斷裂力學中奇異積分方程的數值求解方法

陳夢成

(華東交通大學土木建筑學院,江西南昌330013)

在數學模型上,很多斷裂力學問題的求解大都可歸結為奇異積分方程的求解[1-3],如裂紋的反平面沖擊響應問題和SH波散射問題均可歸結為求第一類Cauchy奇異積分方程[4];而平面沖擊響應和P波散射問題可歸結為求解第二類Cauchy奇異積分方程;此外,在研究某些二維和三維裂紋問題時,還會導出超奇異積分方程[5-10]。

求解奇異積分方程的傳統方法[11-15]是用方程本身的特征算子的相聯算子作為正則化算子,對奇異積分方程進行正則化,消除積分核的奇異性,化為Fredholm積分方程求解。早在上世紀50年代,Muskhelishvili[11]對奇異積分方程的解析解的理論進行了系統的研究。但是,一般情況下,奇異積分方程的解析解很難得到。因而,用數值方法解奇異積分方程受到廣泛關注。

Karpenko[16]較早開始探索奇異積分方程的直接數值解法。Erdogan&Gupta[17-18]系統研究了利用Chebyshev多項式和Jacobi多項式求解第一類和第二類Cauchy型奇異積分方程的數值解法。Krenk[19-20]不僅深入研究Gauss-Chebyshev求積公式,更重要的是將正常積分的Gauss-Jacobi求積公式推廣到奇異積分,并用于求解第二類Cauchy奇異積分方程。Ioakimidis&Theocaris[21]證明了由Gauss-Chebyshev求積公式得到的線性代數方程組與由正則化方法得到的線性代數方程組是一致的。Theocaris&Ioakimidis[22]將Lobatto-Chebyshev求積公式用于奇異積分方程,改善了Gauss-Chebyshev求積公式。Gerasoulis[23]提出了分片連續(xù)函數方法,在局部用低階連續(xù)函數去模擬實際解,直接求解配置點的函數值。Miller和Keer[24]對分片連續(xù)函數法作了改進,并用于求解第二類奇異積分方程。Russel,Thomas和Sun[25]對分片連續(xù)函數法在提高求積效率和加速收斂等細節(jié)方面進一步做了改進。

國內對奇異積分方程的數值解法的研究起步比較晚,但是發(fā)展很快,特別是在數值方法的理論分析方面,我國學者作出了一定的貢獻。路見可[26]在研究了各類Chebyshev求積公式之后,首次指出了奇異積分求積與經典Gauss求積這兩者之間的聯系,提出了具有普遍意義的分離奇點的方法,通過分離奇點將奇異積分的求積問題歸納為相應的經典求積問題。之后,路見可又用基于密度函數變換的方法研究了閉形式下的求積公式。杜金元[27-32]建立了一般情形下的HG(Hunter-Gauss)型求積公式,討論了在一般情況下的閉形式的求積公式即HM(Hunter-Markov)型求積公式。杜金元又將節(jié)點僅僅取在Markov節(jié)點上,提出了另一種類型的求積公式,稱為PEM(Paget-Elliott-Markov)型求積公式。對于封閉曲線上奇異積分方程,王小林[33,34]等采用了樣條逼近解法。

在超奇異積分方程方面,在20世紀早期,學者Hadamard[39]首次提出了“有限部積分”(finite-part integerals)的概念用來求解超奇異積分。超奇異積分方程相對于Cauchy奇異積分方程更難以求得其解析解,因此,學者們把目光放在其數值求解上。在上世紀70年代,Kutt[40]建立了超奇異積分方程的求積公式進行數值計算。超奇異積分方程方法是由希臘學者Ioakimidis[5]首先引入斷裂力學的。他使用了有限部積分的概念的方法,證明了受法向載荷作用的二維與三維I型裂紋可以推導出奇異積分方程(組),并指出這些方程組可以用Kutt建立的超奇異積分方程的求積公式進行數值計算。Erdogan[41]將超奇異積分方程方法用于平面和反平面斷裂力學問題,并系統地為其建立了數值解法。超奇異積分方程方法可以獲得主值型奇異積分方程方法無法獲得的高精度結果。Takauda等用超奇異積分方程方法數值求解了I型圓形裂紋問題,得到的數值結果比Bui用主值型奇異積分方程方法求得的結果要好的多。國內學者湯任基和秦太驗等[7-10,42]利用邊界積分方程方法,統一導出了三維斷裂力學中柯西主值型和超奇異型的兩類奇異積分方程,并使用有限部積分與邊界元結合的方法進行數值求解。樂金朝[44],杜云海等[45-47]將雙材料平面裂紋問題求解歸結為超奇異積分方程求解,并采用多項式開法進行求解。陳夢成等[48-53]使用超奇異積分方程方法對兩相材料三維界面斷裂力學問題、橫觀各向同性材料三維斷裂力學問題和壓電材料三維斷裂力學問題進行了求解,并系統地為其建立了多項式和有限元解法。秦太驗等[54-56]將超奇異積分方程方法應用于磁電熱彈斷裂力學問題。

