不完全信息靜態(tài)庫諾特模型均衡分析

馬國順，行曉妮，劉文文

（1.西北師范大學 數(shù)信學院，蘭州 730070；2.蘭州大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，蘭州 730000）

0 引言

市場結(jié)構(gòu)中的重要形式之一的寡頭壟斷，由于其產(chǎn)量和價格的決策對整個市場和其他競爭對手均會產(chǎn)生重要影響，并在不完全信息下這些策略行為變得相當復雜，而作為經(jīng)濟學企業(yè)理論中研究寡頭市場的一個經(jīng)典雙寡頭模型[1]，即兩企業(yè)相互競爭的模型，自1838年由法國數(shù)理經(jīng)濟學家?guī)熘Z特提出后，受到經(jīng)濟學界的廣泛關注，因此學術(shù)界對庫諾特模型進行了廣泛研究。如文獻[2]比較了信息對稱與信息不對稱條件下兩企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量；文獻[3]構(gòu)建了市場不同逆需求函數(shù)及企業(yè)不同生產(chǎn)成本下的庫諾特模型；文獻[4]建立了不同生產(chǎn)成本下的動態(tài)庫諾特模型，并分析了其對均衡產(chǎn)量和均衡利潤的影響。但這些研究都集中在固定成本和其中一個企業(yè)有不變成本的基礎上，本文通過引入兩企業(yè)成本類型的預測概率建立了靜態(tài)庫諾特模型，分析了其在信息對稱和信息不對稱條件下的關系以及對均衡產(chǎn)量的影響，從而得出一些具有價值性的結(jié)論。

1 庫諾特模型的建立

1.1 庫諾特模型

庫諾特模型的經(jīng)典表述為:在一個市場中有兩個寡頭企業(yè)，分別為企業(yè)1和企業(yè)2，兩個企業(yè)生產(chǎn)同種質(zhì)量的商品，產(chǎn)量分別是q1和q2，市場中該商品的供給為Q=q1+q2，市場出清時的價格為a其中， 為需求函數(shù)的參數(shù)。兩個企業(yè)的邊際成本為C。由此，Eric Rasmusen指出:兩寡頭企業(yè)博弈是非合作的，都根據(jù)各自利潤最大化的一階條件生成的反應函數(shù)來決策，形成帕累托最優(yōu)均衡[5]。

本文假定：

（1）兩家寡頭企業(yè)都有不變的單位成本C，但企業(yè)1的單位成本對于企業(yè)2來說是不確定的，可能是新成本C1N，也可能是舊成本C1O；企業(yè)2的單位成本對于企業(yè)1來說也是不確定的，可能是高成本C2H，也可能是低成本均為常數(shù))。

（2）企業(yè)1能夠根據(jù)從市場中搜尋的信息判斷企業(yè)2屬于高成本類型的概率為λ，屬于低成本類型的概率為1-λ；企業(yè)2根據(jù)從市場中搜尋的信息判斷企業(yè)1屬于新成本類型的概率為μ，屬于舊成本類型的概率為1-μ。

（3）兩個企業(yè)的行動空間分別為 A1=[0，（a-c）/2]，A2=[0，（a-c）/2]。

1.2 庫諾特模型的建立

在上面的假設下，企業(yè)1的收益函數(shù)有以下4種表述形式：

類似的，企業(yè)2的收益函數(shù)也有以下4種表述形式：

由于企業(yè)1并不知道企業(yè)2的確切成本，只知道企業(yè)2成本存在的概率，因此企業(yè)1的收益只能用期望收益來表示：

在新成本下：

在舊成本下：

由最優(yōu)化的一階條件:?u1/?q1=0可知:企業(yè)1在新成本下的最優(yōu)反應函數(shù)為：

企業(yè)1在舊成本下的最優(yōu)反應函數(shù)為:

同樣，企業(yè)2的收益也只能用期望收益來表示：

在高成本情況下：

在低成本情況下：

由最優(yōu)化的一階條件:?u2/?q2=0可知，企業(yè)2在高成本下的最優(yōu)反應函數(shù)為:

企業(yè)2在低成本下的最優(yōu)反應函數(shù)為:

