基于小波變換的時間序列奇異性問題探析

李炳林 ,向書堅(jiān)

（1.湖南科技學(xué)院 經(jīng)管系,湖南 永州 420010；2.中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)a.信息學(xué)院；b.研究生部，武漢 430060）

0 引言

經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的運(yùn)行規(guī)律一般具有趨勢性與周期性，對其規(guī)律性的研究主要是通過對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的時間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察，尋找其運(yùn)行過程中的變異點(diǎn)，即對應(yīng)時間序列的奇異點(diǎn)（拐點(diǎn)）。筆者認(rèn)為經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象時間序列的有關(guān)數(shù)據(jù)可以抽象為信號（函數(shù)），而經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變化的奇異點(diǎn)（拐點(diǎn)），則可抽象為信號（函數(shù)）的奇異點(diǎn)的檢測。通過檢測時間序列（信號）的奇異性和位置（時間），來研究經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象運(yùn)行的周期性及變化趨勢。傳統(tǒng)的奇異性檢測方法是基于Fourier變換,它只能反映信號奇異性的整體性質(zhì),很難確定各奇異點(diǎn)的位置及各奇異點(diǎn)奇異性的強(qiáng)弱。而小波變換具有良好的時頻局部化特性,能更好地分析信號的奇異點(diǎn)的位置及奇異性的強(qiáng)弱。奇異點(diǎn)的位置可以通過跟蹤小波變換在小尺度下的模極大曲線來檢驗(yàn)；信號奇異點(diǎn)奇異性的強(qiáng)弱可以由小波變換模隨尺度參數(shù)的衰減性和Lipschitz指數(shù)來刻畫。因此，我們利用二進(jìn)小波變換模極大值和Lipschitz指數(shù)來探測時間序列奇異點(diǎn)的位置與奇異點(diǎn)的強(qiáng)弱。

1 小波及小波變換

定義 1 對?Ψ（t）∈L2(R)，設(shè) Ψ（t）的 Fourier變換為Ψ滿足容許條件：

則稱 Ψ（t）是一個基本小波或小波母函數(shù)。 由 CΨ＜+∞ 知，反之，若 Ψ（t）滿足|ψ(t)|≤c(1+|t|)-1-ε(ε＞0)，且其中 c 是一個常數(shù)，則式（1）成立。 說明小波函數(shù)不僅要求具有一定的震蕩性，即包含著某種頻率特征，而且還要求具有一定的局部性，即在一個區(qū)間上恒等于0或很快地收斂于0，這也就是Ψ（t）稱為小波的原因。

定義 2 對于小波函數(shù) Ψ（t），函數(shù) f(t)∈L2(R),f(t)的小波變換定義為：

其中 a≠0，b、t均為連續(xù)變量，ψ*(t)表示 Ψ（t）的復(fù)共軛。小波變換定義為信號和小波函數(shù)ψa,b(t)的內(nèi)積，表示了信號與小波基函數(shù)的相似程度。

2 序列（信號）的奇異性

2.1 Lipschitz指數(shù)的概念

定義 3 設(shè) f(t)∈L2(R)，如果存在常數(shù) Kv＞0及 m[α]次多項(xiàng)式pv使得：

稱函數(shù) f(t)在點(diǎn) v 是 Lipschitzα(α≥0)。

定義4 如果在[a，b]上存在與 v無關(guān)的常數(shù)K＞0，使得（3）式對所有的 v∈[a,b]成立，則稱 f(t)在[a，b]上是一致 Lips?chitzα。