本文對現有的數值方法進行分類總結,對各類方法的優(yōu)缺點、數值精度、計算效率和適用范圍進行討論,并通過實際算例的數值結果作對比分析。最后,對奇異積分方程數值求解的未來研究方向作了討論。

1 奇異積分方程基本理論

Muskhelishvili[11]對奇異積分方程的基本理論進行了系統研究,為奇異積分方程的解析求解和數值求解奠定了基礎。

設L是一分段光滑曲線(開口或閉口),φ(x)在L上滿足H?der條件?？紤]下列積分

可以分為以下幾種情況:

①當n≤0時,令κ=-n,(1)式可以整理得到

這個積分可以利用傳統的數值積分進行計算。

②當0＜n＜1時,這個積分為弱奇異積分。一般來說,弱奇異積分是收斂的。通過對變量進行代換,就可消除積分核的奇異性。例如:對于下面這個積分,令 x=y2,則有

這個積分為奇異積分。一般地,Cauchy奇異積分是發(fā)散的,但當 φ(x)在L上滿足H?der條件時,這個積分在主值意義下是存在的。即設 x為L上的一個內點,以x為中心,作充分小半徑ε的圓周,分別在x的兩邊交L 于x′,x″兩點。

若上式極限存在,則記為

以后遇到上面形式的積分時,恒理解為Cauchy主值積分,不再一一聲明。

④當n＞1時,(1)式為

這個積分為高階奇異積分。高階奇異積分通常是發(fā)散的,即使在柯西主值意義下也是發(fā)散的。因此定義“有限部積分”(finite-part integrals)作為高階奇異積分的積分值。有限部積分是在計算高階奇異積分時,舍棄積分發(fā)散的部分,保留積分收斂的部分。對于非奇異積分和弱奇異積分方程的數值求解有很多常義積分方法可以利用,本文僅闡述已有的一些Cauchy奇異積分與超奇異積分的數值求解方法。

2 Cauchy奇異積分方程的數值解法

2.1 解的一般形式

Cauchy奇異積分方程的一般形式為[35]

其中:φ(x),f(x),k(x,t)在(-1,1)內滿足H?der條件;a,b為實常數或復常數。

當a=0時,稱(6)式為第一類Cauchy奇異積分方程;當a≠0時,稱(6)式為第二類Cauchy奇異積分方程。根據Plemelj公式

其中:Φ+(x),Φ-(x)是解析函數。

在開口或閉口邊界L的左右邊值,可將(6)式化成如下非齊次Riemann-Hilbert問題

求解(9)式時,應先求解對應的齊次Riemann-Hilbert問題

(10)式可以進一步化成跳躍問題

令

則上述問題的特解為

定義奇異積分方程(6)式的基本解為

其中:N,M由函數φ(x)在端點的性質決定。定義κ=-(N+M),則κ的取值與端點的性質的關系為

①當κ=1時,函數φ(x)在兩個端點均無界,但有可積的奇異性,為保證解的唯一性,φ(x)應滿足附加條件:

為保證函數φ(x)在端點存在可積奇異性,要求-1＜Re(α)＜1,-1＜Re(β)＜1。從而,奇異積分方程的一般解可以寫成

其中:g(x)為區(qū)間(-1,1)內的有界連續(xù)函數。

2.2 Jacobi多項式展開法

Erdogan[17]提出了利用Jacobi多項式級數展開待求的未知函數的方法。其實質是用一組正交多項式之和表示的連續(xù)函數作為最終解。

將連續(xù)函數按Jacobi多項式級數展開,則奇異積分方程的解可以寫為

根據精度的需要,一般取級數的前N項和作為無窮級數的和。其中cj為展開級數。

將(17)式代入(6)式,利用公式[35],得到

且以上積分均為常義積分,可以利用Gauss求積公式計算出其數值積分值。

①當κ=1時,方程組(18)有N+1個方程,N+2個未知數,故需要補充1個方程,由平衡條件

其它cj(j=0,1,…,N)可以由方程(18)確定。

②當κ=0時,方程組(18)有N+1個未知數,故其有唯一解。

③當κ=-1時,令c-1=0,此時方程組(18)有N+1個方程,N+1個未知數,可解性條件已經包含在方程組中。考慮到 P0(-α,-β)(x)=1,從而 κ=0對應的方程就是可解性條件。

Jacobi多項式展開法就是將待求的未知函數按Jacobi多項式級數形式展開,并利用Jacobi多項式的正交性質,將Cauchy奇異積分方程轉化成關于展開系數cn為未知數的代數方程組。通過求解線性代數方程組,確定cn后,代入到(17)式,可以得到未知函數有限項的近似結果。這種方法對于第一類與第二類Cauchy奇異積分方程均適用。對于第一類奇異積分方程組,只需要在上述推導過程中令 α=0即可。

2.3 Chebyshev多項式展開法

Erdogan和Gupta[18]系統地闡述了利用第一類與第二類Chebyshev多項式求解第一類Cauchy型奇異積分方程的數值方法。根據不同的端點類型,分別用不同的Chebyshev多項式進行展開。記Tj(t)為階數為j的第一類Chebyshev多項式,Uj(t)為階數為j的第二類Chebyshev多項式。

①當 κ=1時,令

則(21)式可以化簡得到

得到關于 g(tκ)的線性方程組。

補充平衡條件

②當 κ=0時,令

則(21)式可以化簡為

或

則(21)式可以化簡為

可見,κ=0的兩種求積公式是完全不同的,但它們的離散方程均為已封閉定解。

③當 κ=-1時,令j=1

則(21)式可以化簡得到

其中

方程組(29)有N個未知數,N+1個方程。顯然,需要舍去一個方程。一般舍去這個方程。表示取整。

這樣即可求出第一類Cauchy奇異積分方程的解函數在積分區(qū)間上若干積分點的函數值。積分點以外的函數值,可以通過插值法實現。所以,求積公式的階次越高,產生的積分點就越多,則所得的數值結果就越逼近真實解。

2.4 Gauss積分公式法

Krent[19-20]不僅深入研究了Gauss-Chebyshev求積公式用于求解第一類奇異積分方程,而且將常義積

分的Gauss-Jacobi求積公式推廣到奇異積分,用于求解第二類奇異積分方程。

常義Gauss-Jacobi求積公式為

將Gauss-Jacobi求積公式推廣到奇異積分得到

利用(30)式代入(21)式得到關于積分點函數值g(tk)的代數方程組才能構成唯一解。

②當κ=0時,方程組(32)有N個方程,N個未知數,正好構成唯一解。

③當κ=-1時,方程組(32)有N+1個方程,N個未知數。顯然,需要舍去一個多余方程,才能構成唯一解。

Gauss求積公式將常義積分的Gauss-Chebyshev求積公式和Gauss-Jacobi求積公式推廣到奇異積分,導致出現兩組點,一組為配置點。代數方程組的未知量是積分點上的函數值。不同于多項式展開法,求積公式法不含任何積分運算,計算工作量相對于多項式法小的多,而且推廣到奇異積分的Gauss型求積公式具有2N階的數值精度。

Gauss求積公式法和Chebyshev多項式展開法有一定的相似性,當時,兩種方法相同。可以說,Gauss求積公式法是Chebyshev多項式展開法的一種推廣。但是,這兩種方法都存在一個缺點,就是在求兩個端點附近函數值的時候,需要通過插值法來計算,而這些函數值往往在端點處變化十分劇烈,因此,通過插值法計算端點的值,誤差也會比較大。Gauss求積公式法在計算不同次Jacobi多項式零點時,就已經引入了不小的誤差。

2.5 Lobatto-Chebyshev求積公式

Ioakimidis和Theocaris進一步將Lobatto-Chebyshev求積公式用于奇異積分,從而將積分端點納入積分配置點,改善了Gauss-Chebyshev求積公式不能直接計算端點函數值的缺點[22]。

