讓平面幾何題更加生動活潑——傳統(tǒng)平面幾何題的升華

?山西省長治市第19中學(xué) 劉明輝

對當(dāng)前的初中平面幾何課程的改革，我們至少有以下三點認(rèn)識：第一，平面幾何教學(xué)要選取現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的內(nèi)容，緊緊與學(xué)生的生活經(jīng)驗與活動經(jīng)驗相聯(lián)系，為學(xué)生提供生動的幾何背景；第二，幾何的學(xué)習(xí)方式應(yīng)該包含觀察、實驗、猜想、證明等多種形式的數(shù)學(xué)活動；第三，初中平面幾何課程應(yīng)該兼顧培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理和合情推理兩種能力，從改進(jìn)以往傳統(tǒng)的幾何教學(xué)目標(biāo)的角度看，當(dāng)前尤其需要加強合情推理能力的培養(yǎng).概括起來，本次初中平面幾何課程改革的著眼點在于：不是把平面幾何課程當(dāng)作一系列現(xiàn)成的、凝固的、經(jīng)典的知識體系去讓學(xué)生接受，而是把它作為一個可以動態(tài)生長的知識領(lǐng)域讓學(xué)生去探究.在這里，我們探討傳統(tǒng)平面幾何題的升華，這既是新課程改革帶來的理念的注入，也是來自中學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者發(fā)自內(nèi)心的創(chuàng)新和探索，它對新課程平面幾何的教學(xué)是大有裨益的.

1.讓背景“活”起來——應(yīng)用式升華.

傳統(tǒng)的平面幾何題一般都過于平淡、缺乏生活氣息.如果對其賦于與學(xué)生密切相關(guān)的生活情境，不僅可以激發(fā)學(xué)生的參與熱情，而且還有強烈的教育意義.

例1：如圖1，△ABC是一個鋼架，AB=AC，AD是連結(jié)A與BC中點D的支架.求證：AD⊥BC.

圖1

例2：如圖1，△ABC是 一個房屋的人字梁，其中AB=AC，為了使人字梁更加穩(wěn)固，房主要求小木工在頂點A和橫梁BC之間加一根柱子AD.可小木工由于未學(xué)過幾何，不知榕眼D該鑿在BC何處，才能使AD⊥BC.請問你能幫助他嗎？寫出方案并說明理由.

【點評：例2是由一個傳統(tǒng)題如例1升華為應(yīng)用性的問題.與例l相比，例2的優(yōu)越性在于：首先，題型開放了.有的學(xué)生憑直覺大膽猜想D為BC的中點；也有的學(xué)生依賴生活經(jīng)驗，用懸掛鉛垂線的方法尋找D點（鉛垂也可用小石塊代替）；還有的學(xué)生想到先拉根細(xì)線，再用三角板靠，等等.其次，背景活了.創(chuàng)設(shè)“小木工由于未學(xué)幾何以至不會畫圖”的情境，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，同時也教育學(xué)生：學(xué)好幾何是何等重要！】

2.讓題型“活”起來——開放式升華

把過去傳統(tǒng)幾何題的證明結(jié)論，升華為猜想發(fā)現(xiàn)結(jié)論；或?qū)ふ覘l件部分，然后證明，由封閉向開放轉(zhuǎn)化.

例3：如圖2，△ABC為等邊三角形，點D、E分別在BC邊和CA邊上，BD=2DC，CE=2EA，AD與BE相交于 G.求證：AD=BE.

圖2

例4：如圖2，△ABC為等邊三角形，點D、E分別在BC邊和CA邊上，BD=2DC，CE=2EA，AD與BE相交于G，試就有關(guān)圖形的形狀、大小和關(guān)系得出盡可能多的結(jié)論.

【點評：傳統(tǒng)題例3隱去結(jié)論“求證AD=BE”，就升華為開放題例4.結(jié)論是多種多樣的，學(xué)生不同的思維方式、不同的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和不同的數(shù)學(xué)能力，可能出現(xiàn)不同的結(jié)果.如先考慮三角形的全等關(guān)系，有（l）△ACD≌△BAE；由此可推出，（2）AD=BE，（3）∠DAC=∠EBA ，（4）∠ADC=∠BEA；再考慮特殊角，（5）顯然，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，（6）聯(lián)系（1），有 ∠AGE=∠EBA+∠GAB=∠EAG+∠GAB=∠EAB=60°；進(jìn)一步推出：（7）∠DGE=120°，（8）D，G、E、C 四點共圓，（9）AE·AC=AG·AD，或BG·BE=BD·BC，（10）2AG·AD=BG·BE，（11）∠GDC+∠CEG=180°，（12）△AGE≌△ACD.】

3.讓手“活”起來——實驗、操作的升華.

傳統(tǒng)的平面幾何題，注重對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，而忽視動手能力的訓(xùn)練.其實，結(jié)合題目的特征，把傳統(tǒng)幾何題改編為實際操作題，讓學(xué)生的手動一動，不但能提高學(xué)習(xí)興趣，而且還能加深學(xué)生對題目的理解，強化實踐能力.

例 5：已知：如圖 3，點 A'，B'，C'，D'分別是正方形 ABCD四條邊上的點，并且AA'=BB'=CC'=DD'.求證：四邊形A'B'C'D'為正方形.

