數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生進行的反思訓(xùn)練

?上海市浦東新區(qū)三吉中學(xué) 王 虹

反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力，在教學(xué)實踐中采取各種有效措施對學(xué)生進行反思性學(xué)習(xí)訓(xùn)練，使學(xué)生樂思、巧思、善思，對提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力有重要的意義.世界著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾教授指出“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力”.由此可見反思在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.但是，目前數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，最薄弱的正是反思性學(xué)習(xí)這一環(huán)節(jié).由于數(shù)學(xué)學(xué)科對象的抽象性、活動的探索性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和語言的特殊性，決定了正處于思維發(fā)展階段的中學(xué)生不可能一次性地直接把握數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)，必須經(jīng)過多次的反復(fù)思考、深入研究、自我調(diào)整（即堅持反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)），才能洞察數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)特征.因此，在教學(xué)中采取各種有效措施對學(xué)生進行反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)訓(xùn)練，促使學(xué)生由被動反思轉(zhuǎn)為主動反思，由不會反思變成善于反思，是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的有效途徑.下面談?wù)勗诮虒W(xué)中對學(xué)生進行的反思訓(xùn)練.

一、課后及時鞏固，在“溫故而知新”中反思

孔子曰“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”、“溫故而知新”，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)教會學(xué)生自我提問，在課后對當(dāng)天所學(xué)內(nèi)容、自己的聽課情況及課前預(yù)習(xí)情況及時進行回顧、反思，從而養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣.例如：

1.今天所學(xué)內(nèi)容是什么，關(guān)于新的知識我掌握了嗎？自己的課前理解與教師講解后的差別在哪兒？（對本節(jié)的數(shù)學(xué)概念、定理、法則、思想方法進行再組織，簡明扼要地記下其內(nèi)容.）

2.新舊知識有哪些聯(lián)系？自己對所涉及的知識是否有了新的認(rèn)識，有些什么新的認(rèn)識，原有的認(rèn)識有什么欠缺之處，這種欠缺是如何造成的？

3.例題涉及哪些數(shù)學(xué)思維方法、數(shù)學(xué)思想方法，這些思想方法是怎樣應(yīng)用的，應(yīng)用的過程有什么特點，這樣的方法是否在其他地方應(yīng)用過，現(xiàn)在的應(yīng)用和過去的應(yīng)用有何聯(lián)系、差異，是否有規(guī)律性的東西可總結(jié)？

4.課上不懂的地方，如何弄清楚？

另外，還可對學(xué)習(xí)態(tài)度、情緒、意志進行反思.

這樣，就給學(xué)生在課后理清自己的思想、評價自己的學(xué)習(xí)情況、反思自己的學(xué)習(xí)過程創(chuàng)造了條件，從而能夠逐步培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣.為便于日后翻閱，可建議學(xué)生記在書本相應(yīng)內(nèi)容的空白處.同時，教學(xué)中若能有針對性地在每節(jié)課后再設(shè)置一些思考題，引導(dǎo)學(xué)生積極反思本節(jié)課的概念、定理和公式的發(fā)生及形成過程，對知識進行橫向、縱向的聯(lián)系、對比，則可深化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高反思能力.如在學(xué)習(xí)了雙曲線的概念后，可讓學(xué)生思考討論這樣的幾個問題：

（1）將定義中的“小于”改為“等于”或“大于”其點的軌跡又是什么呢？

（2）將“絕對值”3個字去掉，其結(jié)果又如何呢？

（3）令定義中的常數(shù)為0，其余不變，其點的軌跡又是什么呢？

二、建立反思性錯題集，在糾錯中反思

由于題海戰(zhàn)術(shù)的影響，許多學(xué)生拼命做題，期望以多取勝，但常常事與愿違，不見提高，讓大部分學(xué)生困惑的是有些錯誤很頑固，訂正過了，評講過了，還是重蹈覆轍.也有許多學(xué)生懂得建立錯題集，但在建立錯題集時只是把錯題和改正后的答案抄上去，并沒有達(dá)到糾錯的效果.究其原因是學(xué)生不懂得認(rèn)真回顧自己做題的思維過程，反思出錯原因.