(1)，(2)，(3)，(4)式便構(gòu)成了兩企業(yè)成本不確定情況下的靜態(tài)庫諾特模型。

均衡意味著兩個企業(yè)的四個反應函數(shù)同時成立，解得貝葉斯均衡為：

2 靜態(tài)庫諾特模型均衡分析

我們假設 c2L＜c1O＜c1N＜c2H，以下對構(gòu)建的模型進行分析。

2.1 完全信息和不完全信息靜態(tài)庫諾特模型均衡產(chǎn)量分析

(1)當c1N=c1O=c，c2H=c2L=c時，即企業(yè)1和企業(yè) 2有相同的不變成本，這就是完全信息靜態(tài)庫諾特模型，由(5)，(6)，(7)，(8)產(chǎn)生的納什均衡為:q1*=q2*=a-c/3。

(2)當 c1N=c1O=c1，c2H=c2L=c2時，即企業(yè) 1和企業(yè) 2分別有固定的單位成本但不相同，這時模型仍然是完全信息靜態(tài)博弈，由上式產(chǎn)生的納什均衡為:q1*=a-2c1+c2/3，q2*=a+c1-2c2/3。

(3)當 0＜μ＜1，也就是出現(xiàn)不完全信息時，q1*(c1N)-q1*(c1O)=c1O-c1N/2＜0，這表明，在不完全信息情況下，屬于舊成本類型的企業(yè)1的均衡產(chǎn)量q1*(c1O)大于屬于新成本類型的企業(yè)1的均衡產(chǎn)量q1*(c1N)；對企業(yè)2也可以做類似分析。

(4)企業(yè)1均衡產(chǎn)量的分析

這表明不論企業(yè)1是新成本還是舊成本，均衡產(chǎn)量隨著μ的增大而減小，隨著λ的增大而增大。

①若企業(yè)1是用c1N生產(chǎn)的，當它知道企業(yè)2是用c2N生產(chǎn)時，企業(yè)1的均衡產(chǎn)量為q*1H(c1N)=a-2c1N+c2H/3；當它知道企業(yè)2用c2L生產(chǎn)時，企業(yè)1的均衡產(chǎn)量為q*1L(c1N)=a-2c1N+c2L/3，（下標表示企業(yè)2在用高成本或低成本生產(chǎn)時企業(yè)1的均衡產(chǎn)量）。 由于 0＜λ＜1，總有 c2L＜λ·c2H+(1-λ)·c2L＜c2H，將上面兩個均衡產(chǎn)量與 q1*(c1N)比較，則有 a-2c1N+c2L/3＜a-2c1N+λ·c2N+(1-λ)·c2L/3＜a-2c1N+c2H/3， 該不等式給出了企業(yè) 1 用 c1N生產(chǎn)時，完全信息和不完全信息條件下其均衡產(chǎn)量之間的關系。

②若企業(yè)1是用c2O生產(chǎn)的，當它知道企業(yè)2是用c2H生產(chǎn)時，企業(yè)1的均衡產(chǎn)量為q*1H(c1O)=a-2c1O+c2H/3，當它知道企業(yè)2用c2L生產(chǎn)時，企業(yè)1的均衡產(chǎn)量為q*1L(c1O)=a-2c1O+c2L/3，由于 0＜λ＜1，總有 c2L＜λ·c2H+(1-λ)·c2L＜c2H，將上面兩個均衡產(chǎn)量與q1*(c1O)比較，則有：

a-2c1O+c2L/3＜a-2c1O+λ·c2H+(1-λ)·c2L/3＜a-2c1O+c2H/3

該不等式給出了企業(yè)1用c1O生產(chǎn)時，完全信息和不完全信息條件下其均衡產(chǎn)量之間的關系。

對企業(yè)2也可以做類似分析。

(5)兩企業(yè)均衡產(chǎn)量的比較分析

①企業(yè)2為高成本類型時：

②企業(yè)2為低成本類型時：

這說明，無論企業(yè)1為哪種成本，當它獲得企業(yè)2為高成本的信息量相對于對方獲取自己信息量越大時，企業(yè)1的均衡產(chǎn)量越大，當對信息量的預測超過一定程度時，企業(yè)1的產(chǎn)量高于企業(yè)2的產(chǎn)量。

對企業(yè)2可以做類似的分析。

2.2 完全信息條件下的納什均衡和不完全信息條件下的貝葉斯均衡比較

更具體的， 我們不妨取 a=10，c1N=5，c1O=4，λ=1/2，c2H=6，c2L=3，μ=2/3，由此可得貝葉斯均衡為:q1*(5)=14/9，q2*(4)=37/18，q2*(6)=41/36，q2*(3)=95/36 即 q2*(6)＜q1*(5)＜q1*(4)＜q1*(3)，這說明，在市場逆需求函數(shù)a=P-Q的條件下，該均衡反映了一種經(jīng)濟現(xiàn)象，成本越高，均衡產(chǎn)量越低。

