子彈打木塊問(wèn)題的圖像解法

王秀芳 王建中

(1.山西省長(zhǎng)治市華北機(jī)電學(xué)?；A(chǔ)部,山西 長(zhǎng)治 046000;2.山西省長(zhǎng)治市長(zhǎng)治學(xué)院附屬太行中學(xué),山西長(zhǎng)治 046000)

子彈打入木塊后可能穿出,也可能不穿出,如果木塊被置于光滑的水平面上,那么子彈水平擊入木塊的過(guò)程中總動(dòng)量一定守恒,同時(shí)還存在著子彈動(dòng)能向木塊的傳遞和向內(nèi)能的轉(zhuǎn)化,這就是所謂的“子彈打木塊”問(wèn)題.該問(wèn)題常用的解法是列動(dòng)量守恒和能量轉(zhuǎn)化的方程,而在“打擊條件變化后結(jié)果判斷”類(lèi)選擇題中,利用速度圖像來(lái)判斷將更準(zhǔn)確,也更便捷.

1 利用速度圖像表示子彈打擊木塊的過(guò)程

情形1.一子彈水平擊中放置在光滑水平面上的木塊中最終沒(méi)有穿出,試用圖像法分析木塊及子彈的運(yùn)動(dòng)情況.

圖1 -0

分析:設(shè)子彈質(zhì)量為m,木塊質(zhì)量 M,子彈初速度 v0,作用時(shí)間為 t,則子彈和木塊受同樣大小的作用力,方向相反,設(shè)此力大小不變,則子彈作勻減速而木塊作勻加速運(yùn)動(dòng),由于子彈沒(méi)有穿出,故最終二者達(dá)到共同的運(yùn)動(dòng)速度,如圖1-0.其中圖線(xiàn)①為子彈的圖像;圖線(xiàn)②為木塊的圖像;圖線(xiàn)③為最終共同運(yùn)動(dòng)的圖像.圖線(xiàn)①、②的斜率絕對(duì)值分別表示子彈打入木塊過(guò)程中子彈和木塊加速度的大小;三角形Opt0的面積表示子彈打入過(guò)程中木塊發(fā)生的位移,而梯形 Ov0Pt0的面積表示子彈打入過(guò)程中子彈發(fā)生的位移,陰影部分即三角形OPv0的面積就等于子彈相對(duì)于木塊的位移,即子彈打入木塊的深度.

討論:(1)如果子彈初速度增大;(2)如果子彈質(zhì)量增大;(3)如果木塊質(zhì)量增大……,在子彈不穿過(guò)木塊且相互作用力不變的條件下,圖線(xiàn)將有何變化?木塊位移s木、子彈位移s子、打入深度 d、打入時(shí)間 t、共同的末速度 v共又將如何變化?

答:(1)如果子彈初速度增大;子彈的速度圖線(xiàn)將上移,子彈和木塊的加速度均不變,此間木塊位移 s木和子彈位移s子均增大、打入深度d和打入時(shí)間t也增大、共同的末速度 v共也增大,如圖1-1所示.

圖1 -1

圖1 -2

圖1 -3

(2)如果子彈質(zhì)量增大;子彈的速度圖線(xiàn)將變緩(加速度變小),木塊位移 s木增大、子彈位移s子也增大、打入深度 d增大、打入時(shí)間 t增加、共同的末速度 v共增大,如圖1-2所示.

(3)如果木塊質(zhì)量增大,子彈的速度圖線(xiàn)不變而木塊的速度圖線(xiàn)將變緩(加速度變小),使木塊位移 s木減小、子彈位移 s子增加、打入深度 d增加、打入時(shí)間 t增加、共同的末速度 v共減小.如圖1-3所示.

圖2 -0

情形2.子彈穿過(guò)木塊時(shí),圖像如圖 2-0,其中圖線(xiàn)①為子彈的速度圖線(xiàn);圖線(xiàn)②為木塊的速度圖線(xiàn);圖線(xiàn)③為射出后子彈的速度圖線(xiàn);圖線(xiàn)④為子彈射出后木塊的速度圖線(xiàn).斜率的絕對(duì)值分別表示打入過(guò)程中子彈和木塊加速度的大小;而陰影部分的面積就表示木塊的長(zhǎng)度.

