R/S分析在水庫流域降水變化趨勢預測中的應用

陳崇德，唐東明

（湖北省漳河工程管理局，湖北 荊門448156）

1 概述

漳河水庫是以灌溉為主，兼有防洪、城市供水、發(fā)電、水產(chǎn)養(yǎng)殖、旅游、航運、生態(tài)環(huán)境保護等多目標運用的大型水利工程，總庫容21.19億m3，其中興利庫容9.24億m3，調洪庫容4.24億m3。從運用實踐看，水庫多年平均缺水量為3.01億m3，若遇干旱或特大干旱年，則需水缺口更大。因此，水資源數(shù)量明顯不足是該水庫的一大問題。由于R/S分析對時間序列具有預測功能，故根據(jù)水庫來水變化的歷史實測資料，利用R/S分析的原理和方法，對未來水庫水資源的豐枯變化趨勢進行分析，對指導水庫的調度運用有較大的作用。

2 計算方法

R/S分析法（Rescaled Range Analysis，重新標度極差分析法）是由英國學者赫斯特（H.E.Hurst）在總結尼羅河的多年水文觀測資料時，于1965年提出的一種處理時間序列的方法，它在分形理論中有著重要作用［1］。R/S分析法計算簡單，其基本原理與方法如下：

2.1 計算均值

設時間序列{X（t）}，t=1，2，…，n，對于任意正整數(shù)τ≥1，定義均值序列則：

2.2 計算累積離差

2.3 計算極差序列

2.4 計算標準差序列

2.5 計算比值

式中 α為常數(shù)；H為Hurst指數(shù)。

由式（5）得：

根據(jù)時間序列{X（t）}，利用最小二乘法，可得式（6）的直線回歸方程，則直線的斜率即為H指數(shù)。

水庫年來水量的豐枯變化在時間軸上表現(xiàn)為不連續(xù)點分布，是一種不規(guī)則的Cantor集合，即來水量具有時間分形結構。為了對水庫來水變化趨勢進行預測分析，采用分布式布朗（Fractional Brownian motion）模型。設有一“粒子”在X軸上隨機游動，它每一時間間隔τ向左或向右移動的步長為X，那么X的分布函數(shù)密度為:

式中 G為擴散系數(shù)。

又設{X1，X2，…，Xn}為步長序列，是一個獨立同分布的時間序列，經(jīng)過n步行走后，“粒子”在X軸上的“位置”為:

式（8）為布朗函數(shù)，經(jīng)過簡化計算得到相關函數(shù)γ（t）：

由式（9）可知，當H=1/2時，γ（t）=0，即為一般的布朗運動；當H≠1/2時，γ（t）≠0，即為分式布朗運動。Mandelbrot將H指數(shù)推廣為0＜H＜1。

為了預測未來的水庫來水趨勢Xn+1，則式（1）可得：

令R（n+1）/S（n+1）=［α（n+1）］H=K，并將式（3）、（4）代入式（10），可解得：

式中 A=（n+1）［（n+1）2-nK2］

最后將X（τ）代回式（7），即可得未來水庫來水量變化趨勢Xn+1。

3 應用實例

湖北省漳河水庫已有1957～2008年52a的實測水庫降水資料，多年平均降水量989.6mm，若將年降水量大于1100mm稱為豐水年，則自1957年以來，共出現(xiàn)過15個豐水年（見表1），若把1956年作為計算零點，那么得到的時間序列為（將1989年以后的資料留作驗證之用）：

表1 漳河水庫降水量大于1100mm的年份及R（τ）/S（τ）計算

經(jīng)過計算，可得到H、α及R（τ）/S（τ）的關系式，從預報效果來看，雖然整個過程都是嚴格的數(shù)學推導過程，但有部分年份計算結果不太理想。究其原因，一是豐水年出現(xiàn)的時間序列并非是真正意義上的布朗運動［3］；二是誤差是客觀存在的，如預測下一個豐水年的K值，是以平均值代替的，且模型容納誤差的能力不夠；三是H指數(shù)的計算是通過雙對數(shù)回歸分析得到的，這個結論的可靠性有多大，其顯著性如何，以及如何修正，目前缺少有效的分析評價方法。但通過對歷史資料的模擬，發(fā)現(xiàn)誤差還是有一定規(guī)律，即隨著資料系列的延長，誤差呈減少的趨勢，且誤差范圍比較穩(wěn)定（見表2）。

