調(diào)用伽瑪函數(shù)實(shí)現(xiàn)變厚齒強(qiáng)度的概率可靠性調(diào)優(yōu)計(jì)算(二)

張楓念

東風(fēng)汽車(chē)傳動(dòng)軸有限公司

(3)變厚齒齒根抗彎曲疲勞強(qiáng)度可靠度

當(dāng)應(yīng)力和強(qiáng)度都服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí),按下式計(jì)算總變異系數(shù)Cn=(Cσ2F+C2σFp)1/2;為國(guó)標(biāo) 法求得齒根彎曲強(qiáng)度的計(jì)算安全系數(shù)SFp=σFp/σF;可靠度系數(shù)可靠度系數(shù)可靠度系數(shù)ur=lnSFp/Cn;本例ur=4.495587;φ z=3.561E-06由可靠度系數(shù) ur=4.206371查表4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表得rt=1-φ z由正態(tài)分布數(shù)值求得本例可靠度可靠度 rt=0.9999964。

4 調(diào)用伽瑪函數(shù)實(shí)現(xiàn)變厚齒強(qiáng)度的概率可靠性調(diào)優(yōu)計(jì)算

從變厚齒齒根彎曲強(qiáng)度校核計(jì)算與可靠性計(jì)算中知變厚齒影響其齒形系數(shù)、強(qiáng)度、可靠性的最關(guān)鍵的主參數(shù)是偏移距。在相同的具體齒形參數(shù)的情況下,由于偏移距不同,則其齒形系數(shù)、強(qiáng)度、可靠性都將不同。因此我們可根據(jù)這一特點(diǎn)通過(guò)改變偏移距的大小隨之計(jì)算出不同的齒形系數(shù)、強(qiáng)度、可靠性以滿足調(diào)優(yōu)計(jì)算的需要。正因?yàn)樵谄迷O(shè)計(jì)的變厚齒強(qiáng)度計(jì)算中,可以只用變動(dòng)一個(gè)參數(shù),即偏置距的變動(dòng)就能改變強(qiáng)度校核的安全系數(shù)和概率可靠性設(shè)計(jì)中的可靠度。所以用它來(lái)說(shuō)明調(diào)用伽瑪函數(shù)實(shí)現(xiàn)變厚齒強(qiáng)度的概率可靠性調(diào)優(yōu)計(jì)算,就成為最恰當(dāng)?shù)睦印?/p>

調(diào)優(yōu)計(jì)算可由編制程序來(lái)實(shí)現(xiàn),為了使可靠性的調(diào)優(yōu)計(jì)算能實(shí)現(xiàn)無(wú)級(jí)的自動(dòng)調(diào)優(yōu)計(jì)算,在程序中必須具有不用查表,就能確定可靠度。

(1)調(diào)用伽瑪函數(shù)直接計(jì)算可靠度

采取調(diào)用一系列函數(shù)算法計(jì)算可靠度R。因?yàn)橛?jì)算隨機(jī)變量x的正態(tài)分布函數(shù)P(a,σ,x)值。正態(tài)分布函數(shù)的定義為;

其中a為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(平均值)σ＞0,σ2為隨機(jī)變量的方差。

正態(tài)分布函數(shù)可以用誤差函數(shù)來(lái)計(jì)算,即

該函數(shù)返回一個(gè)實(shí)型函數(shù)值P(a,σ,x).

該函數(shù)要調(diào)用誤差函數(shù),誤差函數(shù)又要調(diào)用不完全伽瑪函數(shù)。a—實(shí)型變量。數(shù)學(xué)期望值,正態(tài)分布隨機(jī)量均值;d—實(shí)型變量。d2為方差值d＞0.正態(tài)分布隨機(jī)量標(biāo)準(zhǔn)差;x—為—實(shí)型變量。隨機(jī)變量值,可靠性系數(shù)。

誤差函數(shù)又稱拉普拉斯函數(shù)誤差函數(shù)erf(x)具有下列極限值及對(duì)稱性：

當(dāng)x≥0時(shí),可以用不完全伽瑪函數(shù)計(jì)算誤差函數(shù),即

利用誤差函數(shù)可以計(jì)算余誤差函數(shù)

