2種纖維彈塑性梁單元特性

聶利英,郭青偉,李碩嬌

(河海大學(xué)土木與交通學(xué)院,江蘇南京 210098)

鋼筋混凝土是由2種不同的材料——混凝土和鋼筋組合而成的,其性能與這2種材料的性能密切相關(guān),特別是在非線性階段,混凝土和鋼筋本身的各種非線性特征,在這種組合材料中會有一定程度的反映.

對于壓彎構(gòu)件,一般在截面層次建立恢復(fù)力模型.常用的一般空間受力桿件恢復(fù)力模型有3種:屈服面模型[1]、多彈簧模型[2-3]和纖維模型[4-5].纖維模型將梁柱截面沿2個主軸方向劃分成網(wǎng)格(纖維),每一根纖維可以表示混凝土,也可以表示鋼筋.分析時,基于平截面假定和鋼筋、混凝土纖維各自的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系,考慮2個方向彎矩平衡條件和軸力平衡條件,可獲得復(fù)雜的截面雙向滯回曲線.

目前基于纖維模型的鋼筋混凝土彈塑性梁柱單元有2種:一種是沿單元長度積分的纖維彈塑性梁單元,根據(jù)單元長度方向的內(nèi)力分布,可以求得各截面的彎曲剛度,沿單元長度積分可以得到單元剛度,這種單元可以模擬受力過程單元長度方向截面剛度的連續(xù)變化;另一種是可以直接應(yīng)用塑性鉸長度經(jīng)驗公式的單元——帶長度的纖維塑性鉸彈塑性梁單元,其塑性變形集中在一定長度范圍的塑性鉸上,這種單元只在塑性鉸范圍內(nèi)采用.本文首先對這2種單元模型及其本構(gòu)特征進行分析,然后應(yīng)用這2種單元對一橋梁工程進行地震反應(yīng)分析,從靜力和動力2個方面對比了這2種單元的主要非線性特性.

1 2種彈塑性梁單元的對比

1.1 基本假定

2種單元的基本假定有相同之處,也有不同之處.相同之處是,2種單元均基于以下假定:(a)小變形假定;(b)平截面假定;(c)忽略黏結(jié)滑移和剪切滑移影響;(d)扭轉(zhuǎn)為彈性且不與彎矩、軸力耦合.不同之處是:沿單元長度積分的纖維彈塑性梁單元將一個梁單元劃分為若干積分段,假定每段內(nèi),截面形式和截面上各個纖維的本構(gòu)關(guān)系保持一致;帶長度的纖維塑性鉸彈塑性梁單元假定在塑性鉸長度范圍內(nèi),剛度性質(zhì)保持一致.

1.2 本構(gòu)模型

1.2.1 沿單元長度積分的纖維彈塑性梁單元

由圖1可知,沿單元長度積分的纖維彈塑性梁單元的本構(gòu)模型比較簡單.這種單元的特點是沿單元軸向離散成許多段,每一段的特性由中間橫截面(或切片)的特性來代表,而該橫截面又被離散成許多纖維(如用矩形網(wǎng)格劃分),每一根纖維都可直接定義混凝土或鋼筋的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,并且由截面上的力和變形關(guān)系可以得到截面上的剛度矩陣

其中

式中E(x,y,z)為軸向坐標(biāo)為x,截面坐標(biāo)為y,z的鋼筋或混凝土纖維的彈性模量,其大小與纖維受力過程中的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān),可直接通過鋼筋或混凝土的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系曲線獲得.已知梁單元每一個積分段截面的剛度矩陣,即截面繞y,z軸的曲率、軸向應(yīng)變與截面繞y,z軸的彎矩、軸向力之間的關(guān)系,沿單元軸線積分,則可得到單元桿端的力與位移關(guān)系,即單元剛度矩陣.由此可見,此模型可以描述單元內(nèi)部每一個積分段代表截面的曲率變化.