由上述定義，我們有以下結(jié)論：如果函數(shù)f(t)在v點(diǎn)的Lipschitz指數(shù)α小于1，那么稱函數(shù)f(t)在v點(diǎn)是奇異的。若函數(shù) f(t)的Lipschitz指數(shù) α'滿足 n＜α'＜n+1，則 f(t)在 v 點(diǎn)是 n次可微的，但其n次導(dǎo)數(shù)f(n)(t)在v點(diǎn)是奇異的，它的Lipschitz指數(shù)為α'-n，也稱α'描述了這個奇異性。如果f(t)的原函數(shù)F(t)在 v 點(diǎn)的 Lipschitz指數(shù)為 α+1(-1≤α＜0)，則稱 f(t)在點(diǎn) v是Lipschitzα。負(fù)的Lipschitz指數(shù)意味著函數(shù)具有比不連續(xù)（α=0）更大的奇異性。特別地有，若函數(shù)f(t)在v點(diǎn)連續(xù)可微，則函數(shù) f(t)在v點(diǎn)的Lipschitz指數(shù)為1；若函數(shù) f(t)在 v點(diǎn)可微，而導(dǎo)數(shù)有界但不連續(xù)，f(t)在v點(diǎn)的Lipschitz指數(shù)為1；若函數(shù)f(t)在v點(diǎn)不連續(xù)但有界，則f(t)在v點(diǎn)的Lipschitz指數(shù)為0。

因此，Lipschitz指數(shù)α刻畫了f(t)在v點(diǎn)的光滑程度，α值越大，函數(shù)越光滑，奇異性越小；反之，α值越小，表明函數(shù)在該點(diǎn)處變化越尖銳，奇異性越大。

2.2 小波變換模極大值

Mallat等通過分析小波變換模的局部極大值與函數(shù)奇異性的關(guān)系發(fā)現(xiàn)，小波變換模|Wf(s,u)|的衰減性可以由其局部極大值控制，可以利用小波變換模|Wf(s,u)|（其中s為尺度）在v的鄰域中的衰減性來刻畫函數(shù)f(t)在點(diǎn)v的局部Lipschitz正則性。

定理 1[1]設(shè) f(t)∈L2(R)在區(qū)間 [a，b]上是一致Lipschitzα≤n,則存在 A＞0，使得：

反之，設(shè)f(t)是有界且對某個非整數(shù)有α＜n，使得|Wf(s,u)，則對?ε＞0，f(t)在[a-ε,a+ε]上是一致 Lipschitzα。

定理1說明，對v0領(lǐng)域內(nèi)的任意點(diǎn)v，若在尺度s上滿足|Wf(s,v)|≤|Wf(s,v0)|，則稱(s,v0)為一模極大值點(diǎn)，|Wf(s,v0)|稱為在點(diǎn)(s,v0)點(diǎn)的小波變換模極大值。若在二維平面（s，v）上某一曲線上的點(diǎn)均為模極大值，則稱此曲線為極大值線。

定理 2 設(shè) f(t)∈L2(R)在 v0處是 Lipschitzα≤n，則存在A＞0，使得反之，若 α＜n，使得為非整數(shù)，且存在 A＞0 和 α'＜α 使得則 f(t)在 v0是 Lipschitzα。

上述定理說明了f(t)在v0的局部Lipschitz正則性依賴于在v0的領(lǐng)域中Wf(s,v)在細(xì)尺度下的衰減性。由（4）得：|Wf(s,因此當(dāng)信號的奇異指數(shù)α＞0時，其小波變換模隨尺度s的增加而增大；當(dāng)奇異指數(shù)α＜0時，小波變換模隨尺度s的增加而減少。

2.3 序列（信號）奇異點(diǎn)的判定

定理3 （HWANG，MALLAT）設(shè)n是一個嚴(yán)格的正整數(shù)，θ(t)是一個平滑函數(shù)，ψ(t)是一個緊支撐的n次連續(xù)可微的小波函數(shù)，且 ψ=(-1)nθ(n)，對于 f(t)∈L1(a,b)，如果存在 s0＞0，使得對任意的 s＜s0和 u∈[a,b]，|Wf(s,u)|沒有局部極大值，則對?ε＞0，f(t)在[a-ε,a+ε]上是一致 Lipschitz n 的。