下面比較不完全信息條件下的貝葉斯均衡和完全信息條件下的納什均衡：

(1)企業(yè)1用新成本c1N生產(chǎn)

當企業(yè)1知道企業(yè)2用高成本c2N生產(chǎn)時，企業(yè)1的反應函數(shù)為：

當企業(yè)2知道企業(yè)1用新成本生產(chǎn)時，企業(yè)2的反應函數(shù)為：

當企業(yè)1知道企業(yè)2用低成本c2L生產(chǎn)時，企業(yè)1的反應函數(shù)為：

當企業(yè)2知道企業(yè)1用新成本c2N生產(chǎn)時，企業(yè)2的反應函數(shù)為：

(2)企業(yè)1用舊成本c1O生產(chǎn)

當企業(yè)1知道企業(yè)2用高成本c2H生產(chǎn)時，企業(yè)1的反應函數(shù)為：

q1*(c1O)=[a-q2*(c2N)-c1O]/2=[6-q2*(c2N)]/2

當企業(yè)2知道企業(yè)1用舊成本生產(chǎn)時，企業(yè)2的反應函數(shù)為：

當企業(yè)1知道企業(yè)2用低成本c2L生產(chǎn)時，企業(yè)1的反應函數(shù)為：

當企業(yè)2知道企業(yè)1用舊成本c1O生產(chǎn)時，企業(yè)2的反應函數(shù)為：

也就是說，與完全信息相比，在不完全信息情況下，對于企業(yè)2，不論對方的成本如何，高成本企業(yè)的產(chǎn)量相對較多，低成本企業(yè)的產(chǎn)量相對較低；而對于企業(yè)1來說，不論自己是新成本還是舊成本，當企業(yè)2為高成本時，企業(yè)1的產(chǎn)量相對較低，當企業(yè)2為低成本時，企業(yè)1的產(chǎn)量相對較高。導致該結(jié)果的原因是，當企業(yè)1不知道企業(yè)2的成本時，只能生產(chǎn)預期的最優(yōu)產(chǎn)量，高于完全信息下對低成本競爭對手的產(chǎn)量，低于完全信息下對高成本競爭對手的產(chǎn)量，企業(yè)2對此作出反應，同理，當企業(yè)2不知道企業(yè)1的成本時，只能生產(chǎn)預期的最優(yōu)產(chǎn)量，高于完全信息下對舊成本競爭對手的產(chǎn)量，低于完全信息下對新成本競爭對手的產(chǎn)量，企業(yè)1對此作出反應。

3 結(jié)論

(1)寡占市場中，企業(yè)雙方不論是哪種成本，隨著自己獲取對方信息愈多時，其均衡產(chǎn)量愈少，隨著自己被獲取的信息量愈大時，其均衡產(chǎn)量愈多；特別的，當一方獲取對方的成本高于自己成本的信息量愈多時，它的產(chǎn)量愈多，當預測的信息量超過一定程度時，它的均衡產(chǎn)量高于對方的產(chǎn)量。

(2)寡占市場中，企業(yè)雙方在不知道對方成本的情況下，均衡產(chǎn)量高于確知對方為低成本競爭對手的產(chǎn)量，低于確知對方為高成本競爭對手的產(chǎn)量。

(3)在市場逆需求函數(shù)a=P-Q的條件下，企業(yè)的成本越高，均衡產(chǎn)量越低。

[1]Gibbons Robert.A Primer in Game Theory[M].London:Harvester Wheatsheaf Publisher，1992.

[2]王禮剛，楊紅.完全信息與不完全信息下的古諾模型之比較[J].西北民族大學學報（自然科學版），2005，26(4).

[3]張宇波，羅先覺.寡占市場中動態(tài)古諾模型的建立及穩(wěn)定性分析[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2003，23(11).

[4]周世軍，岳朝龍，嚴忠.不完全信息動態(tài)庫諾特模型均衡分析[J].安徽工業(yè)大學學報（自然科學版），2008，25(1).

[5]張維迎.博弈論與信息經(jīng)濟學[M].上海:上海人民出版社，2004.