談職高數(shù)學(xué)概念教學(xué)難點(diǎn)的突破

魯軍兵

（余姚市職成教中心學(xué)校浙江余姚315400）

談職高數(shù)學(xué)概念教學(xué)難點(diǎn)的突破

魯軍兵

（余姚市職成教中心學(xué)校浙江余姚315400）

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中至關(guān)重要的一項(xiàng)內(nèi)容，是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心，正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)好概念是學(xué)好數(shù)學(xué)最重要的一環(huán)。本文從創(chuàng)設(shè)情景、提供范例、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、結(jié)合專業(yè)、加強(qiáng)應(yīng)用等方面，對職高數(shù)學(xué)概念教學(xué)的難點(diǎn)提出了突破的方法。

職高數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；難點(diǎn)；突破

職高數(shù)學(xué)作為重要的基礎(chǔ)理論和重要的應(yīng)用工具學(xué)科，不僅要求學(xué)生努力學(xué)好，而且要讓學(xué)生真正感受到學(xué)好數(shù)學(xué)的意義，更重要的是，在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中要注重與專業(yè)課之間的聯(lián)系，為學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)、培養(yǎng)其實(shí)踐技能打下良好基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)是由概念與命題等內(nèi)容組成的知識(shí)體系。它是一門以抽象思維為主的學(xué)科，而概念又是這種思維的語言。因此，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)中至關(guān)重要的一項(xiàng)內(nèi)容，是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心，正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)好概念是學(xué)好數(shù)學(xué)最重要的一環(huán)。

一些學(xué)生數(shù)學(xué)之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特別是職業(yè)中學(xué)的學(xué)生，數(shù)學(xué)素養(yǎng)差的關(guān)鍵是在對數(shù)學(xué)概念的理解、應(yīng)用及轉(zhuǎn)化等方面。因此，抓好概念教學(xué)是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的帶有根本性意義的一環(huán)。那么，作為職高數(shù)學(xué)教師應(yīng)如何開展數(shù)學(xué)概念的教學(xué)并針對難點(diǎn)進(jìn)行突破呢？以下是筆者在教學(xué)工作中總結(jié)的幾個(gè)途徑。

創(chuàng)設(shè)情景，在探索中理解概念

職高生已具備相當(dāng)多的生活經(jīng)驗(yàn)，對生活中的許多數(shù)學(xué)現(xiàn)象或問題懷有濃厚的興趣，教師要巧妙地運(yùn)用學(xué)生在生活中的感知，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合實(shí)際，設(shè)計(jì)使學(xué)生獨(dú)立探究的情景，激發(fā)學(xué)生積極探究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生興趣，使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)探索中逐步理解概念。

案例：函數(shù)單調(diào)性概念

問題情境引入教師元旦打算出游，因?yàn)橹挥幸惶旒倨冢赃x擇了當(dāng)?shù)氐囊粋€(gè)旅游景點(diǎn)——四明山（展示四明山風(fēng)景圖）。但是擔(dān)心天氣情況（播放中央電視臺(tái)天氣預(yù)報(bào)的音樂），為了預(yù)測元旦四明山當(dāng)天的天氣情況，我們研究2008年這一天的天氣情況，圖1為2008年元旦24小時(shí)內(nèi)氣溫變化曲線圖。問題1：觀察圖1，能得到什么信息？歸納：用函數(shù)的觀點(diǎn)看，其實(shí)這個(gè)例子反映的就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是在變小。從而引入課題：函數(shù)單調(diào)性。

圖1 2008年元旦24小時(shí)內(nèi)氣溫變化曲線圖

歸納探索，形成概念問題2：分別做出函數(shù)y=-x+2,y=x2, y=的圖像，并且觀察自變量變化時(shí)，函數(shù)值的變化規(guī)律（見圖2）。借助圖像，直觀感知，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))，同時(shí)明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)。從圖像直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識(shí)。

圖2 函數(shù)圖像圖

抽象思維，形成概念問題3：如何從解析式的角度說明f (x)=x2在[0,+∞]上為增函數(shù)？如果學(xué)生回答錯(cuò)誤，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量x1，x2。任取x1，x2∈[0,+∞）,且x1＜x2，因?yàn)椋▁1+x2）（x1-x2）＜0，即所以f（x）=x2在[0,+∞）上為增函數(shù)。把對單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性的高度，完成對概念的第二次認(rèn)識(shí)。通過學(xué)生自己分析、討論，從被動(dòng)學(xué)習(xí)變成主動(dòng)參與，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，使學(xué)生加深對教學(xué)過程的感受。結(jié)合“問題”，促使學(xué)生自主探索、合作交流，既培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)造能力，又培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神，從而加深對新概念的理解和記憶。

提供范例，在歸納中突破

概念學(xué)習(xí)的基本方法是：呈現(xiàn)給學(xué)習(xí)者反映概念關(guān)鍵特征的典型例子，或者從兩個(gè)或更多的實(shí)際例子中提煉出事物的共同特征。所以，利用范例能幫助學(xué)生在歸納、抽象、概括中突破難點(diǎn)。

