基于正交設(shè)計(jì)的制導(dǎo)炸彈運(yùn)動參數(shù)建模

牛蘊(yùn)軒,陳云翔,何 蘋

(1.空軍工程大學(xué)工程學(xué)院,陜西西安710038;2.空軍工程大學(xué)導(dǎo)彈學(xué)院,陜西三原713800)

0 引言

制導(dǎo)炸彈是由飛機(jī)平臺以一定的速度、高度和角度投放,實(shí)施對地精確攻擊的低成本制導(dǎo)武器。制導(dǎo)炸彈的射程、末速度及飛行時(shí)間是作戰(zhàn)使用所關(guān)注的性能指標(biāo),與載機(jī)投放炸彈的初始條件密切相關(guān)。一般可以通過求解制導(dǎo)炸彈彈道微分方程,比較不同投放初始條件對應(yīng)的性能指標(biāo)的數(shù)值解,來尋求最優(yōu)投放條件。然而,制導(dǎo)炸彈投放條件變化范圍很大,這種方法復(fù)雜耗時(shí),所以有必要探求制導(dǎo)炸彈運(yùn)動參數(shù)的解析模型,為簡捷地尋求最優(yōu)投放條件奠定基礎(chǔ)。

本文將采用正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)方法,構(gòu)造制導(dǎo)炸彈運(yùn)動參數(shù)的解析模型。首先建立制導(dǎo)炸彈運(yùn)動微分方程,為正交設(shè)計(jì)提供試驗(yàn)條件;然后介紹正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)響應(yīng)面模型(RSM)的構(gòu)造步驟;最后,通過仿真算例,驗(yàn)證所建立的響應(yīng)面的近似精度。

1 彈道微分方程的建立

1.1 基本假設(shè)

制導(dǎo)炸彈由載機(jī)投放后,在近地大氣層內(nèi)運(yùn)動,飛行速度要遠(yuǎn)小于逃逸速度,飛行時(shí)間短,射程相對較小[1]?？勺鋈缦录僭O(shè):①把炸彈看作可控質(zhì)點(diǎn),且其氣動外形是軸對稱的;②把地球看作是不旋轉(zhuǎn)的平坦大地,忽略地球轉(zhuǎn)動和曲率的影響;③忽略風(fēng)的影響;④制導(dǎo)炸彈的側(cè)向運(yùn)動很小,可以忽略,此處僅研究其在鉛垂平面內(nèi)的縱向運(yùn)動。

1.2 微分方程的建立

建立地面直角坐標(biāo)系下微分方程如下:

式中,g為重力加速度;θ為制導(dǎo)炸彈的彈道傾角;h為飛行高度;R為射程;α為攻角;D、L為阻力和升力;CD、CL為阻力系數(shù)與升力系數(shù);m為制導(dǎo)炸彈的質(zhì)量;ρL為制導(dǎo)炸彈平均密度;ρ為大氣密度;Vm為制導(dǎo)炸彈飛行速度;M為飛行馬赫數(shù);a為音速;S為制導(dǎo)炸彈氣動參考面積。

制導(dǎo)炸彈受力分析如圖1所示。

圖1 制導(dǎo)炸彈受力分析

在制導(dǎo)炸彈速度較高、小攻角飛行時(shí),可以近似認(rèn)為[2]:

在制導(dǎo)炸彈氣動布局和外形尺寸給定的條件下,阻力系數(shù)主要取決于制導(dǎo)炸彈的攻角、飛行馬赫數(shù)、雷諾數(shù)。零升阻力系數(shù)CD0可以表示為M和h的函數(shù)[3],CD0可表示為:

式中,l為彈形系數(shù);k1、k2、k3、a、b、c、q為擬合系數(shù)。

通過解算式(1)～式(3)可以得到制導(dǎo)炸彈運(yùn)動參數(shù)數(shù)值解。

2 基于正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)的響應(yīng)面構(gòu)造

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)就是利用事先制好的特殊表格——正交表來科學(xué)地安排試驗(yàn),并進(jìn)行試驗(yàn)數(shù)據(jù)分拆的一種方法。20世紀(jì)40年代,正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法首先應(yīng)用于農(nóng)業(yè)中,50年代推廣到工業(yè)領(lǐng)域,取得了顯著效果。我國從60年代開始應(yīng)用這一方法,70年代得到推廣。正交設(shè)計(jì)在處理設(shè)計(jì)變量水平數(shù)比較多的情況時(shí),能夠以較少的試驗(yàn)次數(shù)較全面地反映問題的內(nèi)在規(guī)律,其數(shù)學(xué)原理參見文獻(xiàn)[4]。以下介紹正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)構(gòu)造制導(dǎo)炸彈運(yùn)動參數(shù)RSM的具體步驟:

①確定制導(dǎo)炸彈射程R、末速度Vmt及飛行時(shí)間t為試驗(yàn)指標(biāo),選擇制導(dǎo)炸彈投放條件(Vmf、hf、θf)為設(shè)計(jì)變量;