定理3說明了如果小波變換Wf(s,u)在細(xì)尺度下沒有極大值，那么f(t)一定是局部正則的。它缊含了如下事實(shí)：僅當(dāng)存在一個小波極大點(diǎn)序列 (sp,up)p∈N在細(xì)尺度下收斂于v，即則 f(t)在 v 點(diǎn)是奇異（非 Lipschitz 1）的。另外，僅沿著尺度搜尋小波模極大值點(diǎn)對于奇異性檢測還是不充分的，還需要從模極大值的衰減性計(jì)算函數(shù)在一點(diǎn)的Lipschitz正則性。

定理 4 對于 s＜s0，設(shè)函數(shù) f(t)定義在區(qū)間（a,b）上，如果收斂于v的所有模極大點(diǎn)都包含在錐|u-v|≤Cs中，則對小于n的非負(fù)整數(shù)α，函數(shù)f(t)在v點(diǎn)為Lipschitzα，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) A＞0，使得|u-v|≤Cs中的模極大點(diǎn)滿足即

定理 4說明了f(t)在點(diǎn) v的 Lipschitz α就是 log2|Wf(s,u)|作為log2s的函數(shù)沿著收斂于v的極大曲線的最大斜率減去1/2。這為我們提供了一種簡便計(jì)算Lipschitz指數(shù)α的方法。

3 序列（信號）的奇異性檢測

3.1 Lipschitz指數(shù)α的計(jì)算

（1）對時間序列做濾波處理

經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在運(yùn)行過程中，受各種因素的干擾，這些干擾因素可歸結(jié)為隨機(jī)因素，即噪聲，而噪聲都服從或近似服從高斯分布。由于白噪聲具有負(fù)的Lipschitz指數(shù)，且其幅度和稠密度隨尺度增加而減少；若小波變換局部模極大值及稠密度隨尺度的關(guān)注而快速增大，則說明該處的奇異性主要是由噪聲控制。因此，為了減少噪聲對分析的影響，必須進(jìn)行濾波處理，消除噪聲的干擾。

設(shè)時間序列f(t)在t0處有奇異性，我們用Gauss型函數(shù)做濾波器處理，即：h(t)=f(t)gσ(t)。

（2）對 h(t)作二進(jìn)小波變換

為簡單起見，假定函數(shù)θ(t)類似于 Gauss函數(shù)，θ(t)的形式為，則 gθ(t)仍為一Gauss函數(shù)，即：σ2j

因此,有奇異性的序列（信號）f(t)被均方差為σ的Gauss函數(shù)平滑后，在尺度為2j時的小波變換等價于沒有平滑的奇異性函數(shù)在尺度為s0時的小波變換。于是這時,|W2jh(t)|≤

（3）建立目標(biāo)函數(shù)，確定α的值

對aj使（9）式極小化就可確定σ、k和α的值。

3.2 由確定的α判斷f(t)的奇異性，根據(jù)尺度2j確定奇異點(diǎn)的位置（時間）

4 結(jié)束語

時間序列（信號）的奇異性包含經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變化的最重要信息。小波變換能夠使其信息集中在幾個小波系數(shù)中，并且通過濾波消除噪聲的干擾，這樣就能準(zhǔn)確找到序列的奇異點(diǎn)及其變化的時間，對于正確認(rèn)識經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變化規(guī)律具有重要意義。因此，用二進(jìn)小波變換模極大值與Lipschitz指數(shù)來探測序列的奇異性不失為一種有用的方法。雖然小波分析近乎完美的數(shù)學(xué)特性受到各領(lǐng)域科學(xué)家和工程技術(shù)人員的青睞，但現(xiàn)在還沒有找到一種適用于每個領(lǐng)域或者不同領(lǐng)域的小波函數(shù)，在運(yùn)用小波函數(shù)時，只能從已知的二十來種小波函數(shù)中去選擇、篩選找到最適合的小波函數(shù)。在具體研究序列的奇異性時，還要考慮消失矩與閥值。另外，小波變換廣泛運(yùn)用于時間序列的相關(guān)性、長記憶性、非平穩(wěn)性、區(qū)間估計(jì)、譜密度估計(jì)及分形等方面。我們相信，隨著小波理論的完善，小波分析在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用前景將會更加廣闊。

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