圖3

例6：如圖4，若把正方形ABCD的四個角剪掉，試問怎樣剪，才能使剩下的圖形仍為正方形？請在圖上畫出一個可行的方案，并說明理由.

圖4

【點評：與例5相比，例6難度雖然大了，但易操作.學(xué)生通過動手實踐發(fā)現(xiàn)：當(dāng)剪下的四個角是全等三角形時，剩下的四邊形恰好是正方形.從而為畫出方案圖和證明奠定了基礎(chǔ).】

例7：把一個等腰直角三角形ABC沿斜邊上的高線CD剪一刀（圖5），從這個三角形中剪下一部分，與剩下部分能拼成一個平行四邊形ABCD，如圖6所示.

圖5

圖6

探究1：

（1） 想一想：判斷A'BCD是平行四邊形的依據(jù)是____；

（2）做一做：按上述的剪裁方法，請你拼一個與圖 6位置或形狀不同的平行四邊形.

探究2：

（1）試一試：你能拼得所有的不同類型的特殊四邊形有_______；它們的裁剪線分別為________；

（2）畫一畫：請畫出你拼得的特殊四邊形的示意圖.

【點評：例7以動手實驗為基礎(chǔ)，展示問題的探究即結(jié)論的產(chǎn)生過程.對動手實驗、周密思考、探索驗證能力要求較高.】

我們還可以借助于紙片、三角板等，在幾何圖形中融入折疊、交換操作等現(xiàn)實情境，把靜態(tài)的題目向動態(tài)轉(zhuǎn)化，把畫圖形向“實驗”（折疊等）與運動操作轉(zhuǎn)化.

例8：如圖7，已知在正方形ABCD中，E是AB的中點，EF⊥DE且交∠ABC的外角平分線BF于點F.

（1）求證：DE=EF；

（2）若將上述條件中的“E是中點”改為“E是AB上任意一點”，其余條件不變，則結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由.

圖7

這樣一個稍具開放的傳統(tǒng)題可增加“現(xiàn)實情境”——三角板，升華如下.

例9：如圖8、9，四邊形ABCD是正方形，M是AB 延長線上一點.直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A，B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線相交于點F.

（1）如圖8，當(dāng)點E在AB邊的中點位置時：

①通過測量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是_________；

②連結(jié)點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是_________；

③請證明你的上述兩個猜想.

圖8

（2）如圖9，當(dāng)點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N，使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

圖9

4.讓過程“活”起來——探究過程的升華.

把幾何（數(shù)學(xué)）的研究過程融入題目中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)活動過程，如猜想、類比、發(fā)現(xiàn)，一般化與特殊化，試題由形式單一向形式多樣轉(zhuǎn)化，由靜態(tài)向動態(tài)轉(zhuǎn)化.其實，前面的問題也不同程度地體現(xiàn)了探究過程.

例l0：在一次課題學(xué)習(xí)活動中，老師提出了如下問題：點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，過點P畫直線l分別交正方形的兩邊于點M、N，使點P是線段MN的三等分點，這樣的直線l能夠畫幾條？

經(jīng)過思考，甲同學(xué)給出了如下畫法：如圖10，過點P畫PE⊥AB于E，在EB上取點M，使EM=2EA，畫直線MP交AD于N，則直線MN就是符合條件的直線.

圖10

根據(jù)以上信息，解決下列問題：

（1）甲同學(xué)的畫法是否正確？請說明理由.

（2）在圖10中，能否再畫出符合題目條件的直線？如果能，請直接在圖11中畫出.

（3）如圖11，A1、C1分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點，且A1C1//AD.當(dāng)點P在線段A1C1上時，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，可以畫出幾條？

圖11

（4）如圖 12，正方形 ABCD 邊界上的 Al、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2都是所在邊的三等分點.當(dāng)點P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時，試討論，符合題目條件的直線l條數(shù)的情況.

圖12

【點評：例10把以前的靜態(tài)問題升華為數(shù)學(xué)過程，是一道關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)活動和探究過程的好題.本題以課題學(xué)習(xí)的形式來呈現(xiàn)問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中，親身經(jīng)歷“創(chuàng)設(shè)情景——實踐探索——建立模型——熟悉模型——反思——應(yīng)用與拓展”的探究過程.設(shè)計新穎，構(gòu)思精巧，可謂獨具匠心！首先，通過判斷甲同學(xué)解答的正誤來創(chuàng)設(shè)問題情境；然后讓學(xué)生在判斷正誤的互動中，探究出畫符合條件直線的理論依據(jù)，進(jìn)而建立“如何畫符合條件的直線”的模型（方法）；之后，通過模仿（在畫一條符合條件的直線）來熟悉數(shù)學(xué)模型；接下來，再通過一個特殊位置來反思數(shù)學(xué)模型，揭示問題本質(zhì)；最后，把模型放到整個正方形中，實現(xiàn)對模型的應(yīng)用與拓展.這個題目的布局從一般到特殊再到一般，立足于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識.由于第（4）小題是前3小題的綜合與拓展，所以還需學(xué)生有分類討論的意識.】

我們從“應(yīng)用”“開放”“實踐”“過程”對傳統(tǒng)題升華為新題型作了概括和探討，此類升華題已成為近年中考平面幾何試題的主流.