也可以計(jì)算正態(tài)概率積分

該函數(shù)返回一個(gè)實(shí)型的誤差函數(shù)值。

該本函數(shù)要調(diào)用不完全伽瑪函數(shù),

不完全伽瑪函數(shù)定義為

其中

對(duì)于不完全伽瑪函數(shù)有

不完全伽瑪函數(shù)也可表示為

該函數(shù)返回一個(gè)實(shí)型的不完全伽瑪函數(shù)值。

該函數(shù)要調(diào)用計(jì)算伽瑪函數(shù)值的函數(shù),采取調(diào)用一系列函數(shù)算法計(jì)算可靠度R的最大好處是使程序成為一個(gè)完整的整體,不像查表法,程序必須由于人機(jī)對(duì)話而斷開(kāi)。程序成為一個(gè)完整的整體它就能使參數(shù)在程序中實(shí)現(xiàn)自動(dòng)調(diào)優(yōu)。

(2)調(diào)優(yōu)實(shí)例：

某變厚齒齒扇軸：模數(shù)m=6.5;齒數(shù)z=11;齒寬bsl=34;切削角δ=7.5;壓力角α 1=27齒扇齒頂高h(yuǎn)ao1=5.2;齒扇齒根高h(yuǎn) fo1=6.5;齒條齒頂高h(yuǎn)ao2=5.4;偏心距ee=1;齒條齒根高h(yuǎn) fo2=6.44;刀尖圓角半徑ρ fp=0.4;負(fù)荷mf=1700000N。表3為強(qiáng)度校核及概率可靠性調(diào)優(yōu)計(jì)算不同偏移距的不同結(jié)果。由表3知偏移距bom=10為最優(yōu)。

表3 強(qiáng)度校核及可靠性調(diào)優(yōu)計(jì)算不同偏移距的不同結(jié)果Table 3 Strength check and optimize the Velibility of the Calculation different result of different offset

(續(xù)表 3)

5 借傳統(tǒng)的安全系數(shù)的經(jīng)驗(yàn),找所取變異系數(shù)的不足部分作出修正,實(shí)現(xiàn)在可靠性設(shè)計(jì)概念下的安全系數(shù)計(jì)算

(1)把傳統(tǒng)的安全系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)提出來(lái)

我們應(yīng)將傳統(tǒng)的安全系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)充分應(yīng)用到可靠性設(shè)計(jì)中去,按上述第二節(jié)的計(jì)算方法對(duì)部分國(guó)產(chǎn)循環(huán)球轉(zhuǎn)向器的變厚齒扇進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算結(jié)果如表4。

表4 部分國(guó)產(chǎn)循環(huán)球轉(zhuǎn)向器彎曲強(qiáng)度計(jì)算Table 4 Part home recirculating ball type steering bending strength calcutation

以上表4中的產(chǎn)品排序是以設(shè)計(jì)年代排的,可以看出越是離現(xiàn)在越久遠(yuǎn),在設(shè)計(jì)上設(shè)定的安全系數(shù)越大,越靠近現(xiàn)在的安全系數(shù)越小。EQ1060F是算設(shè)計(jì)年份較近的產(chǎn)品。由于生產(chǎn)和使用中積累了大量經(jīng)驗(yàn),設(shè)計(jì)和制造都有了長(zhǎng)足的進(jìn)步,所以已經(jīng)逐步擺脫早先那種偏向保守的設(shè)計(jì)思路。表4中的所有產(chǎn)品都是采用以上相同的計(jì)算方法,計(jì)算出的變厚齒齒根彎強(qiáng)度的安全系數(shù)。