圖1 2種纖維彈塑性梁單元Fig.1 Two fiber elastop lastic beam-column elements

1.2.2 帶長度的纖維塑性鉸彈塑性梁單元

這種單元實際上是一種分布塑性鉸模型,可通過子單元法來建立,如圖1(b)所示.子單元法是建立鋼筋混凝土彈塑性梁單元的常用方法,最早由Giberson[6]提出,后來被廣泛應(yīng)用.Imbsen等[7]于1986年利用子單元法建立了屈服面集中塑性鉸彈塑性梁單元模型,Filippou等[8]于1988年利用子單元法建立了集中塑性鉸模型,后來又建立了分布塑性鉸模型.

子單元法[8-9]認(rèn)為:壓彎構(gòu)件彈塑性變形可以分為彈性變形和塑性變形2個部分,這2種變形可分別用彈性子單元和剛塑性子單元來模擬,單元的柔度為各個子單元柔度的和,如圖1(c)所示.彈性子單元為一般的空間彈性梁單元,僅發(fā)生彈性變形;剛塑性子單元的塑性變形集中在塑性鉸區(qū),塑性鉸之間由剛性桿連接,塑性鉸長度范圍內(nèi)剛度性質(zhì)保持一致.

當(dāng)采用子單元法建立單元模型時,以雙折線本構(gòu)模型為本構(gòu)關(guān)系的子單元分解相對容易實現(xiàn).雙折線本構(gòu)模型考慮了強化階段的彎矩(M)曲率(φf)關(guān)系,可以近似表達截面的剛度變化規(guī)律,其恢復(fù)力關(guān)系曲線如圖2所示.圖2中:dφf為曲率增量;(dφf)e為彈性曲率增量;(dφf)p為塑性曲率增量;EI為截面彈性彎曲剛度,EI=,I為截面慣性矩;(EI)T為截面進入塑性強化階段的彎曲剛度,(EI)T=.圖 2 中的截面M-φf關(guān)系可以分解為彈性和剛塑性2個部分,如圖3所示.

H′對應(yīng)剛塑性模型強化階段,因此有

由式(2)和圖3可知,2個部分的彎矩 曲率關(guān)系構(gòu)成串聯(lián)模型,如圖4所示.由此子單元法的建模過程可知,彈塑性梁單元由彈性子單元與剛塑性子單元串聯(lián)而成,其中EI對應(yīng)彈性子單元本構(gòu)特征,H′對應(yīng)剛塑性子單元本構(gòu)特征,My即為屈服彎矩,用來判斷結(jié)構(gòu)是否進入塑性階段.

圖2 梁單元截面的雙折線強化恢復(fù)力關(guān)系Fig.2 Bilinear hysteresis curve of beam section

圖3 梁截面M-φ關(guān)系分解結(jié)果Fig.3 Decomposition of moment-curvature relation of beam section

圖4 串聯(lián)模型Fig.4 Series model

帶長度的纖維塑性鉸彈塑性梁單元的剛塑性子單元的剛塑性采用纖維模型來描述,與前述分解雙線性截面彎矩 曲率關(guān)系的思路相對應(yīng),將鋼筋和混凝土的應(yīng)力(σ)-應(yīng)變(ε)關(guān)系理想化為雙線性的強化模型,如圖5(a)所示.由于剛塑性桿子單元中沒有彈性變形,因此其截面上的鋼筋、混凝土纖維的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系為剛塑性模型,如圖5(b)所示.類似于式(2)的曲率剛塑性強化參數(shù)H′,圖5(b)中h′s為剛塑性應(yīng)變強化參數(shù),由式(3)求得.

式中E′為塑性段的斜率.雖然此單元的塑性特征最終是通過鋼筋和混凝土的剛塑性應(yīng)力和應(yīng)變來反映的,但是從子單元法分解本構(gòu)模型的總體思路可以看出,此單元的塑性鉸區(qū)域總體上應(yīng)該能夠體現(xiàn)雙折線強化模型的特點.

