上海氣溫變化過程遍歷特征分析

王紅瑞，馮啟磊，林 欣，曾文藝

上海氣溫變化過程遍歷特征分析

王紅瑞1，馮啟磊2，林 欣3，曾文藝4

(1. 北京師范大學(xué)水科學(xué)研究院水沙科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100875；2. 北京教育學(xué)院數(shù)理學(xué)院，北京100011；3. 北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875；4. 北京師范大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100875)

利用有限長(zhǎng)度的氣溫序列變化資料估計(jì)其無限長(zhǎng)時(shí)序的氣溫過程的統(tǒng)計(jì)特征，對(duì)于中長(zhǎng)期氣象預(yù)報(bào)以及全球的氣候變化都是十分有意義的基礎(chǔ)工作，所以對(duì)氣溫過程開展遍歷性(各態(tài)歷經(jīng)性)分析是一個(gè)值得探索的課題．為此，基于模糊粗糙聚類(fuzzy-rough C-means clustering method，F(xiàn)RCM)、自相關(guān)趨勢(shì)圖、ADF(advanced Dickey and Fuller)檢驗(yàn)以及模糊最小二乘回歸提出一種具有普適性特點(diǎn)的遍歷性分析方法，并以上海1873—1997年的氣溫序列為例，進(jìn)行了具體的計(jì)算和分析．結(jié)果表明：上海7月份、8月份的最高氣溫和最低氣溫變化是均值遍歷和協(xié)方差遍歷的，因此其氣溫變化過程具有遍歷特征．從長(zhǎng)時(shí)間尺度來看，上海7月份、8月份最高氣溫和最低氣溫總體上不會(huì)長(zhǎng)期呈上升趨勢(shì)，它們的變化會(huì)圍繞其均值波動(dòng)．最后，對(duì)上述結(jié)論做了印證性分析，對(duì)上海氣溫變化過程進(jìn)行了挖掘性分析，從遍歷性的角度佐證了前人的一些研究成果．

上海氣溫；遍歷性；模糊粗糙聚類；平穩(wěn)性檢驗(yàn)；模糊最小二乘回歸

20世紀(jì)的全球變暖趨勢(shì)被認(rèn)為在21世紀(jì)還將持續(xù)，由此引發(fā)的氣候和環(huán)境變化關(guān)系到人類未來的生存環(huán)境，對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步各方面都具有潛在的重大影響，已成為社會(huì)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展中最為關(guān)鍵的問題[1]．極端氣候事件增多，已經(jīng)引起了聯(lián)合國(guó)政府間氣候變化專門委員會(huì)(intergovernmental panel on climate change，IPCC)的關(guān)注．人們希望能夠發(fā)現(xiàn)極端氣溫和平均氣溫蘊(yùn)含的氣溫演變規(guī)律和相互關(guān)系．但是，無論是極端氣溫還是平均氣溫的產(chǎn)生都具有隨機(jī)性，即氣溫隨時(shí)間的變化過程是一個(gè)隨機(jī)過程．為了滿足生產(chǎn)生活的需要，又需要能夠預(yù)測(cè)它們，于是，常常采用時(shí)間序列的方法對(duì)它們進(jìn)行預(yù)報(bào)[2]．那么，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過程，首先需確定它的統(tǒng)計(jì)特性，一般說來這需要知道其有限維分布，但這在實(shí)際問題中是十分困難的．因此，希望從一次試驗(yàn)所獲得的一個(gè)樣本函數(shù)來決定該過程的統(tǒng)計(jì)特征.對(duì)于平穩(wěn)過程，只要滿足一定的條件，其統(tǒng)計(jì)平均(均值等)就可以用此樣本函數(shù)在整個(gè)時(shí)間軸上的平均來代替．如果過程滿足了這一性質(zhì)，則這個(gè)過程就具有了遍歷性，或稱為各態(tài)經(jīng)歷性[3]，它是研究許多時(shí)序問題的假設(shè)基礎(chǔ)．通常，時(shí)間序列中的遍歷性指的是平穩(wěn)過程遍歷性，解決隨機(jī)過程在時(shí)間上取平均與在空間上取平均是否相等．對(duì)于遍歷性應(yīng)用研究，很多學(xué)者認(rèn)為是很有意義并且是必不可少的[4-8]．