EQ1060F的安全系數(shù)SF=1.869823,長(zhǎng)期使用實(shí)踐證明安全可靠。所以本例將計(jì)算的安全系數(shù)提高到1.9927＜SF＜1.99287,應(yīng)該說(shuō)是很有富裕了。因此這樣的安全系數(shù)來(lái)作為設(shè)計(jì)的基本要求。又因?yàn)檫@是在經(jīng)典意義下的安全系數(shù)。所以我們?cè)俜催^(guò)來(lái)站在可靠性設(shè)計(jì)概念下的安全系數(shù)的計(jì)算方法上來(lái)對(duì)在可靠度R=0.9999965時(shí),依據(jù)以上的安全系數(shù)為基本要求,尋找我們?cè)谠谶x取變異系數(shù)所存有不盡合理的部分,對(duì)其作出修正。

(2)可靠性設(shè)計(jì)概念下的安全系數(shù)計(jì)算

設(shè)強(qiáng)度x與應(yīng)力y均為正態(tài)隨機(jī)變量,Cx、Cy,分別為 x及y的變異系數(shù)。應(yīng)用干涉模型得到的聯(lián)結(jié)方程,可以導(dǎo)出安全系數(shù)與可靠度的關(guān)系式。

由聯(lián)結(jié)方程

可得

等式(1)兩邊除 μy由n=μx/μy,得

于是

將上式兩邊平方、整理可得n的二次方程

用二次方程求根的公式,解得

其中,n稱為可靠性設(shè)計(jì)的平均安全系數(shù)。若已知n及變異系數(shù)Cx、Cy就可以由上式直接求得可靠度系數(shù)

查正態(tài)分布表,即可得可靠度R,式(2)反映了傳統(tǒng)的平均安全系數(shù)與可靠度R及應(yīng)力、強(qiáng)度的變異系數(shù)Cx,Cy的關(guān)系,從而使安全系數(shù)具有新的含義。可靠度R與uR的常用關(guān)系見(jiàn)表5,從式(3)和表5中R與uR的關(guān)系可看出,當(dāng)n=1時(shí),uR=0,則R=0.5。也就是說(shuō)從常規(guī)設(shè)計(jì)來(lái)看,該零件具有安全系數(shù)n,而就可靠性設(shè)計(jì)而言,它具有可靠度R。不能將n理解為可靠度R的安全系數(shù)。相同安全系數(shù),不同變異系數(shù)時(shí)的可靠度計(jì)算例子見(jiàn)表6。計(jì)算結(jié)果表明,隨著變異系數(shù)Cx,Cy的增大,可靠度R降低。對(duì)于一般構(gòu)件,n=1.5是最小的安全系數(shù),而Cy=0.3及Cx=0.2是較差的工況,因此大致可以估計(jì)常規(guī)設(shè)計(jì)法具有R≥0.88

表5 R與uR的常用關(guān)系Table 5 Relationship of R and uR

若強(qiáng)度均值μx與應(yīng)力均值μy之比的安全系數(shù)。

應(yīng)用式(4)還可以得到任一種形式的安全系數(shù)表達(dá)式。例如,定義可靠性設(shè)計(jì)的安全系數(shù)nR為強(qiáng)度均值μx與最大應(yīng)力之比。一般,最大應(yīng)力可理解為出現(xiàn)概率大于1%的應(yīng)力值,即從表5選取R=0.99的uR=2.326合成上變異系數(shù),寫(xiě)成最大應(yīng)力值 y=μy+2.326Cyμy=μy(1+2.326Cy)于是設(shè)定的強(qiáng)度均值μx與最大應(yīng)力之比的安全系數(shù)nR

以式(2)的可靠性設(shè)計(jì)的平均安全系數(shù)n代入上式,得

表6 n=1.5不同變異系數(shù)時(shí)的的可靠度RTable 6 Reliability R in n=1.5 different freak factor

同理,可得到出現(xiàn)概率為10%的最小強(qiáng)度與最大應(yīng)力之比的的安全系數(shù),即從表5選取R=0.9的uR=1.282合成上變異系數(shù),為最小強(qiáng)度。再同上寫(xiě)成最大應(yīng)力值,則最小強(qiáng)度與最大應(yīng)力之比的的安全系數(shù)n′R為：