對于第一類奇異積分方程,令

將(39)式代入(21)式得到

其中

上式中方程個數為N-1,未知數g(tκ)的個數為N,要得到唯一解,應補充附加條件:

Gauss求積公式的積分點不包含端點,因而,當要求計算端點函數值時,往往需要向外插值,引入很大的誤差。Lobatto-Chebyshev求積公式的積分點包含有端點,因而,在計算端點函數值時,不需要外插,避免了誤差的引入。端點函數值因與裂紋尖端應力強度因子的計算有關,往往需要精確計算。因此,在這方面,Lobatto-Chebyshev求積公式法優(yōu)于Gauss求積公式法。但Lobatto-Chebyshev求積公式應用于奇異積分,精度是2N-2階,比Gauss求積公式的精度低,而且這種方法只適用于第一類奇異積分方程。

2.6 分片連續(xù)函數法

Gerasoulis[23]提出分片連續(xù)函數法,完全不同于以前的多項式展開方法和求積公式法,而是從局部出發(fā)用分片低階連續(xù)函數去模擬實際解,直接求解配置點的函數值。該方法的原理是將區(qū)間(-1,1)化成N個子區(qū)間,在子區(qū)間上用低階連續(xù)函數來逼近真實解。同樣,在分片函數法中也有一組積分點,一組配置點,它們都是可自由確定的。積分點和配置點設置的靈活性使這一方法在某些具體問題中具有其他方法不可替代的優(yōu)勢。例如,當f(x)在(-1,1)內局部劇烈變化時,可以通過在相應f(x)劇烈變化的區(qū)域設置密集的積分點和配置點,來實現局部網格細化,既提高數值逼近精度,又不過分增加計算工作量。分片連續(xù)函數法包含大量的積分運算,計算工作量比求積公式法要大,這是換取積分點和配置點可以靈活設置而付出的代價[35].

2.7 數值算例

(1)算例1

表1是用Jacobi多項式展開法、Lobatto-Chebyshev求積公式法、Gauss-Jacobi積分公式法和分片連續(xù)函數法分別計算所得到的數值結果。

表1 四種數值解法g(x)結果比較

評價:這四種方法,對于簡單的Cauchy奇異積分方程都是適用的,尤其是Jacobi多項式展開法得到的結果是解析的,并不需要進行插值計算(-1,1)區(qū)間內其他點的函數值,精確度很高;其它三種方法都是通過插值計算得到這些點的函數值,也很接近精確值。若需要計算其他點的函數值,只要以這些點為基點進行插值即可。Gauss積分公式法的端點的函數值式通過插值得到的。

(2)算例2[19]

此題為第二類Cauchy奇異積分方程。因此,不能用Lobatto-Chbyshev求積公式法。

用Jacobi函數展開法。令N=4,得到

用Jacobi多項式展開法和分片連續(xù)函數法進行計算,所得數值結果見表2。

表2 兩種數值解法g(x)結果比較

評價:這兩種方法對于第二類Cauchy奇異積分方程都是適用的,尤其是Jacobi多項式展開法得到的結果是解析的,并不需要進行插值計算(-1,1)區(qū)間內其它的點的函數值,精確度很高;分片連續(xù)函數法是通過插值計算得到這些點的函數值,也很接近精確值。若需要計算其他點的函數值,只要以這些點為基點進行插值即可。

3 超奇異積分方程的數值求解

3.1 有限部積分的定義

考慮以下積分[15]

其中:φ(t)在 L上有導數,且 φ′(t)∈H。又設 x為L上的一個內點,則按照柯西主值積分的定義,以 x為中心,作充分小半徑 ε的圓周,分別在 x的兩邊交L于x′,x″兩點。

但是,這個積分一般不存在。我們可以利用分部積分法,得到

其中:I1是Cauchy奇異積分,它在主值意義下存在;I2是與ε無關的常數,它總是存在的;但I3是依賴于ε的,因而是發(fā)散,將結果引起積分發(fā)散的部分I3刪去,定義

這就是超奇積分的“有限積分”定義,對于更高階的超奇異積分,只要重復幾次分部積分法,并且把引起積分發(fā)散的那些項刪去,即可得到高階奇異積分值,設L為一分段光滑弧段ab,n為一正整數,函數φ(t)∈Hn(即φ(n)(t)∈H)于L上,則高階奇異積分的有限部積分定義為