目前，國(guó)內(nèi)外眾多以時(shí)間序列遍歷性為主要研究對(duì)象的文獻(xiàn)大多局限在理論領(lǐng)域[9-11]．作為應(yīng)用時(shí)間序列基礎(chǔ)的遍歷性性質(zhì)，文獻(xiàn)[12]用指數(shù)權(quán)馬爾可夫鏈探索梅雨強(qiáng)度的預(yù)測(cè)問題，得出梅雨強(qiáng)度狀態(tài)有遍歷性的結(jié)果；文獻(xiàn)[13-14]對(duì)水文過程的遍歷性做了專題研究；文獻(xiàn)[15]中涉及的遍歷則是指優(yōu)化算法方面，不同于本文研究的時(shí)序遍歷．其他應(yīng)用型文章則大多將之作為假定成立條件，例如在水文資源[16]、流體以及噪聲研究領(lǐng)域[17-18]等，并以此為基礎(chǔ)研究時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征．另外，有個(gè)別經(jīng)濟(jì)類文章[19]在提及其研究(如股票序列)時(shí)序不滿足遍歷性性質(zhì)時(shí)，對(duì)其的檢驗(yàn)僅以描述的形式給出，沒有模型與方法的支持．對(duì)氣溫過程變化的遍歷性研究則鮮見報(bào)道，而這又是研究全球氣候變化的基礎(chǔ)性工作．

本文在模糊粗糙聚類(fuzzy-rough C-means clustering method，F(xiàn)RCM)的基礎(chǔ)上，利用ADF(advanced Dickey and Fuller)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)和模糊最小二乘回歸(fuzzy least square regression，F(xiàn)LSR)提出一種具有普適性特點(diǎn)的遍歷性分析方法，并以上海地區(qū)1873—1997年的氣溫序列為例，分析其最高氣溫、最低氣溫和平均氣溫的變化規(guī)律以及這些氣溫的遍歷性特征．

1 遍歷性定義

遍歷性(各態(tài)歷經(jīng)性)理論中說明，若隨機(jī)過程(或序列)的均值和協(xié)方差函數(shù)都有遍歷性，則稱此隨機(jī)過程有遍歷性．

1.1均值遍歷定義

設(shè){ξ(t);t=1,2,…}是一隨機(jī)序列，考慮樣本均值序列{MT,T=1,2,…}，令

1.2協(xié)方差遍歷定義

采用均值遍歷定義與符號(hào)，令

2 氣溫時(shí)間序列的遍歷性分析

2.1上海氣候基本特征

上海市地處我國(guó)中緯地帶，瀕江臨海，屬亞熱帶海洋性季風(fēng)氣候，多年平均氣溫15.45 ℃，自1873年以來就有氣象紀(jì)錄，是我國(guó)溫度觀測(cè)資料最為完整的地區(qū)．在全球氣候呈明顯變暖趨勢(shì)的背景下，上海的氣候變化日益引起社會(huì)各界的關(guān)注，尤其是近些年來異常的市區(qū)高溫災(zāi)害性天氣頻繁出現(xiàn)，有必要針對(duì)上海百余年氣候變化特征、趨勢(shì)以及揭示極端氣溫的變化規(guī)律做一些工作，以對(duì)此有更深入的研究和認(rèn)識(shí)．

本文以上海1873—1997年的日氣溫為初始樣本數(shù)據(jù)(測(cè)溫站的經(jīng)度為121.26°(E)，緯度為28° (N))，分別選取了各月的最高氣溫、最低氣溫和平均氣溫作為上海歷年氣溫變化的主要研究對(duì)象，來考察上海氣溫的變化規(guī)律．然而，每類氣溫受到季節(jié)和其他因素的影響，或表現(xiàn)一定的周期性質(zhì)，或序列振幅較大，使得在此種分類下的氣溫不具有平穩(wěn)性[20-21]．為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，首先采用自相關(guān)圖的方法判斷3類氣溫過程的平穩(wěn)性，如圖1所示．