討論:(1)如果子彈初速度增大;(2)如果子彈質(zhì)量增大;(3)如果木塊質(zhì)量增大……,而相互作用力不變,圖線(xiàn)又會(huì)有何變化?木塊位移 s木、子彈位移s子、打入時(shí)間 t、各自的末速度 v子、v木又將如何變化?

答:(1)如果子彈初速度增大時(shí),子彈的速度圖線(xiàn)將上移,木塊位移 s木減小、子彈位移 s子減小、打入時(shí)間 t縮短、各自的末速度 v子增大、v木減小,如圖 2-1所示.

(2)如果子彈質(zhì)量增大,子彈的速度圖線(xiàn)將更緩,木塊位移 s木減小、子彈位移 s子減小、打入時(shí)間 t縮短、各自的末速度 v子增大、v木減小,如圖2-2所示.

(3)如果木塊質(zhì)量增大,子彈的速度圖線(xiàn)不變而木塊速度圖線(xiàn)變緩,木塊位移 s木減小、子彈位移 s子減小、打入時(shí)間 t縮短、各自的末速度 v子增大、v木減小,如圖2-3所示.

2 舉例(分析過(guò)程略)

例1.一顆速度較大的子彈,水平擊穿原來(lái)靜止在光滑水平面上的木塊,設(shè)木塊對(duì)子彈的阻力恒定,則當(dāng)子彈入射速度增大時(shí),下列說(shuō)法正確的是

(A)木塊獲得的動(dòng)能變大.

(B)木塊獲得的動(dòng)能變小.

(C)子彈穿過(guò)木塊的時(shí)間變長(zhǎng).

(D)子彈穿過(guò)木塊的時(shí)間變短. 答案:(B)、(D).

例2.一顆速度較大的子彈,水平擊穿原來(lái)靜止在光滑水平面上的木塊,設(shè)木塊對(duì)子彈的阻力是恒定的,則當(dāng)子彈的質(zhì)量增大時(shí),下列說(shuō)法正確的是

(A)木塊獲得的動(dòng)能變大.

(B)木塊獲得的動(dòng)能變小.

(C)子彈穿過(guò)木塊的時(shí)間變長(zhǎng).

(D)子彈穿過(guò)木塊的時(shí)間變短. 答案:(B)、(D).

例3.一顆速度較大的子彈,水平擊穿原來(lái)靜止在光滑水平面上的木塊,設(shè)木塊對(duì)子彈的阻力是恒定的,則當(dāng)木塊的質(zhì)量增大時(shí),下列說(shuō)法正確的是

(A)木塊獲得的動(dòng)能變大.

(B)木塊獲得的動(dòng)能變小.

(C)子彈穿過(guò)木塊的時(shí)間變長(zhǎng).

(D)子彈穿過(guò)木塊的時(shí)間變短. 答案:(B)、(D).

3 木塊在平板車(chē)上的運(yùn)動(dòng)與子彈打木塊相似

圖3 -0

例.如圖3-0所示,光滑的水平面上有質(zhì)量為 M的長(zhǎng)平板車(chē)以初速度v0向右運(yùn)動(dòng),此時(shí)將一質(zhì)量為 m的物塊輕放在平板車(chē)的最右端,設(shè)m與M間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,欲使m不從M上掉下來(lái),M的長(zhǎng)度至少應(yīng)為多少?

分析:當(dāng)物塊 m放到小車(chē)M上以后,由于摩擦力的作用,物塊m 將做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng):而小車(chē)則做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).物塊 m不從小車(chē)M上掉下來(lái),意味著最終 m將與M達(dá)到相同的速度.

物塊m放到小車(chē)M上后由于水平方向不受外力,因此動(dòng)量守恒.設(shè)共同速度為 v共,則有 Mv0=(m+M)v共.

圖3 -1

解法1.利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律,如圖3-1.對(duì)物塊

對(duì)小車(chē)2a車(chē)s=v02-v共2.

解法2.根據(jù)摩擦生熱規(guī)律,有

解法3.利用圖像求解,作 v-t圖像,如圖3-2所示.

圖3 -2

如果m掉不下來(lái),設(shè)經(jīng)時(shí)間t0二者速度相等,則在 t0時(shí)間內(nèi) M運(yùn)動(dòng)的位移為

在t0時(shí)間內(nèi)m運(yùn)動(dòng)的位移為

所以平板車(chē)的最小長(zhǎng)度為