基于等位移原理的二維能力譜方法

李 寧，翟長(zhǎng)海，謝禮立,3

基于等位移原理的二維能力譜方法

李 寧1,2，翟長(zhǎng)海1，謝禮立1,3

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，哈爾濱 150090；2. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津300072；3. 中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所，哈爾濱 150080)

由于無法考慮地震動(dòng)的多維性和結(jié)構(gòu)的空間耦合特性，現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)性態(tài)評(píng)估方法多數(shù)無法用于偏心結(jié)構(gòu)性態(tài)評(píng)估．在建立等效二自由度模型(EDDOF)的基礎(chǔ)上，提出了基于等位移原理的二維能力譜方法，用彈性峰值反應(yīng)近似計(jì)算結(jié)構(gòu)的目標(biāo)位移，采用模態(tài)Pushover分析(MPA)方法求出體系能力譜，并應(yīng)用于EDDOF模型，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)性態(tài)反應(yīng)．通過一個(gè)偏心鋼框架結(jié)構(gòu)算例驗(yàn)證了二維能力譜方法的正確性．結(jié)果表明：基于等位移原理的二維能力譜方法用于偏心結(jié)構(gòu)的性態(tài)反應(yīng)評(píng)估，具有計(jì)算精度可靠、求解效率高的特點(diǎn)．

等位移；扭轉(zhuǎn)；靜力非線性分析；性態(tài)評(píng)估；模態(tài)Pushover

地震中建筑物的損毀是造成人民生命和財(cái)產(chǎn)損失的一個(gè)重要原因．大量的震害調(diào)查表明，扭轉(zhuǎn)效應(yīng)是造成結(jié)構(gòu)在地震中破壞的關(guān)鍵因素之一．然而，目前能力譜分析方法使用平面二維模型進(jìn)行分析，無法考慮平扭耦聯(lián)反應(yīng)，也就無法對(duì)偏心結(jié)構(gòu)的抗震能力進(jìn)行合理分析．為此，研究者提出了許多性態(tài)分析方法[1-3]，用以評(píng)估結(jié)構(gòu)在地震中的扭轉(zhuǎn)性態(tài)反應(yīng)．遺憾的是這些方法往往對(duì)模型有一定針對(duì)性，較難推廣．目前，尚欠缺一種簡(jiǎn)便的、針對(duì)偏心結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)抗震能力評(píng)估的高效分析方法．

能力譜方法可對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力非線性分析，求出結(jié)構(gòu)抗震能力．在確定結(jié)構(gòu)抗震能力過程中，如何確定目標(biāo)位移并結(jié)束分析過程，是能力譜方法應(yīng)用中的一個(gè)關(guān)鍵問題．目標(biāo)位移也體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的非線性抗震能力，基于等效單自由度的非彈性反應(yīng)譜就成為確定目標(biāo)位移的首選途徑[4]．非彈性反應(yīng)譜方法已有較多研究成果[5-7]，而對(duì)于偏心結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化多自由度模型[2-3,8]，現(xiàn)有成果還不能直接推廣應(yīng)用．這主要是由于偏心結(jié)構(gòu)的非彈性反應(yīng)規(guī)律十分復(fù)雜，有待進(jìn)一步研究．等位移原理是估計(jì)結(jié)構(gòu)非彈性反應(yīng)中的經(jīng)典方法，上述非彈性反應(yīng)譜研究成果，對(duì)等位移原理也提供了支持，例如，Chopra等[5]認(rèn)為，對(duì)不同強(qiáng)度折減系數(shù)和延性條件下周期大于0.7,s的結(jié)構(gòu)，其非彈性峰值反應(yīng)與彈性反應(yīng)比已很接近1．由簡(jiǎn)化單自由度導(dǎo)出的非彈性反應(yīng)譜不再適用于平扭耦聯(lián)模型，本文將等位移原理引入偏心結(jié)構(gòu)的性態(tài)評(píng)估之中，對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化．

本文是對(duì)文獻(xiàn)[8]中方法的研究改進(jìn)，通過將等位移原理引入偏心結(jié)構(gòu)性態(tài)抗震評(píng)估中，利用等位移的概念對(duì)結(jié)構(gòu)非彈性變形進(jìn)行近似計(jì)算，而后利用模態(tài)Pushover分析(modal Pushover analysis，MPA)方法求出結(jié)構(gòu)的抗震能力及地震作用下的變形需求．

1 分析方法

這里對(duì)分析方法做一簡(jiǎn)要介紹，詳細(xì)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[8]．具體操作流程是對(duì)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)微分方程組進(jìn)行模態(tài)分解和平扭自由度分別解耦，最終化簡(jiǎn)為依模態(tài)的運(yùn)動(dòng)微分方程，即