圖1 上海3類氣溫變化自相關(guān)函數(shù)Fig.1 Autocorrelograms of three types of temperature in Shanghai

由圖1可知，3類氣溫變化的自相關(guān)函數(shù)以12個(gè)月為周期，即3類氣溫變化過程是不平穩(wěn)的，則更不具備遍歷特征；因此，考慮氣溫變化的分類處理，即將性質(zhì)更為接近的月份歸為一類，繼而考察其平穩(wěn)性和遍歷特征．

2.2模糊粗糙聚類分析

粗糙集(rough set)理論是1982年波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak[22]提出的一種研究不確定數(shù)據(jù)、不精確知識(shí)表達(dá)和學(xué)習(xí)歸納的一種方法，它是處理不確定性信息的又一個(gè)有力工具．

基于歷年各個(gè)月份氣溫?cái)?shù)據(jù)模糊性，采用模糊粗糙聚類(FRCM)分析數(shù)據(jù)．無論是模糊聚類(fuzzy C-means clustering method，F(xiàn)CM)[23]還是粗糙聚類(rough C-means clustering method，RCM)[22,24-25]，對(duì)初始類中心都比較敏感．為了降低聚類結(jié)果對(duì)初始類中心的依賴，得到更穩(wěn)定的分類結(jié)果，先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行模糊聚類，得到類中心，然后再進(jìn)行粗糙聚類．

在此把歷年12個(gè)月的平均氣溫、最高氣溫和最低氣溫分別作為聚類對(duì)象，用FRCM對(duì)它們分別聚類，其基本步驟設(shè)計(jì)如下所述.

(1)利用Matlab中FCM算法對(duì)氣溫?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行聚類，得到c個(gè)類及其類中心νi(i=1,2,…,c)(用i,分別表示νi對(duì)應(yīng)的聚類族的上下近似)．

(2)設(shè)xk為任一月份(k=1,2,…,12)，dik=d(xkνi)=xk-νi表示第k個(gè)月到第i個(gè)聚類中心的距離，xk到類中心νi(i=1,2,…,c)的最短距離記為dk==．

(3)若對(duì)任何的dik,i=1,2,…,c(i≠i1)，若dik-dk＞ε,i =1,2,…,c；ε 為閾值，則有xk∈；若存在djk，使djk-dk≤ε,i=1,2,…,c ，則有xk∈UBj，xk∈UBi1

，而且kx不在任何聚類族的下近似中．

(4)重復(fù)步驟(2)和步驟(3)，直到所有的月份劃分完畢．

為提高市政公用工程監(jiān)理工作的質(zhì)量，在監(jiān)理工作中需要考慮多重影響因素。在實(shí)際監(jiān)管中可采取多種積極有效的方式確保監(jiān)理工作的正常進(jìn)行，并認(rèn)真分析監(jiān)理工作中存在的不足，然后采取針對(duì)性的策略加以改進(jìn)，最終讓工程建設(shè)高質(zhì)量竣工。

RCM的聚類中心調(diào)整公式可以表示[26]為

式中wlow、wup和ε為權(quán)值. 權(quán)值是由經(jīng)驗(yàn)預(yù)先設(shè)定，然后再由試驗(yàn)逐步調(diào)整確定，一般取0.5＜wlow＜1．

上海12個(gè)月的月最高氣溫聚類(A)、月最低氣溫聚類(B)和月平均氣溫聚類(C)結(jié)果見表1．

表1 上海3類氣溫的聚類結(jié)果Tab.1 Clustering results of the three kinds of temperature in Shanghai

由表1可知，3類氣溫均被劃分為冬季型氣溫(Ⅰ型)、春秋季型氣溫(Ⅱ型)、氣候更替期(本文特指日溫差較大的春夏和夏秋更替期)型氣溫(Ⅲ型)以及夏季型氣溫(Ⅳ型)4類．