圖5 纖維 σ-ε關(guān)系Fig.5 Relationship between stress and strain of fiber

1.3 適用性

a.2種單元均將梁柱截面沿2個主軸方向劃分成網(wǎng)格(纖維),每一根纖維都可直接定義混凝土或鋼筋的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系,根據(jù)截面上2個方向的彎矩平衡條件和軸力平衡條件,求得截面的雙向滯回曲線,因此,這2種單元對于復(fù)雜截面均具有很好的適用性.

b.沿單元長度積分的纖維彈塑性梁單元在計算分析鋼筋、混凝土的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系時可方便地采用多折線模型,且沿著單元長度積分可以得到總體單元剛度矩陣.因此,纖維彈塑性梁單元可模擬梁柱受力過程中沿單元長度方向截面剛度的連續(xù)變化過程,精細(xì)地反映梁柱開裂、屈服等非線性性能.

c.帶長度的纖維塑性鉸彈塑性梁單元,其塑性鉸特征總體上能體現(xiàn)雙折線強化模型的特點,且塑性鉸長度為單元模型參數(shù).因此,可以利用塑性鉸長度的經(jīng)驗公式,將此單元與實踐經(jīng)驗相結(jié)合.

2 實 例

為了比較這2種彈塑性梁單元的應(yīng)用特性,本文通過一聯(lián)連續(xù)梁橋的地震反應(yīng)分析比較其動力響應(yīng),并在單墩模型的能力分析中比較二者的力 位移關(guān)系曲線.

圖6 7跨連續(xù)橋計算模型Fig.6 Analytic model of continuous bridge with 7 spans

2.1 連續(xù)梁模型

計算模型如圖6所示.其中:2個邊墩墩頂為滑板支座,其余墩頂支座為橡膠支座且設(shè)有限位器;所有墩截面的長×寬均為200 cm×90cm,混凝土等級C30,縱筋配筋為54?22,且縱筋沿四周均勻布置.由于橋梁震害主要集中在下部墩體,分別用2種彈塑性梁單元模擬墩柱,進行靜力推倒分析和動力時程分析.建模要點如下:(a)基底固接.(b)橋墩分別用纖維彈塑性梁單元和纖維塑性鉸彈塑性梁單元模擬.分析中纖維截面劃分為3種類型,即保護層混凝土、核心混凝土和鋼筋.混凝土中箍筋的作用通過約束混凝土的本構(gòu)關(guān)系來考慮[10-11].(c)2個邊墩墩頂滑板支座用2個水平小剛度彈簧和1個豎向大剛度彈簧來模擬,其他墩頂與梁體連接用3個平動大剛度彈簧來模擬.(d)上部結(jié)構(gòu)取為彈性梁單元,且為單梁模型.(e)采用集中質(zhì)量模型.

分析過程中,地震波的輸入方向分為縱、橫向,縱向為計算模型第1個和最后1個墩的連線方向,橫向為與縱向垂直的方向.本文采用罕遇水準(zhǔn)地震波,對這一聯(lián)連續(xù)梁進行分析.

2.2 橋墩能力分析

首先對各個橋墩進行單墩靜力推倒分析.圖7為7號墩用2種單元模擬時靜力推倒力 位移關(guān)系分析結(jié)果.

圖7 7號墩靜力推倒力 位移關(guān)系分析結(jié)果Fig.7 Analytic results of static push-over force-disp lacement relation of pier No.7

由圖7可見,沿單元長度積分的纖維彈塑性梁單元可以精細(xì)地模擬受力過程中沿桿長方向截面剛度的連續(xù)變化過程,帶長度的纖維塑性鉸彈塑性梁單元則反映出明顯的雙線性特征,且2種彈塑性梁單元的計算結(jié)果相近.由此可見,帶長度的纖維塑性鉸彈塑性梁單元是對沿單元長度積分的纖維彈塑性梁單元的一種近似.

通過對2號～7號墩的靜力推倒分析,得到不同墩高下的屈服位移(以纖維塑性鉸彈塑性梁單元模擬橋墩的模型為準(zhǔn)),見表1.

2.3 動力時程分析

表2和表3為連續(xù)梁動力計算結(jié)果.由表2和表3可知:在罕遇地震下,地震波橫向輸入時,6號墩接近屈服狀態(tài),其他墩均發(fā)生屈服;墩頂位移和墩底內(nèi)力,除6號墩略有差異外,2種彈塑性梁單元模型計算結(jié)果吻合較好.地震波縱向輸入時,2號～4號墩發(fā)生屈服,5號～7號墩未屈服;2種彈塑性梁單元模型計算情況下,墩頂位移和墩底內(nèi)力結(jié)果差異略大.