表2 誤差統(tǒng)計

將誤差項代入公式（10）：

式中 e為誤差率。

經(jīng)計算，H=0.3155，α=2.3294，相關函數(shù)γ（11）=-0.2257≠0（屬于分式布朗運動），則：

根據(jù)公式（11）、（12）計算，漳河水庫下一個豐水年為γ11=33.43≈33，計算零點還原后，即1956+33=1989年。1989年實際降水量為1332.5mm＞1100mm，故預測正確。將1989年信息加入{X（t）}，得到新的時間序列：

經(jīng)計算，H=0.2968，α=2.3294，相關函數(shù)γ（12）=-0.2455≠0（屬于分式布朗運動），則：

根據(jù)公式（11）、（12）計算，漳河水庫下一個豐水年為X12=39.69≈40，計算零點還原后，即1956+40=1996年。1996年實際降水量為1427.9mm＞1100mm，故預測正確。將1996年信息加入{X（t）}，得到新的時間序列：

經(jīng)計算，H=0.2779，α=3.6647，相關函數(shù)γ（13）=-0.265≠0（屬于分式布朗運動），則：

根據(jù)公式（11）、（12）計算，漳河水庫下一個豐水年為X13=41.9≈42，計算零點還原后，即1956+42=1998年。1998年實際降水量為1114mm＞1100mm，故預測正確。將1998年信息加入{X（t）}，得到新的時間序列：

經(jīng)計算，H=0.2521，α=5.5063，相關函數(shù)γ（14）=-0.2908≠0（屬于分式布朗運動），則：

根據(jù)公式（11）、（12）計算，漳河水庫下一個豐水年為X14=43.99≈44，計算零點還原后，即1956+44=2000年。2000年實際降水量為1186.9mm＞1100mm，故預測正確。將2000年信息加入{X（t）}，得到新的時間序列：

經(jīng)計算，H=0.2281，α=8.8221，相關函數(shù)X（15）=-0.3140≠0（屬于分式布朗運動），則：

根據(jù)公式（11）、（12）計算，漳河水庫下一個豐水年為X15=50.99≈51，計算零點還原后，即1956+51=2007年。2007年實際降水量為1321.4mm＞1100mm，故預測正確。

4 結語

目前，R/S分析方法在水庫年來水趨勢預測中成功應用的例子還不多，有些問題還沒有得到有效解決，但并不影響該方法的有效使用［3］。 大量研究結果表明［4-11］，水文系統(tǒng)是一個復雜的巨系統(tǒng)，水文要素的時空變化具有高度的非線性特點。R/S分析是自仿射分形衍生出來的時間序列分析方法，對于非線性具有統(tǒng)計特性的數(shù)據(jù)系統(tǒng)，采用R/S分析法可以很好地揭示其變化過程的內在規(guī)律性，并可對其分形特征進行定量描述。應該指出的是：盡管應用了分形和R/S分析理論中的概念、方法進行預測，但仍無法減小或消除系統(tǒng)的內在隨機因素而造成的不可預報部分，如觀測資料的誤差（噪聲影響）等，因此進一步探索洪水發(fā)生的規(guī)律，改進模型，提高模型的穩(wěn)定性，對于提高洪水的預見期和預測精度是很有意義的。

［1］馬嵐，魏曉妹.石羊河下游年徑流序列的變異點分析［J］.干旱地區(qū)農(nóng)業(yè)研究.2006，24（2）:174-177.

［2］張利平，王德智，夏軍，等.R/S分析在洪水變化趨勢預測中的應用研究［J］.中國農(nóng)村水利水電，2005（2）:38-40.

［3］鄒新月，許滌龍.M指數(shù)估計方法的有效性檢驗［J］.統(tǒng)計研究，2004（8）:37-39.

［4］江田漢，鄧蓮堂.Hurst指數(shù)估計中存在的若干問題［J］.地理科學，2004，24（2）:177-182.

［5］于延勝，陳興偉.R/S和Mann-Kendall法綜合分析水文時間序列未來的趨勢特征［J］.水資源與工程學報，2008，19（3）:41-44.

［6］樊毅，李靖，仲遠見，等.基于R/S分析法的云南干熱河谷降水變化趨勢分析［J］.水電能源科學，2008，26（2）:24-27.

［7］徐宗學，李占玲，史曉崑.石羊河流域主要氣象要素及徑流變化趨勢分析［J］.資源科學，2007，29（5）:121-127.

［8］凌超.中國股票市場的非線性結構實證研究［D］.武漢：華中科技大學，2006.

［9］李琴.烏魯木齊近50年的氣候變化分析［D］.烏魯木齊：新疆大學，2006.

［10］張曉偉，沈冰，孟彩俠.和田綠洲水文氣象要素分形特征與R/S分析［J］.中國農(nóng)業(yè)氣象，2008，29（1）:12-15.