2.3平穩(wěn)性分析

2.3.1 平穩(wěn)性自相關(guān)函數(shù)圖分析

類似2.1節(jié)中的自相關(guān)函數(shù)圖分析，對(duì)上述3類氣溫的4種類型進(jìn)行平穩(wěn)性分析，觀察分類后的序列是否具有平穩(wěn)性．經(jīng)過自相關(guān)函數(shù)圖的檢驗(yàn)，結(jié)果有3個(gè)類不存在周期性質(zhì)；隨著自相關(guān)階數(shù)的增大，序列的自相關(guān)系數(shù)越來越小，可初步判斷這3個(gè)時(shí)間序列是平穩(wěn)序列，如圖2所示．

圖2 不存在周期性的3類月份自相關(guān)函數(shù)Fig.2 Autocorrelograms without periodicity of three types of months

2.3.2 平穩(wěn)性嚴(yán)格分析——ADF檢驗(yàn)

對(duì)于某一時(shí)間序列xt,t=1,2,…,n ，ADF檢驗(yàn)是檢驗(yàn)時(shí)序平穩(wěn)性的一種十分有效的方法[25-26]．因此，應(yīng)用ADF檢驗(yàn)AⅠ型(1月，2月)、AⅣ型(7月，8月)和BⅣ型(7月，8月)序列，通過計(jì)算可知，在顯著性水平1%下，3個(gè)序列都具有平穩(wěn)性[27-28]． T→∞時(shí)，D(MT)是否趨于0．圖3和圖4分別是3類平穩(wěn)序列的MT、D(MT)隨T變化的曲線．

由圖4可以看出，由于樣本量的有限性，所以D(MT)的變化趨勢(shì)尚不能夠完全確定，需對(duì)D(MT)擬合并進(jìn)行預(yù)測(cè)．由于氣溫觀測(cè)數(shù)據(jù)在獲取過程中存在不確定性，在此，可認(rèn)為精確值和觀測(cè)值之間的誤差是由系統(tǒng)的模糊性引起的，所以采用模糊最小二乘回歸模型[29]預(yù)測(cè)D(MT)的變化趨勢(shì)．

預(yù)測(cè)的步驟設(shè)計(jì)如下：①將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行模糊化，用三角模糊數(shù)表示其隸屬函數(shù)；②建立模糊非線性最小二乘回歸模型，得到關(guān)于D(MT)的回歸曲線；③對(duì)D(MT)回歸曲線去模糊化，得到D(MT)的預(yù)測(cè)曲線．

預(yù)測(cè)結(jié)果如圖5所示．

2.4遍歷性分析

在平穩(wěn)性的基礎(chǔ)上，根據(jù)遍歷性的定義，序列遍歷性的研究可分為兩個(gè)部分——均值遍歷性分析和協(xié)方差遍歷性分析．應(yīng)在序列均值遍歷性分析的基礎(chǔ)上，研究其協(xié)方差遍歷性，從而推出其是否具有過程遍歷性特征．

2.4.1 均值遍歷性分析

利用均值遍歷性定義中的計(jì)算式(1)和式(2)，計(jì)算上述分類后的平穩(wěn)序列的MT和D(MT)值，并預(yù)測(cè)

圖3 3類月份的MT變化曲線Fig.3 Graphs of MTof three types of months

圖4 3類月份D(MT)的變化曲線Fig.4 Graphs of D(MT)of three types of months

圖5 3類月份序列D(MT)預(yù)測(cè)曲線Fig.5 Forecast of D(MT) for three types of month series

由圖5可知，AⅣ型月份(7月，8月)和BⅣ型月份(7月，8月)的D(MT)隨時(shí)間推移趨向于0，即7月份和8月份最高氣溫與最低氣溫具有均值遍歷特征；而AⅠ型月份(1月，2月)的D(MT)隨時(shí)間推移未趨向于0，即冬季型最高氣溫不具有均值遍歷性．

2.4.2 協(xié)方差遍歷性分析

對(duì)有均值遍歷的AⅣ型月份(7月，8月)和BⅣ型月份(7月，8月)的氣溫，繼續(xù)考察它們的協(xié)方差遍歷性．與均值遍歷性的研究步驟類似，RT的趨勢(shì)圖和D(RT)預(yù)測(cè)結(jié)果如圖6所示．

