列車運行時分力學模型的建立與仿真

顏保凡，郭垂江，廖 勇

(1.湖南鐵路科技職業(yè)技術學院 運輸管理系，湖南 株洲 412000；2.西南交通大學 交通運輸學院，四川 成都 610031)

在新否建滿鐵足路設或計既通有過線能改力造和時列，車需安驗全證運線行路的平要縱求斷，面但是不具備列車牽引試驗的條件，可用列車運行時分計算 (列車牽引計算) 替代，通過仿真獲得比較精確的數(shù)據(jù)。在實踐中，列車力學模型對計算結果的影響，不同的專家看法不一。一些專家認為，單質點列車力學模型具有易于建模和良好的數(shù)學特性，特別是列車自動計算的算法易于實現(xiàn)，并且對區(qū)間運行時分的影響不大。另一些專家認為，單質點列車力學模型不能如實反映列車運行過程中受力的動態(tài)變化，計算結果偏差較大，因此提倡多質點列車力學模型。以下對列車運行模擬中的單質點和多質點列車力學模型給出各自的數(shù)學模型，通過模擬仿真分析不同模型對列車運行的影響。

1 單質點列車力學模型

單質點列車力學模型將整列車視為一個剛性的質點，忽略了列車的長度和車輛之間的相互作用力，當列車跨越變坡點 (曲率變化點) 時，列車的附加阻力發(fā)生突變。如圖1所示，列車進入坡段 AB，自 A 點到坡段末端 B 點列車受到的單位附加阻力均為 iAB。當列車越過變坡點 B 后，列車的單位附加阻力由 iAB突變到 iBC，一直保持到 C 點出坡。簡化的單質點列車力學模型偏離了列車真實的縱向力學特性，不能精確地反映列車在運行過程中力學的動態(tài)變化。但由于在分析計算過程中其計算量小，易于操作和利于圖解等特點，在手工作業(yè)和電算初期采用較為廣泛。

列車在運行過程中除受到牽引力、基本阻力和制動力外還受到坡段附加阻力、隧道附加阻力和曲線附加阻力。3 種附加阻力可折算成單位加算附加阻力：

式中：wj為單位加算附加阻力，N/kN；i 為坡段的坡度，‰；l 為坡段的長度，m；Rm為坡段內第 m 個曲線的半徑，m；n2為坡段內曲線的數(shù)量；lqm為坡段內第 m 個曲線的長度 (未在坡段內的部分長度除外)，m；wsf為坡段內第 f 個隧道的單位附加阻力，N/kN；lsf為坡段內第 f 個隧道的長度 (未在坡段內的部分長度除外)，m；n3為坡段內隧道的數(shù)量。

單質點列車力學模型中作用于列車的單位合力為：

式中：c 為列車的單位合力，N/kN；F 為列車牽引力 (非牽引工況下為 0)，kN；D 為動力制動力 (動力制動不作用時為 0)，kN；b 為緊急制動工況下列車的單位空氣制動力 (空氣制動不作用時為 0)，N/kN；βc為常用制動系數(shù)；w0為列車的單位基本阻力，N/kN；g 為重力加速度，m/s2；Mh為列車的換算質量，t；M 為列車的質量，t；Ge為轉動慣量常數(shù)。

單質點列車力學模型中的列車運動學方程為[2]：

式中：v1為列車的初速度，km/h；v2為列車的末速度，km/h；Δt 為列車由速度 v1運行到 v2的時間，s；Δs 為列車由速度 v1運行到 v2的距離，m。

2 多質點列車力學模型

多質點列車力學模型是將每輛車簡化成一個質點，構成質點鏈，能夠反映列車編組、長度對受力和運行的影響。多質點列車模型仍以解析法為計算基礎，單獨計算車輛間的縱向車鉤力。如圖2 所示，列車的單位加算附加阻力為：