通過(guò)變異系數(shù)的修正,來(lái)求出最大應(yīng)力即概率大于1%的應(yīng)力與強(qiáng)度均值之比的安全系數(shù)nR;最小強(qiáng)度即概率大于10%的強(qiáng)度值與最大應(yīng)力之比的的安全系數(shù)n′R;概率大于5%的應(yīng)力與強(qiáng)度均值之比的安全系數(shù)n095。使三種安全系數(shù) nR=n′R=n095=561.9927＜n56＜1.99287,但各自的變異系數(shù)的修正系數(shù)xz(i)是不同的。變異系數(shù)的修正系數(shù)越接近1說(shuō)明變異系數(shù)選取得越為合理,不完善的成分越少。用同一的可靠度,可有幾種安全系數(shù)的計(jì)算方法,就能尋找變異系數(shù)選取的不完善部分,求出修正系數(shù)。

如本例：已求得可靠度R=.9999965,安全系數(shù)n=1.992741,迭代計(jì)算變異系數(shù)的修正系數(shù)。尋求最大應(yīng)力即概率大于1%的應(yīng)力與強(qiáng)度均值之比的安全系數(shù)1.9927＜nR＜1.99287的變異系數(shù)的修正系數(shù);尋求最小強(qiáng)度即概率大于10%的強(qiáng)度值與最大應(yīng)力之比的安全系數(shù) 1.9927＜n′R＜1.99287的變異系數(shù)的修正系數(shù);尋求概率大于5%的較大應(yīng)力與強(qiáng)度均值之比的安全系數(shù)1.9927＜n095＜1.99287的應(yīng)力變異系數(shù)的修正系數(shù) xz x(i)、強(qiáng)度變異系數(shù)的修正系數(shù) xzy(i)。如表7可靠度R=0.9999965的幾種安全系數(shù)。當(dāng)安全系數(shù)1.9927＜(nR、n′R、n095)＜1.99287 的變異系數(shù)的修正系數(shù)。

通過(guò)以上計(jì)算,可知在概率大于5%的應(yīng)力與強(qiáng)度均值之比的安全系數(shù)n095的計(jì)算中,的應(yīng)力變異系數(shù)的修正系數(shù)xzx(i)=1.2706;和強(qiáng)度變異系數(shù)的修正系數(shù)xzy(i)=1;其變異系數(shù)的改變最小。而另兩種安全系數(shù)nR和n′R,雖然通過(guò)變異系數(shù)的修正也能達(dá)到 R=0.9999965,安全系數(shù) n=1.992741。但另兩種的修正系數(shù)都要大于前者。也就是說(shuō)在本例所選取的變異系數(shù)比較接近適用于安全系數(shù)n095的計(jì)算。因?yàn)楝F(xiàn)在變異系數(shù)資料很缺,一時(shí)也很難完善。因此采用以上修正變異系數(shù)的做法,這完全是一種寄希望于不斷積累經(jīng)驗(yàn)、不斷完善從傳統(tǒng)的強(qiáng)度校核過(guò)渡到概率可靠性設(shè)計(jì)過(guò)程中的一種彌補(bǔ)辦法,使概率可靠性設(shè)計(jì)更好地與傳統(tǒng)的強(qiáng)度校核銜接起來(lái)。

通過(guò)這這三種安全系數(shù)的計(jì)算,可以充分說(shuō)明了在可靠性設(shè)計(jì)概念下的安全系數(shù)必須要有在概率為多少的應(yīng)力與強(qiáng)度為前提,才可言及安全系數(shù)是多少。而且在計(jì)算中變異系數(shù)的選取又至關(guān)重要。另外應(yīng)力變異系數(shù)的修正系數(shù)xzx(i)和強(qiáng)度變異系數(shù)的修正系數(shù) xzy(i)在計(jì)算中影響作用大小也是不相同的。

表7 可靠度R=0.9999965的幾種安全系數(shù)當(dāng)安全系數(shù)1.9927＜(nR、n′R、n095)＜1.99287的變異系數(shù)的修正系數(shù)Table 7 Several safety factor of reliability R=0.999965 During correction factor of the freak factor of the safety factor 1.9927(nR、n′R 、n0.95)＜1.99287

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