由此可知，具有較平穩(wěn)的均值序列MT(見圖3(b)和圖3(c))，也具有較平穩(wěn)的協(xié)方差RT序列(圖6)，但不能做一般意義上的推廣，因?yàn)椴]有理論保證均值序列和協(xié)方差序列具有同樣的平穩(wěn)性，二者反映了原序列不同的屬性，不能相互等價(jià)．

圖6 2類月份RT曲線及D(RT)預(yù)測(cè)曲線Fig.6 Graphs of RTand forecast of D(RT) for two types of months

由圖6可知，AⅣ型月份(7月，8月)的D(RT)和BⅣ型月份(7月，8月)都隨著T→∞趨向于0，這說明上海7月份和8月份最高氣溫和最低氣溫都是協(xié)方差遍歷的，因此其氣溫變化過程具有遍歷特征．圖7顯示出上海夏季最高氣溫和最低氣溫的年變化大體呈上升趨勢(shì)，雖然近些年來也時(shí)有高溫等災(zāi)害性天氣出現(xiàn)，但上海夏季氣候總體還是逐漸趨于溫和[30-31]，上述研究也表明從長(zhǎng)時(shí)間尺度來看，它們的變化會(huì)圍繞其均值波動(dòng)，不會(huì)長(zhǎng)期持續(xù)上升．

圖7 上海歷年7月份和8月份極端氣溫變化及趨勢(shì)Fig.7 Variation and changing trend of extreme temperature in July and August of Shanghai in past years

上海氣溫遍歷性分析計(jì)算流程如圖8所示.

圖8 上海氣溫遍歷特征計(jì)算流程Fig.8 Flow chart of ergodic analysis of temperature in Shanghai

3 印證性分析

隨機(jī)變量分布愈是集中，其規(guī)律性愈是明顯；反之，則較差．現(xiàn)利用標(biāo)準(zhǔn)差C[5](衡量隨機(jī)變量離散程度的一個(gè)重要指標(biāo))作印證討論(C=s/×100%，s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，x為樣本均值)．上海各類氣溫分類后樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算結(jié)果如表2所示．

由表2可以看出，總體而言，有平穩(wěn)性的月份類型較無平穩(wěn)性的月份類型有較小的標(biāo)準(zhǔn)差．由此說明，標(biāo)準(zhǔn)差較小的各類月份更可能具有平穩(wěn)性，即具有更好的規(guī)律性，這與筆者的預(yù)測(cè)結(jié)果吻合．同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，CⅠ型雖也具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差，可是它不平穩(wěn)，更不具有遍歷性，由此反映了氣溫標(biāo)準(zhǔn)差所體現(xiàn)的序列規(guī)律性并不能完全涵蓋遍歷性所反映的規(guī)律．因此，基于標(biāo)準(zhǔn)差討論的均值遍歷性研究是對(duì)氣溫序列規(guī)律更深刻的挖掘．

表2 上海3類氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差Tab.2 Standard deviation of the three kinds of temperature in Shanghai

4 挖掘分析

雖然經(jīng)過FRCM分析，許多類型的月份不具有平穩(wěn)性，但是依然可以利用遍歷性定義獲得每一類型月份的均值序列TM隨T的變化情況，以挖掘上海氣溫變化的其他信息．

圖9～圖11為上海月最高氣溫、最低氣溫各類月份MT隨T的變化曲線．可以看出，在20世紀(jì)30年代左右和80年代左右，上海各類氣溫均值序列TM曲線出現(xiàn)拐點(diǎn)，這兩個(gè)時(shí)期恰恰是上海氣候出現(xiàn)明顯增暖的2個(gè)時(shí)期，這與文獻(xiàn)[30]的結(jié)論不謀而合．自這兩個(gè)時(shí)期開始，上海各類月最低氣溫、平均氣溫都有相對(duì)明顯的上升趨勢(shì)出現(xiàn)，這從MT遍歷性佐證了文獻(xiàn)[32]的研究成果.