當L為封閉曲線時,上述積分公式右端只剩一項,即

以后遇見上面形式的積分時,恒理解為有限部積分,不再一聲明。

3.2 多項式展開法

考慮如下形式的超奇異積分方程

Erdogan[41]利用多項式展開法建立了超奇異積分方程的數值解法。多項式展開法是將未知函數寫成連續(xù)函數與權函數之積的形式。根據不同的裂紋種類,連續(xù)函數可以展成第二類Chebyshev多項式截斷級數和的形式,或者是冪級數和的形式。這種展開方式是為了更好地開展后續(xù)計算,如計算應力強度因子。

將方程的未知函數 φ(t)寫成如下形式

其中:g(t)在[-1,1]上為有界連續(xù)函數;ω(t)是由問題的物理性質確定,對于裂紋問題,主要由裂紋尖端應力奇異性性質確定。

對于兩端具有奇異性的內部裂紋:

對于只有一端具有奇異性的邊緣裂紋:

其中有界連續(xù)函數g(t)可以近似表示為第二類Chebyshev多項式的截斷級數

由有限積分結果得到[48]

其中

為了確定系數an,應適當選擇配置點xi。一般xi關于原點對稱分布,在區(qū)間端點處,分布密度應適當增加。因此,選擇第二類Chebyshev多項式在(-1,1)上的N+1次的零點

則可以得到以下線性方程組

該線性方程組包含N+1個方程,N+1個未知數,因此方程組(55)有唯一解。在確定待定系數an后,將其代入(52)式和(53)式,則可以計算得到未知函數φ(t)。對于第一類奇異積分方程,線性代數方程組容易出現病態(tài),可考慮讓配置點的個數大于未知展開系數的個數,再利用最小二乘法進行求解。

②對于邊緣裂紋,得到

由于g(t)在[-1,1]上為有界連續(xù)函數,因此可將其近似表示為冪級數的截斷級數

由有限部積分結果[48]

那么,方程可以推導為

其中

同樣,為了確定系數an,可選擇第二類Chebyshev多項式在[-1,1]上的N+1次零點

則可以得到以下線性方程組

該線性方程組包含N+1個方程,N+1個未知數,因此方程組(60)有唯一解。在確定待定系數后,將其代入(56)式和(57)式,則可以計算得到未知函數 φ(t)。

這種方法將超奇異積分方程轉化為線性方程組,根據不同的裂紋形式,將g(t)展開成有限項級數和的形式。位置函數在斷點的值需要進行插值計算,會有一定的誤差,隨著N的增加,精確度也會提高。

3.3 數值算例

算例3

該方程的解析解為 φ(x)=1,用多項式展開法求數值結果見表3,N分別取10,100,1 000。

表3 多項式展開法數值結果φ(t)(N值不同)

評價:超奇異積分方程的數值法的結果與解析解非常接近,在端點處需要插值計算,不能由公式直接得到,故誤差比較大。當N值取得較大時,結果很接近解析解了。

4 結束語

對現有的一些奇異積分方程的數值解法進行了總結,重點是第一類和第二類的Cauchy奇異積分方程與超奇異積分方程的數值解法。這些方法主要思想是將奇異積分方程化成線性代數方程組,再進行求解。但是如果化成線性代數方程組,須采用不同的途徑:有的利用特殊函數的正交性,將未知函數展開成特殊函數的級數形式,如Jacobi多項式展開法,Chebyshev多項式展開法;有的直接利用積分公式,將奇異積分直接用求和表示,如Gauss積分公式法,Lobatto-Chebyshev積分公式法;有的利用低階插值函數去逼近未知函數,如分片連續(xù)函數法。途徑不同,求解的誤差和精度也不同,適用的范圍也不同。一般應根據具體問題的特點,如未知函數在端點處的性質,方程等號右端的載荷項在積分區(qū)間的分布情況等,選擇適宜的數值方法,此外,本文總結的幾種超奇異積分方程的數值解法都涉及到方程基本解(權函數)的選取,權函數的形式一般由問題的物理性質確定。如對兩端均有奇異性的內部裂紋,僅一端具有奇異性的邊緣裂紋,他們對應的權函數是不相同的,一般應根據問題的性質具體問題分析。對于常系數奇異積分方程,權函數的形式也可以根據函數分析理論和奇異積分方程的指標理論由積分方程確定,就目前現狀而言,對于常系數奇異積分方程的數值方法研究也還有待進一步深入。

[1]ERDOGAN F,GUPTA G D&COOK T S.Numerical solutions of singular integral equations,in:mechanics of fracture methodof analysis and solutions of crack problem[M].Leyden:International Publishing,1973:368-425.