②確定Vmf、hf、θf變化的水平數(shù)以及要進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)。選用相應(yīng)的正交表,進(jìn)行表頭設(shè)計(jì);

③根據(jù)正交表進(jìn)行試驗(yàn),調(diào)用制導(dǎo)炸彈運(yùn)動微分方程仿真程序,得到試驗(yàn)結(jié)果;

④為了保證計(jì)算精度,將試驗(yàn)指標(biāo)、設(shè)計(jì)變量轉(zhuǎn)換為0～1之間的標(biāo)準(zhǔn)值。標(biāo)準(zhǔn)化采用最常用的直線型標(biāo)準(zhǔn)化方法,即

式中,zi為試驗(yàn)指標(biāo)、設(shè)計(jì)變量的試驗(yàn)值;z′i為相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化值 ,z′i∈[0,1];

⑤試驗(yàn)的結(jié)果用于構(gòu)造試驗(yàn)指標(biāo)與設(shè)計(jì)變量之間的近似模型,即RSM。RSM有多種形式,其中二階多項(xiàng)式應(yīng)用最多,以R的響應(yīng)面構(gòu)造為例:

式中 ,x1、x2和x3分別為Vmf、hf、θf的標(biāo)準(zhǔn)化值;y為R的標(biāo)準(zhǔn)化值。

可見,RSM回歸系數(shù)的求解,為多元非線性回歸問題,可先將其變換作多元線性回歸,然后用最小二乘法求得回歸系數(shù)。Vmt及t與設(shè)計(jì)變量間的RSM構(gòu)造方法同上;

⑥求出RS方程的待估參數(shù)后,需要對RS函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),評估其對真實(shí)響應(yīng)的逼近程度。常用全相關(guān)系數(shù)F2來度量RS函數(shù)對原函數(shù)的逼近程度,F2定義為:

式中,SST為總偏差平方和;SSR為回歸平方和;F的值在0和1之間,越接近1,說明RS函數(shù)的逼近程度越高。設(shè)ˉy為響應(yīng)的平均值,ns為試驗(yàn)次數(shù),則

3 仿真計(jì)算與結(jié)果分析

因制導(dǎo)炸彈的通用性好,能夠掛載于多種作戰(zhàn)平臺上使用,參考F-16典型的作戰(zhàn)高度和速度,確定投放條件的變化范圍如下:投放速度Vmf為270～410 m/s,投放高度hf為7～13 km,投放彈道傾角 θf為 -13°～ 13°。

為了能夠比較精確地反映指標(biāo)和設(shè)計(jì)變量間的關(guān)系,設(shè)計(jì)變量水平數(shù)不能太少,故選取正交設(shè)計(jì)表L9(34)確定試驗(yàn)方案。調(diào)用制導(dǎo)炸彈彈道仿真程序,對其R、Vmt和t進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案和結(jié)果

表1中 ,Vmf、Vmt單位為 m/s;hf、R單位為 km;t單位為 s;θf單位為(°)。

由上述計(jì)算結(jié)果,調(diào)用已編制好的RSM構(gòu)造程序,構(gòu)造R、Vmt和t與設(shè)計(jì)變量間 RSM。響應(yīng)面均采用二階多項(xiàng)式模型,設(shè)R、Vmt和t的標(biāo)準(zhǔn)化值分別為y1、y2和y3,結(jié)果如下:

式中,x1、x2和x3分別為Vmf、hf、θf的標(biāo)準(zhǔn)化值。

R、Vmt和t的RSM的相關(guān)系數(shù)F2都為0.9999,均很接近1,說明構(gòu)造的響應(yīng)面近似精度很高。

4 結(jié)束語

采用正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)方法,以制導(dǎo)炸彈投放速度、高度和角度為設(shè)計(jì)變量,從設(shè)計(jì)空間中選擇一些特定的設(shè)計(jì)點(diǎn),構(gòu)造了制導(dǎo)炸彈射程、末速度以及飛行時(shí)間的響應(yīng)面模型,通過仿真計(jì)算表明RSM具有較高的近似精度。正交設(shè)計(jì)保證所計(jì)算的有限個(gè)方案分布合理,最能反映設(shè)計(jì)問題的內(nèi)在規(guī)律,而RSM的引入則大大減少了計(jì)算量。高精度的響應(yīng)面為簡捷地尋求最優(yōu)投放條件奠定了基礎(chǔ)。

[1]阮春榮.大氣中飛行的最優(yōu)軌跡[M].北京:宇航出版社,1987.

[2]孫 鵬,張合新,孟 飛.再入飛行器最優(yōu)減速研究[J].導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù),2006(2):1-5.

[3]張 毅,肖龍旭,王順宏.彈道導(dǎo)彈彈道學(xué)[M].長沙:國防科技大學(xué)出版社,2005.

[4]何少華,文竹青,婁 濤.試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理[M].長沙:國防科技大學(xué)出版社,2002.