案例：函數(shù)

函數(shù)，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。為了幫助學(xué)生對函數(shù)概念的理解，教學(xué)中可采用以下步驟：

提供范例教師應(yīng)向?qū)W生提供足夠多的且學(xué)生感知過的概念例證，讓學(xué)生觀察與思考。（1）炮彈發(fā)射問題：一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落地面擊中目標(biāo)，炮彈的射高為845m且炮彈距地面的高度h隨時(shí)間變化規(guī)律是：h=130t-5t2。高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系；（2）氣溫變化問題：某一天的氣溫與時(shí)間之間的關(guān)系（提供醒目的溫度曲線）；（3）本班學(xué)生與最近一次數(shù)學(xué)考試成績之間的關(guān)系。

找出共同屬性通過比較各個(gè)刺激模式的屬性，找出它們的共同屬性。如：（1）有兩個(gè)變量x和y；（2）變量x可在某一范圍內(nèi)任意取值；（3）對于該范圍內(nèi)變量x的每個(gè)值，變量y都有唯一確定的值和它對應(yīng)。

形成概念把共同本質(zhì)屬性類推到其他同類事物中去就形成了概念，最后用準(zhǔn)確精煉的數(shù)學(xué)符號(hào)語言予以表達(dá)。

設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，在觀察中突破

職高學(xué)生具有動(dòng)手能力強(qiáng)、思維能力差的特點(diǎn)，針對學(xué)生這一特點(diǎn)，對幾何、向量等領(lǐng)域的抽象概念，可以通過設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的方法，使幾何模型不斷得以改變和修正，建構(gòu)出與概念相異、相近、相同的反例和正例，從而幫助學(xué)生在觀察、思考及總結(jié)中突破難點(diǎn)。

案例：線面垂直判斷定理

在引入“線面垂直的判定定理”的概念時(shí)，教師為幫助學(xué)生掌握概念的本質(zhì)屬性，可設(shè)計(jì)這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)：折紙?jiān)囼?yàn)（如圖3）。請學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，一起來做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）。觀察并思考：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？（3）多媒體演示翻折過程。然后開始?xì)w納直線與平面垂直的判定定理：（1）思考：由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系，即AD⊥CD，AD⊥BD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？（2）歸納出直線與平面垂直的判定定理。

圖3 折紙?jiān)囼?yàn)圖

安排折紙?jiān)囼?yàn)，討論交流，給學(xué)生充分活動(dòng)的時(shí)間與空間，幫助學(xué)生從自己的實(shí)踐中獲取知識(shí)。使學(xué)生更好地參與教學(xué)活動(dòng)，展開思維，體驗(yàn)探索的樂趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。這樣通過實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的定義，學(xué)生印象比較深刻。

通過類比，在順應(yīng)中突破

高中數(shù)學(xué)概念之間有著密切的聯(lián)系，對于那些與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念有關(guān)聯(lián)的概念，可通過新舊知識(shí)的聯(lián)系，尋找新知識(shí)的“生產(chǎn)點(diǎn)”。概念學(xué)習(xí)時(shí)，如果有一個(gè)與之平等的概念作基礎(chǔ)，就要注意進(jìn)行類比，使學(xué)生在順應(yīng)中突破難點(diǎn)。

案例：二面角（見圖4）

引導(dǎo)1：空間圖形的基本組成要素有哪些？

教師展示一鉛絲與一張紙，問學(xué)生它們代表什么？

引導(dǎo)2：教師沿一點(diǎn)把鉛絲折疊成一角，請學(xué)生說出此圖形名稱和它的組成要素，并給出它的定義。

類比引導(dǎo)3：教師在紙中畫線，沿線把紙折成一二面角，問學(xué)生此圖形名稱，它的組成要素，能否給它下一個(gè)類似定義。

圖4 二面角圖例圖

引導(dǎo)4：如何度量二面角的大小？

回顧：如何度量異面直線所成角？直線與平面所成角？

小結(jié)：轉(zhuǎn)化為二條相交直線所成的平面角。

類比：如何在二面角內(nèi)找一個(gè)平面角度量二面角的大?。?/p>

引導(dǎo)5：這個(gè)平面角的點(diǎn)、邊與二面角的棱、面有何聯(lián)系？這樣的平面角唯一嗎？

抽象：如何作二面角的平面角？

通過實(shí)體模型展示，使學(xué)生從直線折疊形成角遷移至平面折疊形成二面角的概念。類比異面直線所成角、線面角，明確方向——找平面角，學(xué)生猜想模型中二面角的平面角，抽象出定義法。通過借助二維平面上角的概念來幫助學(xué)生理解和掌握三維空間的度量的有關(guān)概念。在類比的過程中學(xué)生完全可以通過自己的思維活動(dòng)，主動(dòng)建構(gòu)對相應(yīng)并列概念的理解。學(xué)生通過自己主動(dòng)的思維活動(dòng)得到的結(jié)果，應(yīng)該更容易理解和掌握。