為了優(yōu)化思維過程，讓學(xué)生在糾錯中學(xué)會反思，教師可指導(dǎo)學(xué)生建立活頁“錯題檔案”.其整理步驟為：1.分類整理.按概念模糊類、粗心大意類、顧此失彼類、圖形類、技巧類、新概念類、數(shù)學(xué)思想類等整理，并將各題注明屬于某一章某一節(jié)，這樣分類的優(yōu)點在于既能按錯因查找，又能按各章節(jié)易錯知識點查找，給今后的復(fù)習(xí)帶來方便.2.記錄解題方法.根據(jù)老師對錯題的分析講解，記錄題目的引人語、解題的切入口、思路突破方法、解題的技巧、解題步驟及小結(jié)等.3.反思錯因.記錄完老師的解題方法后在該錯題的旁邊作好注釋，寫出自己解題時的思維過程，暴露出自己思維障礙產(chǎn)生的原因及根源的分析.這種記述方法開始時可能覺得較困難或?qū)懖怀?，此時不必強行要求自己.初始階段可先用自己的語言寫出小結(jié)即可，總結(jié)得多了，自然會有心得體會，漸漸就會認(rèn)清思維的種種障礙（即錯誤原因）.另外教師在教學(xué)中應(yīng)經(jīng)常暴露自己的思維過程，即表述自己如何認(rèn)識問題、如何制訂解題計劃、選擇解題方法、改變思路等，以及如何在解題過程中實施自我反思，如何克服解題中碰到的障礙，解題后的回顧反思如何進行，為學(xué)生提供反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的范例.4.錯題改編.對于出錯比較典型的題目，根據(jù)題目特點進行改編并求解，以加深對這類題目的理解.這一工作的難度較大，解題經(jīng)驗豐富的學(xué)生可能做起來比較順利.初始階段，可讓學(xué)生只需對題目條件做一點改動，（如將函數(shù)y=log2（x2-2x-3）變化為y=loga（x2-2x-3），單調(diào)性會怎樣變化？）而教師在平時的課堂教學(xué)中經(jīng)常對例題進行變式訓(xùn)練，也可鍛煉學(xué)生的改題能力.

三、填寫測試反思表，在檢驗中反思

每次測試后及時要求學(xué)生填寫測試反思表，可引發(fā)學(xué)生對一階段的學(xué)習(xí)狀況、學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)效果進行自我綜合評價，并主動反思，借鑒自己與他人的成功與失誤之處.根據(jù)學(xué)生實際情況制定的數(shù)學(xué)測試反思表如下：

1.錯題剖析.

題號 滿分 實際得分 錯誤原因（直接填序號）

（注：表中解題錯誤原因可從以下幾方面來選擇——①看錯題目；②因粗心而導(dǎo)致計算或推理錯誤；③表述不規(guī)范或解題格式不正確；④思路正確但因緊張而使中間某個過程錯誤；⑤對數(shù)學(xué)公式、法則或定理不熟；⑥審題錯誤；⑦思路不清或根本沒有思路；⑧解題速度慢而沒有時間做；⑨其他.）

本次測試完全不會做的題目合計分?jǐn)?shù)為（ ）分.

會做但因不仔細(xì)等原因而扣分的一共有（ ）分.

2.錯題更正或部分試題的其他解法（除教師公布的標(biāo)準(zhǔn)答案的其他有創(chuàng)意的解法）.

3.測驗后的感受.

①本次測驗按實際水平應(yīng)該得分是多少？但實際得分是多少？主要原因如何？本次測試對你今后的學(xué)習(xí)的啟示（用一兩句話來表述你成功的經(jīng)驗應(yīng)該改進的問題或努力的方向）：___________.

