中n的奇偶性，判斷(0，fs/2)頻段內(nèi)頻譜是正向頻譜搬移或是負向頻譜搬移，進而可判斷流速的方向。

5 在DSP平臺上的流速測試實驗

(1)水的流速范圍分成 A(0，1.3 m/s)、B(1.0 m/s，2.6 m/s)、C(2.3 m/s，3.9 m/s)，并設(shè) 計相 應(yīng)頻帶的抽取帶 通濾波器及相應(yīng)的閾值。

(2)發(fā)射信號為 1 MHz正弦波；水溫 25℃；含沙量約5%；換能器與水平夾角45°(迎水安裝)。測試水速在1.0 m/s以下，對應(yīng)流速范圍為0，1.3 m/s，相應(yīng)抽取帶通濾波器設(shè) 計 參 數(shù) 為 20 kHz/204 kHz×2，18.75 kHz/204 kHz×2。帶入 式(2)，取 n=13 則 2.85 kHz＜fs＜3.26 kHz，取 fs=204 kHz/64=3.18 kHz作為重采樣后的最終頻率，此時分辨率為：204 kHz/64/2048=1.5 Hz，對應(yīng)測速分辨率為1.6 mm/s(其他流速范圍的抽取帶通濾波器設(shè)計方法相同)。

(3)理論發(fā)射1 MHz信號經(jīng)采樣率fs=3.18 kHz(兩次欠采樣后的采樣率)采樣后，得到1.91 kHz余頻。經(jīng)計算占2 048個譜線的第1 228.6根線譜，由于柵欄效應(yīng)的存在，可計算在第1 229根譜線有最大幅度譜。又因為第1 229根譜線在負頻率軸，故在(0，fs/2)內(nèi)占據(jù) 1 024-(1 229-1 024)=819根譜線位置。

(4)由第 1次欠采樣 n=10，第 2次欠采樣 n=13，由表1得知為負向頻譜搬移。所以，如果多普勒回波信號頻率大于1 MHz，譜線應(yīng)該出現(xiàn)在其左側(cè)，即譜線出現(xiàn)在小于819位置上。

(5)流速范圍在(0，1.3 m/s)的計算方法：

(819-X)×1.6 mm/s。X表示譜線的加權(quán)均值。

實驗1水靜止條件下測得數(shù)據(jù)

水靜止條件下，測得回波信號及其頻率，如圖3、圖4所示。

數(shù)據(jù)分析：水靜止條件下，反射回波信號不存在多普勒現(xiàn)象。如圖4所示，頻譜分析后譜線在第819根譜線位置出現(xiàn)，測試數(shù)據(jù)結(jié)果和上述理論分析一致。

第819根譜線位置作為基頻參考位置，多普勒信號FFT分析后譜線位置于此的差值d(819-719)，乘以頻率分辨率，即可估計出多普勒頻偏。例如：回波信號在719有峰值，則對應(yīng)的頻偏為：(819-719)×1.5=150 Hz

對應(yīng)水的流速：(819-719)×1.6 mm/s=16 cm/s

實驗2一定流速下測量數(shù)據(jù)

水速約 62.5 cm/s，測得數(shù)據(jù)如圖 5、圖 6所示。

經(jīng)過加權(quán)平均后可得本次的流速為61.76 cm/s。

多次測量求均值，測試結(jié)果如表2所示。

表2 三次實驗數(shù)據(jù)(cm/s)

誤差：0.54 cm/s。水速方向：向換能器流動。

從實驗1可知，理論值和文中提到的動態(tài)跟蹤測量方法、精度達到一致。流速分辨率完全可以滿足工程要求，且計算復(fù)雜度小。實驗2的數(shù)據(jù)表明，實驗值和真實值之間的波動在允許的范圍2 cm/s內(nèi)。滿足工程需求。

設(shè)計中利用欠采樣的性質(zhì)，對多普勒信號進行提取和估計，在多普勒信號的提取中充當著混頻器的作用；在基于局部頻帶細化過程中起到了頻譜搬移的作用。為了判定流速方向，把發(fā)射信號頻率調(diào)到中頻，可以根據(jù)欠采樣性質(zhì)判定流速方向。測量過程中一旦流速方向和流速范圍確定，可以根據(jù)事先設(shè)置的流速閾值選擇相應(yīng)頻段的抽取帶通濾波器，對相應(yīng)局部的頻帶進行選擇抽取，進而做細化處理分析(欠采樣下的ZFFT)。事實證明，這種方法大大提高了流速分辨率，而且可測流速范圍也較寬。

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