表1 連續(xù)梁各墩墩頂屈服位移Table 1 Yield displacements of continuous bridge at pier tops

表2 地震波橫向輸入連續(xù)梁動力計算結(jié)果Table 2 Dynam ic results of continuous bridge under transverse seism ic waves

表3 地震波縱向輸入連續(xù)梁動力計算結(jié)果Table 3 Dynam ic results of continuous bridge under longitudinal seism ic waves

3 結(jié) 論

a.沿單元長度積分的纖維彈塑性梁單元可以模擬受力過程中沿桿長方向截面剛度的連續(xù)變化過程,帶長度的纖維塑性鉸彈塑性梁單元則可以反映雙線性特征.從靜力推倒分析得到的力 位移關(guān)系曲線可以可明顯地看出此雙線性特征.

b.帶長度的纖維塑性鉸彈塑性梁單元是對纖維彈塑性梁單元的一種近似.2種彈塑性梁單元在構(gòu)件是否屈服的判斷上結(jié)果完全相同,而且當(dāng)構(gòu)件全部或幾乎全部屈服時,其動力響應(yīng)吻合很好;但是當(dāng)有顯著的未屈服構(gòu)件影響時,分析結(jié)果差異相對略大.這表明,當(dāng)結(jié)構(gòu)在動力作用下發(fā)生強烈的塑性響應(yīng)時,2種彈塑性梁單元均可恰當(dāng)?shù)孛枋鼋Y(jié)構(gòu)的塑性特征,否則會有較大差異.這主要是由于未屈服前,沿單元長度積分的纖維彈塑性梁單元,其各積分段的剛度連續(xù)變化,可以有效反映開裂等剛度退化現(xiàn)象,而帶長度的纖維塑性鉸彈塑性梁單元此時剛塑性子單元不參與工作,單元剛度為彈性子單元剛度.

[1]TAKIZAWA H,AOYAMA H.Biaxial effects inmodeling earthquake response of R/C structures[J].Earthquake Engineering&Structural Dynamics,1976,4(6):523-552.

[2]LAI S S,WILL G T.R/C space frames with column axial force and biaxial bending moment interactions[J].J Struc Eng,1986,112(7):1553-1572.

[3]LI K N.Nonlinear earthquake response of reinforced space frames[D].Tokyo:University of Tokyo,1993.

[4]SPACONE E,FILIPPOU F C,TAUCER F F.Fiber beam-column model for nonlinear analysis of R/C frames:part I formulation[J].Earthquake Engineering&Structural Dynamics,1996,25(7):711-725.

[5]SPACONE E,FILIPPOU F C,TAUCER F F.Fiber beam-column model for nonlinear analysis of R/C frames:part II application[J].Earthquake Engineering&Structural Dynamics,1996,25(7):727-742.

[6]GIBERSON M F.Two nonlinear beams with definition of ductility[J].Journal of the Structural Division,1969,95:137-157.

[7]IMBSEN R A,PENZIEN J.Evaluation of energy absorption characteristics of highway bridges under seismic conditions:report of EERC[R].Berkeley:University of California Berkeley,1984.

[8]FILIPPOU F C,ANGELO A D,ISSA A.Nonlinear static and dynamic analysis of reinforced concrete sub assemblages:report of EERC[R].Berkeley:University of California Berkeley,1992.

[9]歐文 D J R,辛頓E.塑性力學(xué)有限元[M].曾國平,譯.北京:兵器工業(yè)出版社,1989.

[10]MANDER J B,PRIESTLEY M J N,PARK R.Theoretical stress-strain model for confined concrete[J].Journal of Structural Enginnering,1988,114(8):1804-1826.

[11]MANDER J B,PRIESTLEY M J N,PARK R.Observed stress-strain behavior of confined concrete[J].Journal of Structural Enginnering,1988,114(8):1827-1849.