式中：xxc、xcθ、xcθ和cθθ為阻尼矩陣中對(duì)應(yīng)于不同坐標(biāo)的元素(下標(biāo)x表示x方向的元素，下標(biāo)θ表示扭轉(zhuǎn)方向的元素，下標(biāo)xθ和θx表示x方向和扭轉(zhuǎn)方向的耦聯(lián)阻尼項(xiàng))；gu˙˙為地震作用時(shí)程，即加速度地震記錄；m、I為集中在頂部質(zhì)心處的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；kx為模型底端抵抗x方向彎矩的彈簧剛度；kθ為上端抗扭彈簧剛度；e為偏心距．式中相應(yīng)符號(hào)含義如圖1所示，并略去了表示模態(tài)階數(shù)的角標(biāo)n．式(1)描述了一個(gè)簡(jiǎn)化二自由度 (equivalent dual degree of freedom，EDDOF) 模型的運(yùn)動(dòng)平衡狀態(tài)．

原偏心結(jié)構(gòu)平動(dòng)、扭轉(zhuǎn)的能力譜，可由MPA進(jìn)行求解，即用偏心體系的頂點(diǎn)位移和頂點(diǎn)扭轉(zhuǎn)角可求出譜位移，即

式中：Dxn為與平動(dòng)x方向、第n階模態(tài)對(duì)應(yīng)的譜位移；urxn為頂點(diǎn)處(r表示roof)、第n階模態(tài)沿x方向的位移反應(yīng)；Гn為第n階模態(tài)參與系數(shù)；φrxn為頂點(diǎn)處、第n階模態(tài)向量x方向的元素?cái)?shù)值．

用基底剪力、扭矩可求出模態(tài)譜加速度

式中：Vbn和Tbn分別為基底剪力和扭矩；Mn為第n階模態(tài)質(zhì)量；Γxn和Γθn分別為沿x軸平動(dòng)和繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的模態(tài)參與系數(shù)．

圖1 EDDOF體系示意Fig.1 Scheme of EDDOF system

2 基于等位移原理的二維能力譜方法

采用MPA方法求出不同模態(tài)的能力譜．對(duì)原結(jié)構(gòu)施加式(4)所示的側(cè)向荷載模式進(jìn)行靜力非線性分析，可求出結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)變形與基底反力關(guān)系曲線．

式中：xnφ、nθφ為第n階模態(tài)沿x軸的分量和扭轉(zhuǎn)分量；m和I為對(duì)角質(zhì)量矩陣和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣．基于模態(tài)的多維加載會(huì)導(dǎo)出高維能力譜．

分析過程中，由于同時(shí)考慮平動(dòng)和扭轉(zhuǎn)非線性變形，MPA高階模態(tài)迭代確定目標(biāo)位移時(shí)，需同時(shí)考慮平動(dòng)和扭轉(zhuǎn)的延性或強(qiáng)度系數(shù)；而進(jìn)入非線性階段后，平扭方向的非線性參數(shù)一般不同，并存在耦合現(xiàn)象．本研究基于等位移原理，假定結(jié)構(gòu)在地震動(dòng)作用下的彈性反應(yīng)與非彈性反應(yīng)峰值大致相同，以此為近似目標(biāo)位移進(jìn)行靜力分析，并認(rèn)為該簡(jiǎn)化對(duì)等效雙線性能力曲線引入的誤差可以忽略．另外，由于偏心結(jié)構(gòu)的模態(tài)復(fù)雜性，通過控制位移增量的MPA過程中(高階模態(tài))，中間某層位移變形可能較大，往往不能簡(jiǎn)單采用頂層位移為控制變量．彈性譜分析可以快速確定出變形最大層的位置，以此節(jié)點(diǎn)為增量控制節(jié)點(diǎn)，可使靜力非線性分析更具魯棒性．其他運(yùn)算過程可參考文獻(xiàn)[8]．

需要說明的是，這種方法對(duì)于特定地震動(dòng)輸入下的變形需求求解精度好且效率很高，而引入彈性譜分析并沒有顯著增加運(yùn)算量．通常結(jié)構(gòu)的性態(tài)反應(yīng)都可以由位移或變形為基本指標(biāo)導(dǎo)出，本文采用結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)位移反應(yīng)作為性態(tài)指標(biāo)進(jìn)行驗(yàn)證，求解過程是對(duì)各模態(tài)分別求解而后疊加．