[2]章梓茂.周期界面裂紋的彈性波散射問題研究[J].力學季刊,1994,15(1):14-26.

[3]汪越勝,王鐸,馬興瑞,等.奇異積分方程在裂紋體彈性波散射問題中的應用[J].力學進展,1997,27:39-55.

[4]ANGEL Y C.On the reduction of elasto-dynamic crack Problems to singular integral equations[J].International of Journal Engineering Science,1988,26(7):757-764.

[5]IOAKIMIDIS N I.Application of finite-part integrals to the singular integral equations of crack problems in plane and three-dimensional elasticity[J].Acta Mechanica,1982,45(1):31-47.

[6]董春迎,謝志成,姚振漢,等.邊界積分方程中超奇異積分的解法[J].力學進展,1995,25(3):424-429.

[7]湯任基,秦太驗.三維斷裂力學的超奇異積分方程方法[J].力學學報,1993,25(6):665-675.

[8]湯任基,秦太驗.三維有限體中平片裂紋的超奇異積分方程方法——II數值方法[J].上海力學,1997,18(1):30-37.

[9]王愛勤,秦太驗.三維有限體中兩平行裂紋干擾問題的有限部分積分與邊界元法[J].固體力學學報.1998,19(1):1-7.

[10]陳夢成,湯任基.三維裂紋問題的高精度數值解法[J].固體力學學報,2002,23(2):207-211.

[11]穆斯海里什維里.奇異積分方程[M].朱季納,譯.上海:上?？茖W技術出版社,1966.

[12]趙楨.奇異積分方程[M].北京:北京理工大學出版社,1984.

[13]候宗義,李明忠,張萬國.奇異積分方程論及其應用[M].上海:上?？茖W技術出版社,1990.

[14]沈以淡.積分方程[M].北京:北京理工大學出版社,1992.

[15]路見可.解析函數邊值問題[M].武漢:武漢大學出版社,2002.

[16]KARPENKO L N.Approximate solution of a singular integral equation by means of Jacobi Polynomials[J].Journal of Applied Mathematic Mechanism,1966,30(4):668-675.

[17]ERDOGAN F.Approximate solution of systems of singular integral equation[J].SIAM Journal of AppliedMathematics,1972,29(4):525-534.

[18]ERDOGAN F&GUPTA G D.On the numerical solution of singular integral equations[J].Quarterly of Applied Mathematics,1972,29(4):525-534.

[19]KRENK S.On quadrature formulas for singular integral equations of the first and second kind[J].Quarterly of Applied Mathematics,1975,32(3):225-232.

[20]KRENK S.On the use of interpolation polynomial for solutions of singular equations[J].Quarterly of Applied Mathematics,1975,32(3):479-484.

[21]IOAKIMIDIS N I&THEOCARIS P S.A comparison between the direct and classic numerical methods for solution of Cauchy-type singular integral[J].SIAM Journal Analysis,1980,17(1):115-118.

[22]THEOCARIS P S&IOAKIMIDIS N I.Numerical integral methods for solution of singular integral equations[J].Quarterly of Applied Mathematics,1977,35(2):173-183.

[23]GERASOULIS A&SRIVASTAV RP.A methodfor numerical solution of integral equationswith a principle vatue integral[J].International of Journal Engineering Science,1981,19(226):1 293-1 298.

[24]MILLER G R&KEER L M.A numerical technique for the solution of singular equations of the second kind[J].Quarterly of Applied Mathematics,1985,42(4):455-465.

[25]RUSSUL D K,THOMAS N F&SUN CT.The numerical solution of cauchy singular integral equations with applicationto fracture[J].International Journal of Fracture,1994,66(1):139-154.

[26]路見可,杜金元.奇異積分方程的數值解法[J].數學進展,1991,29(3):278-293.

[27]杜金元.奇異積分方程的一些求積公式[J].數學物理學報,1984,4(2):233-242.

[28]杜金元.奇異積分方程的數值解法(I)[J].數學物理學報,1985,5(2):205-223.

[29]杜金元.奇異積分方程的數值解法(II)[J].數學物理學報,1985,5(4):433-443.