圖9 上海月最高氣溫(A)4類月份的MT變化曲線Fig.9 Graphs of MTof monthly highest temperature(A) of four types of months

圖10 上海月最低氣溫(B)4類月份的MT變化的曲線Fig.10 Graphs of MTof monthly lowest temperature(B) of four types of months

圖11 上海月平均氣溫(C)4類月份的MT變化的曲線Fig.11 Graphs of MTof monthly mean temperature(C) of four types of months

5 結(jié) 語

本文基于上海125年(1873—1997年)的月最低氣溫、月最高氣溫及月平均氣溫3個(gè)序列的基本分析，建立了研究氣溫遍歷性的模型：①用模糊粗糙聚類的方法分別細(xì)化3類氣溫?cái)?shù)據(jù)；②通過自相關(guān)函數(shù)圖排除了非平穩(wěn)氣溫類型；③計(jì)算平穩(wěn)序列MT和D(MT)值，通過ADF的平穩(wěn)性檢驗(yàn)剔除不平穩(wěn)的序列；④利用模糊最小二乘回歸預(yù)測(cè)平穩(wěn)序列的D(MT)的變化趨勢(shì)，得到具有均值遍歷性的序列；⑤計(jì)算具有遍歷性的序列的RT和D(RT)，利用模糊最小二乘回歸預(yù)測(cè)它們的變化趨勢(shì)，考察其是否具有過程遍歷性．展開了印證性討論和進(jìn)一步的挖掘分析，佐證了前人的一些研究成果．研究結(jié)果表明，上海7月、8月份最高氣溫(AⅣ型)和最低氣溫(BⅣ型)均具有過程遍歷性，說明上海的夏季極端氣溫時(shí)序變化具有一定的規(guī)律性和穩(wěn)定性．上海的夏季極端氣溫，目前雖然呈上升趨勢(shì)，但從長(zhǎng)時(shí)間尺度來看，它們的變化會(huì)圍繞其均值波動(dòng)，不會(huì)持續(xù)上升．

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Ergodicity Analysis of Air Temperature Variation Process of Shanghai

WANG Hong-rui1，F(xiàn)ENG Qi-lei2，LIN Xin3，ZENG Wen-yi4
(1. Key Laboratory for Water and Sediment Sciences of Ministry of Education，College of Water Science，Beijing Normal University，Beijing 100875，China； 2. School of Science， Beijing Institute of Education，Beijing100011，China；3. School of Mathematical Sciences，Beijing Normal University，Beijing 100875，China；4. College of Information Science and Technology，Beijing Normal University，Beijing 100875，China)

Estimation of statistic properties of infinite air temperature processwith finite temperature materials is significant and fundamental to mid-term and long term climate forecast and global climate change studies. Therefore，ergodicity analysis of air temperature is an important research topic. In this paper，a commonly applicable ergodic property analysis model based on fuzzy-rough C-means clustering method (FRCM)，autocorrelogram，advanced Dickey and Fuller(ADF) and fuzzy least square regression (FLSR) has been proposed. The air temperature time series (1873—1997) from Shanghai hydrology station has been calculated and analyzed according to the proposed model. Results show that month-highest and month-lowest air temperatures in July and August have not only mean ergodic properties but also covariance ergodic properties. Thus the air temperature variation process is ergodic. In the long run，month-highest and month-lowest air temperatures in July and August will not keep on rising. Instead，they will fluctuate around the mean value. In the last section，the above conclusion has been confirmed by further analysis and temperature variations in Shanghai are further discussed，which corroborates some previous studies from the point of ergodicity.

air temperature of Shanghai；ergodicity；fuzzy-rough C-means clustering method(FRCM)；stationary test；fuzzy least square regression(FLSR)

P423

A

0493-2137(2010)01-0055-09

2009-04-10；

2009-09-24.

國(guó)家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(2006BAB04A08).

王紅瑞（1963— ），男，博士，副教授.

王紅瑞，henrywang@bnu.edu.cn.