②你認(rèn)為在數(shù)學(xué)常規(guī)學(xué)習(xí)中，以下哪些方面自己做得比較好：_______.（A.課前預(yù)習(xí) B.課堂聽課筆記 C.課后復(fù)習(xí) D.獨立作業(yè) E.練習(xí)鞏固 F.課外自學(xué) G.以上基本未落實）

③你認(rèn)為班上有哪些同學(xué)是你學(xué)習(xí)上的榜樣？

④你認(rèn)為自己有哪些經(jīng)驗與教訓(xùn)可供其他同學(xué)學(xué)習(xí)或借鑒？

4.典型試題再研究.

請結(jié)合自己的實際對某道試題或某幾道試題談?wù)勀愕脑傺芯?包括：一題多解、一題多變，或該題的拓展延伸或研究該題解題方法的應(yīng)用推廣等.

從以上表格實施的情況看，學(xué)生通過對單元測試的自我反思，能在檢驗中吸取教訓(xùn)，認(rèn)清不足，由此改善學(xué)習(xí)過程.

四、強調(diào)每一章的概括總結(jié)，在知識的梳理中反思

每一章的學(xué)習(xí)結(jié)束后讓學(xué)生梳理所學(xué)知識，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，是為了讓學(xué)生對以往的數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)知識的獲得過程及數(shù)學(xué)問題的解決過程回憶和重新思考是培養(yǎng)學(xué)生自我反思能力的有效方法.那如何引導(dǎo)學(xué)生在梳理知識中反思呢？

1.“濃縮”教會學(xué)生對所學(xué)知識進行篩選，突出重點，用簡明的圖表或提綱形式把基礎(chǔ)知識進行有機的串聯(lián).如對函數(shù)部分歸納的知識有：（1）函數(shù)的概念與基本性質(zhì)，主要有函數(shù)的概念與運算、單調(diào)性、奇偶性與對稱性、周期性、最值與值域、圖像等.（2）一些簡單函數(shù)的研究，主要是二次函數(shù)，冪、指、對函數(shù)等.（3）函數(shù)綜合與實際應(yīng)用問題，如函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系與應(yīng)用，用函數(shù)思想解決的實際應(yīng)用問題等.

2.“細(xì)化”對每一個內(nèi)容細(xì)化，問問自己復(fù)習(xí)這個內(nèi)容時需要解決好哪些問題，以此為載體來提煉與總結(jié)基本方法.以函數(shù)的單調(diào)性為例，可以從哪些問題入手復(fù)習(xí)呢？問題一：什么是函數(shù)的單調(diào)性？（借助一些概念的辨析題來幫助理解.）問題二：如何判斷和證明一個函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性？解決這個問題需要的知識基礎(chǔ)包括理解函數(shù)單調(diào)性的概念，熟知所學(xué)習(xí)過的各種基本函數(shù)（如一、二次函數(shù)，反比例函數(shù)，冪、指、對函數(shù)等）的單調(diào)性，簡單的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性等.基本的方法主要是利用單調(diào)性的定義、不等式的性質(zhì)進行判斷和證明.問題三：函數(shù)的單調(diào)性有哪些簡單的應(yīng)用？主要的應(yīng)用是求函數(shù)的最值，此外還可能涉及不等式、比較大小等問題.問題四：易錯、易漏點是什么？