[30]杜金元.高階奇異積分的求積公式[J].數學年刊,1985,6A(5):625-636.

[31]杜金元.高階奇異積分的求積公式(II)[J].數學雜志,1986,6(4):439-454.

[32]杜金元.帶Hilbert核的奇異積分方程的數值解法[J].計算數學,1989,2(2):248-266.

[33]王小林.一類奇異積分方程組的樣條間接近似解法[J].數學雜志,1996,17(1):113-116.

[34]王小林.封閉曲線上奇異積分方程的樣條逼近解法[J].數學物理學報,1997,17(3):348-355.

[35]魏培君,章梓茂.求解Cauchy型奇異積分方程的數值解法[J].數值計算與計算機應用,2003,24(1):36-43.

[36]ROOKE D P,SNEDDON I N.The crack energy and stress intensity factor for a cruciform crack deformed by internal pressure[J].International Journal of Engineering Science,1969,7(6):1 079-1 089.

[37]QU JIANMIN.Internal crack Loaded by a time-harmonic plane wave[J].International Journal of Solids Structures,1994,31(3):329-345.

[38]張建勇,李星.各向異性平面含斜裂紋的奇異積分方程方法[J].力學季刊,2004,25(2):248-255.

[39]HADMARD J.Lectures on Cauchy Problem in Linear Partial Differential Equations[M].USA:Yale Universtiy Press,1923.

[40]KUTT H R.The numerical evaluation of principal value integrals by finite-part integration[J].NumericalMathematics,1975,24(2):205-210.

[41]KAYA A C&ERDOGAN F.On the solutionof integral equationswith strongly singular kernel[J].Quarterly of Applied Mathematics,1987,45(1):105-122.

[42]湯任基.斷裂力學中的兩類奇異積分方程[J].上海交通大學學報,1990,24(5):36-46.

[43]CHAN YOUNSHA,FANNJIANG A C&PAULINO G H.Integral equationswith hypersingular kernels theory and applications to fracture mechanics[J].International Journal of Engineering Science,2003,42(4):683-720.

[44]樂金朝,湯任基.雙材料中平片裂紋問題的超奇異積分方程解法[J].應用力學學報,1999,16(4):1-6.

[45]杜云海,徐建國,溫玲君,等.雙材料平行于界面裂紋問題的超奇異積分方程法[J].機械強度,2003,25(2):174-177.

[46]杜云海,樂金朝.雙材料平面裂紋問題的超奇異積分方程解法[J].機械強度,2004,26(3):236-331.

[47]樂金朝,杜云海.雙材料平面多裂紋問題的超奇異積分方程解法[J].巖石力學與工程學報,2004,23(22):3 834-3 839.

[48]陳夢成.三維斷裂力學問題求解—超奇異積分方程方法[M].成都:西南交通大學出版社,2007

[49]CHENMENGCHENG,NODA NAOAKI&TANG RENJI.Application of finite-part integral to planar interfacialfracture problemsin3D bimaterials[J].ASME Journal of Applied Mechanics,1999,66(4):885-890.

[50]CHEN MENGCHENG.Application of finite-part integrals to three-dimensional fracture problems for piezoelectric media,Part II:Numerical analysis[J].International Journal of Fracture,2003,121(1):149-161.

[51]陳夢成,張安哥.橫觀各向同性的三維斷裂力學問題[J].力學學報,2006,38:612-617

[52]陳夢成,張安哥,野田尚昭.壓電材料中三維 I型斷裂力學分析[J].力學學報,2005,37(1):15-23

[53]CHEN MENGCHENG.Application of finite-part integrals to three-dimensional fracture problems for piezoelectric media,Part I:hypersingular integral equation and theoretical analysis[J].International Journal of Fracture,2003,121(1):133-148

[54]ZHU BOJING,QIN TAIYAN.3D modeling of crack growth in electro-magneto-thermo-elastic coupled viscoplastic multiphase composites[J].Applied Mathematical Modelling,2009,33(2):1 014-1 041

[55]XU C H,QIN T Y,NODA N A.Numerical solutions of singular integral equationsfor planar rectangular interfacial crack in 3D biomaterial[J].Applied Mathematics and Mechanics,2007,28(6):751-757

[56]朱伯靖,秦太驗.磁電熱彈耦合材料三維多裂紋問題的超奇異積分法[J].力學學報,2008,40(1):46-58.