3 二維能力譜方法的驗(yàn)證

3.1結(jié)構(gòu)模型

圖2 2009年E-Defence盲測(cè)模型示意(單位：m)Fig.2 Model of E-Defence blind-test in 2009(unit：m)

結(jié)構(gòu)模型采用一個(gè)5層足尺鋼框架實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚9]，如圖2所示．柱、梁構(gòu)件材料分別采用SN400B和BCR295結(jié)構(gòu)鋼，樓板為壓型鋼板上鋪混凝土(波高75,mm、厚1.2,mm壓型鋼板)，翼緣以上混凝土厚80,mm，板中配筋為D10@200．2層樓板～5層樓頂?shù)闹亓糠謩e為844,kN、824,kN、820,kN、783,kN和 1,451,kN[10]．將各層質(zhì)心(center of mass，CM)沿長(zhǎng)軸方向偏置2.0,m，剛心(center of stiffness，CS)不變，使該結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量均呈偏心狀態(tài)．本文中的分析軟件采用加州大學(xué)Berkeley分校開發(fā)的有限元軟件OpenSees[11]，梁柱單元采用塑性鉸宏單元進(jìn)行模擬．通過修改原程序，令其在分析過程中導(dǎo)出剛度和質(zhì)量矩陣，進(jìn)而用于模態(tài)分析和建立EDDOF模型．所述算法均采用Tcl/Tk腳本語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)．

3.2EDDOF體系參數(shù)確定

假定沿x方向作用地震荷載，參考第1節(jié)中所述的模態(tài)分析步驟，由體系的剛度和質(zhì)量矩陣進(jìn)行模態(tài)分析得出EDDOF模型參數(shù)，如表1所示．其中，非耦合方向的反應(yīng)(此處為沿y軸的平動(dòng)反應(yīng))可獨(dú)立分析計(jì)算，而與扭轉(zhuǎn)耦合方向的反應(yīng)(x軸向和繞z軸扭轉(zhuǎn))需考慮耦合效應(yīng)影響．本文分析時(shí)取前3階模態(tài)，表1中略去了y向振動(dòng)所對(duì)應(yīng)的第Ⅲ模態(tài)數(shù)據(jù)(以下相同)．

表中Kn、Mn分別為第n模態(tài)等效EDDOF模型的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣．對(duì)于第1、2模態(tài)分別對(duì)應(yīng)的2個(gè)子模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)參與系數(shù)如表2所示，其中Φ為模態(tài)向量，T為對(duì)應(yīng)周期，Γ為模態(tài)參與系數(shù)，M為模態(tài)參與質(zhì)量．

表1 EDDOF體系屬性Tab.1 Properties of EDDOF system

表2 EDDOF體系的模態(tài)信息Tab.2 Modal information of EDDOF system

由表2可以看出，Ⅰ2表示第Ⅰ模態(tài)中模態(tài)參與系數(shù)為1的子模態(tài)(對(duì)平動(dòng)反應(yīng)起支配作用，模態(tài)參與質(zhì)量為1.0)；Ⅰ1為第Ⅰ模態(tài)中，對(duì)平動(dòng)反應(yīng)幾乎沒有貢獻(xiàn)的振動(dòng)模式(模態(tài)參與質(zhì)量為0.001,4，模態(tài)參與系數(shù)為0.002)；同理，Ⅱ1、Ⅱ2分別為第Ⅱ模態(tài)導(dǎo)出的子模態(tài)．即由第Ⅰ模態(tài)的子模態(tài)Ⅰ2產(chǎn)生的反應(yīng)，與EDDOF的平動(dòng)反應(yīng)一致；而由第Ⅱ模態(tài)的子模態(tài)Ⅱ1產(chǎn)生的反應(yīng)，與EDDOF的扭轉(zhuǎn)反應(yīng)一致．分析表明，子模態(tài)周期(1.092,s和0.623,s)與原體系第Ⅰ、Ⅱ模態(tài)分別對(duì)應(yīng)．這說明，EDDOF的振動(dòng)特性以及子模態(tài)特性與原結(jié)構(gòu)第Ⅰ、Ⅱ模態(tài)各自對(duì)應(yīng)，符合結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的模態(tài)分析理論．同理，更高階模態(tài)也可以用相同方法分析．