結(jié)合專業(yè)，在實(shí)踐中突破

數(shù)學(xué)問題不光來源于生活，還來源于所學(xué)專業(yè)知識(shí)中，教師應(yīng)利用專業(yè)知識(shí)來設(shè)置教學(xué)情境，開展探究、討論、理解或問題解決等活動(dòng)，在專業(yè)知識(shí)實(shí)踐中突破難點(diǎn)。

教師展示曲柄連桿機(jī)構(gòu)的模型，大屏幕展示橫截面圖示（見圖5）。結(jié)合專業(yè)提出曲柄連桿機(jī)構(gòu)的工作原理及組件AB和BC的名稱。

圖5 曲柄連桿機(jī)構(gòu)的模型圖

問題1：⑴請學(xué)生說一說曲柄連桿在運(yùn)動(dòng)過程中的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)，并作了哪幾類運(yùn)動(dòng)。⑵曲柄連桿機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中，線段AB、BC、CA中，哪些線段的長度在變化。上課時(shí)提出這樣的問題。

圖6 曲柄連桿圖例圖

問題2：如圖6所示，若在三角形ABC中，已知連桿AB長為340mm，曲柄CB長為85mm，曲柄CB與連桿AB互相垂直時(shí)，求AC的長．

問題3：如圖6所示，若在三角形ABC中，已知連桿AB長為340mm，曲柄CB長為85mm，曲柄CB與連桿AB的夾角為80°時(shí)，求AC的長。

問題4：如圖6所示，在ΔABC中，BC、CA、AB所對邊分別為a、b、c，已知b、c及A，求邊a.。該問題是本堂課的核心問題，從實(shí)際問題抽象到數(shù)學(xué)化的一般問題，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中學(xué)生最困難的地方。因?yàn)樵谇懊嬉炎隽讼鄳?yīng)的鋪墊，提出抽象問題也就水到渠成了。通過這個(gè)過程，能讓學(xué)生體會(huì)到如何把實(shí)際問題演變發(fā)展成數(shù)學(xué)問題的思想方法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的廣泛性。

通過這樣一個(gè)情境設(shè)計(jì)，將學(xué)生的發(fā)展要求與專業(yè)實(shí)際結(jié)合起來，將數(shù)學(xué)課與專業(yè)課同步，引起了學(xué)生高度的關(guān)注和興趣，隨后的教學(xué)活動(dòng)就沿著有關(guān)問題的解決生動(dòng)地展開，學(xué)生始終懷著極大的興趣主動(dòng)地合作、討論、探究，將枯燥無味的數(shù)學(xué)課變成一種樂在其中的有趣活動(dòng)，不僅有利于促進(jìn)理解，形成解決實(shí)際問題的能力，而且還可以激發(fā)聯(lián)想，生成創(chuàng)意，提高職高生的專業(yè)技術(shù)能力。

加強(qiáng)應(yīng)用，在強(qiáng)化中突破

概念學(xué)習(xí)中要加強(qiáng)應(yīng)用，幫助學(xué)生在知識(shí)深化中突破難點(diǎn)。因?yàn)殡m然在呈現(xiàn)概念的實(shí)例和非實(shí)例之后，我們根據(jù)關(guān)鍵屬性給概念下了定義，但是呈現(xiàn)定義并不能保證學(xué)生就能學(xué)會(huì)這一概念。所以，在呈現(xiàn)定義之后，還應(yīng)該注意概念的應(yīng)用，以防止學(xué)生把概念的外延擴(kuò)大（把非實(shí)例也歸為實(shí)例）或把概念的外延縮?。ò褜?shí)例也歸為非實(shí)例）。

案例：相等向量

揭示相等向量的概念以后，可以設(shè)計(jì)一些應(yīng)用，以幫助學(xué)生深刻掌握。

（1）判斷題

（2）解答題

概念教學(xué)中加強(qiáng)應(yīng)用的原因還在于：實(shí)踐中運(yùn)用概念的過程，實(shí)質(zhì)上是概念具體化的過程，而概念的具體化有助于學(xué)生對概念的深刻理解和牢固掌握。

總之，能否把數(shù)學(xué)概念講好，直接影響數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。只有把概念形成的教學(xué)與定理、定律、法則的教學(xué)有機(jī)地聯(lián)系起來，才能使學(xué)生比較全面深刻地理解概念，提高掌握概念的水平和分析問題、解決問題的能力，才能把數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量提高到一個(gè)新的水平。我們要高度重視概念的教學(xué)，只要我們針對職高生的特點(diǎn)認(rèn)真?zhèn)湔n，深入鉆研教材、教法，一定可以將每一節(jié)課上得生動(dòng)精彩，取得良好的教學(xué)效果。

[1]陳慧文.談?wù)勗鯓由虾酶拍钫n[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2001，（9）.

[2]李善良.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)研究綜述[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001，（3）.

[3]曾國光.數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的教學(xué)策略研究[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2005，（3）.

G712

A

1672-5727（2010）09-0098-03

魯軍兵（1979—），男，浙江余姚人，余姚市職成教中心學(xué)校教師，中學(xué)二級(jí)教師，研究方向?yàn)槁毟邤?shù)學(xué)教育。