式中：ll為列車的長度，m；lAB為列車在坡段 AB 上的長度，m；i1為坡段 AB 的坡度，‰；i2為坡段 BC的坡度，‰。

公式⑹可視為以lAB為自變量、wj為因變量的函數(shù)，該函數(shù)為一次初等函數(shù)，在整個定義域內連續(xù)。wj在過變坡點時是連續(xù)變化的。計算列車的運行時分時，車輛間的相互作用是列車的內力，對整個列車加速度的影響可忽略不計。為建模需要將列車簡化為質點間無相對運動的質點鏈。列車所受到的各種附加阻力按長度平均分配，即按列車長度計算平均的加算附加阻力。由于計算機運行速度快，采取的計算步長較小時，每個步長可以隨時按列車所覆蓋的坡段、曲線和隧道的長度加權平均計算，即按列車所覆蓋的地段計算列車所在位置的加算附加阻力[2]。此時，單位加算附加阻力為：

式中：ll為列車長度，m；ik為列車所覆蓋的第 k 個坡段的坡度，‰；lk為列車所覆蓋的第 k 個坡段的長度，m；Rm為列車所覆蓋的第 m 個曲線的半徑，m；lqm為列車所覆蓋的第 m 個曲線的長度 (未覆蓋的部分長度除外)，m；wsf為列車所覆蓋的第 f 個隧道的單位附加阻力，N/kN；lsf為列車所覆蓋的第 f 個隧道的長度 (未覆蓋的部分長度除外)，m；n1為列車覆蓋的坡段數(shù)量；n2為列車覆蓋的曲線數(shù)量；n3為列車覆蓋的隧道數(shù)量。

多質點列車力學模型中第 n 輛車的加速度為：

式中：an為第 n 輛車的加速度，m/s2；Gqn為第 n 輛車前車鉤拉力，kN；Fn為第 n 輛車的牽引力 (非牽引工況為 0)，kN；Ghn為第 n 輛車后車鉤拉力，kN；W0n為第 n 輛車的基本阻力，kN；Bn為第 n 輛車的空氣制動力 (空氣制動不作用時為 0)，kN；Dn為第 n 輛車的動力制動力 (動力制動不作用時為 0)，kN；Wjn為第 n 輛車的加算附加阻力，kN；Mhn為第 n 輛車的換算質量，t；Mn為第 n 輛車的實際質量，t；Ge為轉動慣量常數(shù)。

考慮到各輛車的加速度相等：

以每輛車為對象，將公式⑼代入公式⑻中得：

由力的作用是相互的可知：

結合公式 ⑽—公式 ⑿ 得：

式中：F 為整個列車的牽引力，kN；W0為整個列車的基本阻力，kN；B 為整個列車的空氣制動力，kN；D 為整個列車的動力制動力，kN；Wj為列車加算附加阻力，kN。Wj的計算公式為：

由公式 ⒁ 可知，多質點列車力學模型以每一輛車為研究對象，在不考慮列車內部的車輛相對作用時，可將列車視為整體計算列車的合力。由于考慮了列車長度，wj的計算必須采用公式⑺，再結合公式⑵計算單位合力，按照公式⑷、公式⑸計算時間和距離。

3 模型仿真與分析

3.1 仿真條件

列車動力模型仿真選用 SS4型電力機車，牽引滾動軸承重貨車 60 輛，牽引質量 4 000 t，高磷鑄鐵閘瓦，列車的換算制動率為 0.28，列車長 650 m，常用制動列車管減壓量 80 kPa，常用制動系數(shù)為 0.53，列車管定壓為 500 kPa，區(qū)間長度為 6.415 km，以時間為迭代變量，迭代步長 0.01 s。線路的縱斷面數(shù)據(jù)和曲線數(shù)據(jù)如表1 和表2 所示。

表1 線路的縱斷面數(shù)據(jù)

表2 線路曲線數(shù)據(jù)

SS4型電力機車的牽引特性如圖3 所示，其牽引工況下的單位合力曲線如圖4 所示。SS4型電力機車的基本阻力為：

高磷閘瓦的換算摩擦系數(shù)為：

滾動軸承重貨車的基本阻力為：

3.2 列車受力分析

由于隧道附加阻力目前尚無具體的經(jīng)驗公式可循，在仿真中不予考慮。列車在不同地點受到的單位加算附加阻力如圖5 所示。在單質點列車力學模型條件下，單位加算附加阻力曲線是間斷的，在變坡點發(fā)生突變；在多質點列車力學模型條件下，單位加算附加阻力曲線是連續(xù)的，隨列車的運行距離變化平緩。由上述分析可知，單質點列車力學模型不能如實反映列車單位加算附加阻力的變化趨勢。如圖5 中，當列車由坡段 10 進入坡段 11 時，單質點列車力學模型中坡度差的絕對值約為 7.5‰，越過變坡點后，單位加算附加阻力以該值發(fā)生突變；但是，在多質點列車力學模型中考慮列車長度后，列車由坡段 10 進入坡段 11 時，其單位合力不但沒有降低，反而持續(xù)上升。當列車由坡段 14 進入坡段15 時亦然。