3.3與時(shí)程分析結(jié)果的對(duì)比

對(duì)5層鋼框架模型進(jìn)行彈性反應(yīng)譜分析，阻尼比為0.02，所得第Ⅰ模態(tài)頂點(diǎn)x方向最大位移為0.79,m，第Ⅱ模態(tài)頂點(diǎn)x方向最大位移為0.14,m．將該位移作為體系第Ⅰ、Ⅱ模態(tài)的目標(biāo)位移，對(duì)模型進(jìn)行MPA分析，計(jì)算出體系的頂點(diǎn)位移(扭轉(zhuǎn)角)-基底反力(扭矩)曲線，并簡(jiǎn)化為等效雙線性模型，作為EDDOF的恢復(fù)力骨架曲線，如圖3和圖4所示(Sa為譜加速度，Sd為譜位移)．推覆曲線中可見明顯的非線性退化和強(qiáng)化現(xiàn)象，該簡(jiǎn)化模型可以合理地模擬體系的非線性反應(yīng)．

圖3 第Ⅰ模態(tài)對(duì)應(yīng)的力-變形關(guān)系曲線Fig.3 Curves of force-deformation relationship for modeⅠof EDDOF

圖4 第Ⅱ模態(tài)對(duì)應(yīng)的力-變形關(guān)系曲線Fig.4 Curves of force-deformation relationship for modeⅡof EDDOF

對(duì)原型結(jié)構(gòu)和EDDOF體系分別施加峰值調(diào)整為5,m/s2,的TAK090地震動(dòng)(1995 Kobe地震，JR Takatori Station臺(tái)站)，進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程反應(yīng)分析，時(shí)程反應(yīng)結(jié)果如圖5所示．

從圖5可以看出，兩者的時(shí)程反應(yīng)總體吻合較好，峰值反應(yīng)基本一致．在體系進(jìn)入彈塑性反應(yīng)階段后，其誤差仍在可接受范圍之內(nèi)．由EDDOF給出的結(jié)果為前二階模態(tài)的組合結(jié)果，若考慮對(duì)滯回曲線采用更高精度的滯回規(guī)則后，可進(jìn)一步提高體系非彈性位移反應(yīng)的估計(jì)精度．

此外，在等位移原理應(yīng)用的過程中，高階模態(tài)的結(jié)構(gòu)反應(yīng)常保持為彈性，故僅需對(duì)前幾階模態(tài)(對(duì)空間結(jié)構(gòu)一般為前1～6階)采用本文分析方法即可．

圖5 原型結(jié)構(gòu)和EDDOF的非彈性反應(yīng)對(duì)比(TAK090，5.m/s2)Fig.5 Comparison of inelastic response between prototype and EDDOF system(TAK090，5.m/s2)

4 結(jié) 語(yǔ)

本文通過將等位移原理概念引入偏心結(jié)構(gòu)的能力譜方法中，提出了基于等位移原理的二維能力譜方法，簡(jiǎn)化了確定多維能力譜中非彈性反應(yīng)峰值的計(jì)算步驟，無需迭代，提高了計(jì)算效率．對(duì)一個(gè)5層鋼框架結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行分析的結(jié)果表明：本文方法可以較好地反映水平偏心結(jié)構(gòu)進(jìn)入非彈性狀態(tài)時(shí)的變形需求，精度可靠、效率高，可作為水平偏心結(jié)構(gòu)抗震性態(tài)的分析工具．

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Two-Dimensional Capacity Spectrum Method Based on Equal-Displacement Rule

LI Ning1,2，ZHAI Chang-hai1，XIE Li-li1,3
(1. School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150090，China；2. School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；3. Institute of Engineering Mechanics，China Earthquake Administration，Harbin 150080，China)

Most of the existing simplified performance evaluation methods cannot be applied to asymmetric structures evaluation，as they have not taken into account the multi-dimensional ground motions or the spatial coupled effect of the structures. With establishment of the equivalent dual degree of freedom (EDDOF) model，an equal-displacement rulebased two-dimensional capacity spectrum method has been proposed. The target displacement was approximated by the maximum elastic responses according to the equal-displacement rule. The capacity spectra of the system were calculated with modal Pushover analysis (MPA) procedure and applied to EDDOF model，and the performance of the structures was obtained. An asymmetric steel frame has been used to verify the two-dimensional capacity spectrum method，whose results show that the two-dimensional capacity spectrum method based on equal-displacement rule can evaluate the seismic performanceof asymmetric structures with precision，reliability，and efficiency.

equal-displacement；rotation；nonlinear static analysis；performance evaluation；modal Pushover

TU311.4

A

0493-2137(2010)01-0021-05

2009-03-16；

2009-06-05.

國(guó)家自然科學(xué)基金重大研究計(jì)劃培育項(xiàng)目(90815014；90715021).

李 寧（1981— ），男，博士研究生.

李 寧，nealleehit@126.com.