3.“強化”.抓住每個知識點的典型問題進行訓(xùn)練，將同一知識，同一方法的問題集中在一起練習(xí).如函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明一般也就兩類典型問題：第一是正確判斷與證明某個函數(shù)的單調(diào)性，寫出單調(diào)區(qū)間，要注意函數(shù)的各種形式，如分式的、簡單的復(fù)合函數(shù)、帶有根式和絕對值的等.第二是它的逆問題，知道函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性如何求字母參數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=ax2+x+2在區(qū)間[5，l0]上若遞增，求實數(shù)4的取值范圍等.同時，可以在同一個問題的背景下，自己做一些小小的變化與發(fā)展，從中做一些深入的探究.例如將函數(shù)y=log2（x2-2x-3）變化為y=l oga（x2-2x-3），單調(diào)性會怎樣變化？如果變化為y=log2（ax2-2x-3）情況又如何？反之，如果函數(shù)y=log2（ax2-2x-3）在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞減，a的取值范圍是什么？通過這樣層層深化、不斷自我設(shè)問可使學(xué)生有針對性地對自己的學(xué)習(xí)情況進行回顧反思和反復(fù)推敲引起思維的升華.

五、建立數(shù)學(xué)檔案，在快樂中反思

指導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)檔案，有目的地從各種角度和層次收集學(xué)生個人學(xué)習(xí)的努力、進步情形，以及在知識、技能和情意方面的成就證據(jù)，并有目的地匯集在材料袋中，以供評價.可以彌補平時以單一的書面考試評價學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，往往容易忽略學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的變化和進步的缺陷（如同一學(xué)生幾次的成績變化、與同類同學(xué)成績相比的變化、班內(nèi)名次的變化等）.使學(xué)生比較全面地了解自己的學(xué)習(xí)過程，找到適合自己發(fā)展的途徑，凸顯個性，展現(xiàn)自我，特別是感受自己在數(shù)學(xué)上的不斷成長與進步，從而樂于去回顧、去反思.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)檔案的內(nèi)容可分3個方面：

1.收錄數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的材料，如數(shù)學(xué)日記、錯題集、考試反思表、章后總結(jié)、課外閱讀等.

2.收錄學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得的成功體驗，如“我最滿意的”——數(shù)學(xué)作業(yè)本、單項考查試卷、綜合考查試卷等；

“我最自豪的”——二次表揚、一次成功、一次獲獎（證書、獎狀）、一個優(yōu)點（特長、習(xí)慣）、解決復(fù)雜數(shù)學(xué)題目的草稿、圖解、圖畫；

“我印象最深的”——有趣的數(shù)學(xué)課（活動）、一次有意義的談話、一次教訓(xùn)；

“我來介紹”——單元總結(jié)、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)經(jīng)驗.

3.收錄反映學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究發(fā)展、實踐能力和創(chuàng)新能力的材料.如在日常生活中發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題及提出有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題.如怎樣存款才合算、包裝罐設(shè)計等.應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實生活中的實際問題，如買房、租車預(yù)算、買彩票等.應(yīng)用數(shù)學(xué)知識開展社會調(diào)查，發(fā)現(xiàn)社會問題.如應(yīng)用統(tǒng)計知識進行各種資源的浪費調(diào)查分析.

獨特的解題方法.如一題多解、巧解妙算等.數(shù)學(xué)小制作及自編數(shù)學(xué)童話、故事、笑話.

學(xué)生在建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)檔案的過程中適時反思自己的學(xué)習(xí)情況，如實現(xiàn)了哪些學(xué)習(xí)目標(biāo)、獲得了哪些進步、自己作品的特征、解決問題的策略、還需要在哪些方面努力等，久而久之反思自然會成為一種習(xí)慣和技能.

六、其他訓(xùn)練方法

除了上面介紹的訓(xùn)練方法外，教學(xué)中還有很多培養(yǎng)學(xué)生反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的有效途徑.如：教會學(xué)生解題后反思、設(shè)置反思性數(shù)學(xué)作業(yè)、開展學(xué)生自我評價活動、舉行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)交流會讓學(xué)生交流反思的體會、指導(dǎo)學(xué)生寫數(shù)學(xué)隨筆等.

總之，引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生的反思意識和反思能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的重要內(nèi)容之一.教師應(yīng)通過多種途徑培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)反思習(xí)慣，多關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思，鼓勵學(xué)生反思，使學(xué)生樂思、巧思、善思.