3.3 仿真結果分析

單質點和多質點列車力學模型的距離—速度仿真曲線分別反映了 2 種列車力學模型速度隨運行距離的變化，如圖6 所示。圖6 中的速度曲線顯示，多質點列車力學模型條件下，列車的速度變化平緩；單質點列車力學模型條件下，速度在點A,B,C,D,E,F,G處速度波動劇烈，分別由升速轉換為減速，或者由減速轉換為升速，該類速度趨勢的轉換點稱為速度拐點，在速度拐點處列車的合力為零。圖6 中a,b,c,d,e,f,g點為多質點列車力學模型中的速度拐點。單質點列車力學模型中加算附加阻力的突變是導致列車速度劇烈波動的原因；多質點列車力學模型中加算附加阻力的變化是連續(xù)的，加速度變化平穩(wěn)，因此列車速度變化平緩。同時，由于2種不同模型中列車受力的差異，列車速度拐點出現(xiàn)在不同的運行距離上。

在列車起動加速階段和制動停車階段，2 種模型的速度曲線擬合程度較高。這是由于車站附近的線路條件較好，同時列車在起動、停車時速度較低，其自身的牽引力或制動力較大，坡段變化對列車速度的影響有限。而在坡度變化較大的區(qū)段，列車速度較高，牽引工況下列車的牽引力隨速度的升高而降低，惰行工況下基本阻力有所提高；但相對于較大的坡道附加阻力而言，對列車速度產生的影響仍然有限，使2種模型的速度曲線吻合度較低。單質點列車力學模型條件下列車區(qū)間運行時分為 514 s，多質點列車力學模型條件下列車區(qū)間運行時分為 503 s，絕對誤差為 11 s，相對誤差約為 3%。

比較 2 種列車力學模型曲線的速度拐點，在進入較大坡度的上坡段時，單質點列車力學模型的列車速度迅速下降，多質點列車力學模型的列車速度變化緩慢。例如，當列車進入 3 號上坡段時，由圖6 可知，列車速度約為 50 km/h；由圖4 可知，牽引工況下列車單位合力約為 9 N/kN；由圖5 可知，單質點列車力學模型的列車加算附加阻力為 18.32 N/kN，并且與列車運行方向相反，因此，列車速度迅速降低。多質點列車力學模型條件下，列車的坡段附加阻力在一段距離內低于 9 N/kN，列車速度上升，但隨著列車速度的升高加速度逐漸減小為 0，因此，列車速度變換平緩。同理，可以解釋在列車進入坡度較大的下坡段時，單質點列車力學模型中列車速度迅速上升，多質點列車力學模型中列車速度變化緩慢的特點。

4 結論

（1）在計算列車區(qū)間運行時分和能耗時，將整個列車視為研究對象，車輛之間的相互作用是列車的內力，對牽引計算的結果影響程度較小，因此，可將列車視為連續(xù)的質點鏈。

（2）建立的數(shù)學模型反映了單質點與多質點列車力學模型的本質；兩者的外在區(qū)別是是否考慮列車長度，本質區(qū)別是附加阻力在變坡點的變化是否連續(xù)。

（3）多質點列車力學模型較好地考慮了列車長度，附加阻力的變化是連續(xù)的；單質點列車力學模型未考慮列車長度，附加阻力在變坡點突變，不符合列車的實際受力過程。

[1]饒 忠. 列車牽引計算[M]. 北京：中國鐵道出版社，1999.

[2]張中央，孫中央. 列車附加阻力計算中計入列車長度的辨析[J]. 鐵道機車車輛，2000(2)：36-39.

[3]毛保華，何天鍵，袁振洲，等. 通用列車運行模擬軟件系統(tǒng)研究[J]. 鐵道學報，2000，22(1)：1-5.