基于System Generator的Gardner算法的建模與實(shí)現(xiàn)

趙旭東，於 輝，劉榮毅

（桂林電子科技大學(xué) 信息與通信學(xué)院，廣西 桂林 541004）

同步是通信系統(tǒng)中一個(gè)重要的實(shí)際問題。通信系統(tǒng)能否有效地、可靠地工作，很大程度上依賴于有無良好的同步系統(tǒng)。在數(shù)字通信中，消息是由一串連續(xù)的信號(hào)碼元傳遞的。這些碼元通常都有相同的持續(xù)時(shí)間。接收端接收這個(gè)碼元序列時(shí)，一般均需知道每個(gè)碼元的起止時(shí)刻，從而對(duì)碼元進(jìn)行判決。在接收端產(chǎn)生與接收碼元的重復(fù)頻率和相位一致的定時(shí)脈沖序列的過程稱為碼元同步或位同步、位定時(shí)，而稱這個(gè)定時(shí)脈沖序列為碼元同步脈沖或位同步脈沖[1]。

Gardner算法是位同步算法的一種，應(yīng)用廣泛，實(shí)現(xiàn)方法很多，傳統(tǒng)方法是用DSP或Quartus，這里給出一種新的實(shí)現(xiàn)方式，即用System Generator實(shí)現(xiàn)。System Generator for DSP是業(yè)內(nèi)領(lǐng)先的高級(jí)系統(tǒng)級(jí)FPGA開發(fā)工具，借助FPGA設(shè)計(jì)高性能DSP系統(tǒng)，其強(qiáng)大的提取功能可利用最先進(jìn)的FPGA來開發(fā)高度并行的系統(tǒng)，并和Simulink實(shí)現(xiàn)無縫鏈接，快速建模并自動(dòng)生成代碼。System Generator最大特點(diǎn)是利用Simulink建模和仿真環(huán)境實(shí)現(xiàn)FPGA設(shè)計(jì)，而無需了解和使用RTL級(jí)硬件語言，讓DSP設(shè)計(jì)者能夠發(fā)揮基于FPGA的DSP的最大性能和靈活性，并縮短整個(gè)設(shè)計(jì)的周期[2]。

1 Gardner算法原理

實(shí)現(xiàn)位同步的核心問題是如何提取位同步誤差信息。常用算法有：米勒－穆勒算法、早遲門算法和Gardner算法。這些算法各有各的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，其中，米勒－穆勒算法在計(jì)算位同步誤差所需的采樣點(diǎn)最少，每個(gè)符號(hào)只需1個(gè)采樣點(diǎn)，但是載波相位對(duì)其影響較大，所以在位同步之前必須完成載波同步；早遲門算法要求每個(gè)符號(hào)不少于3個(gè)采樣點(diǎn)，這樣在高速率數(shù)據(jù)傳輸?shù)臈l件下很難實(shí)現(xiàn)；Gardner算法要求每個(gè)符號(hào)至少有2個(gè)采樣點(diǎn)，并且在進(jìn)行位同步提取時(shí)對(duì)載波相位不敏感，因而使用廣泛。以下給出Gardner算法原理。

Gardner算法給出的位同步鑒相誤差值u（k）為：

式（1）用 x（k）表示接收機(jī)對(duì)某采樣時(shí)刻碼元的采樣值，由于該采樣時(shí)刻與理想的采樣時(shí)刻有一定的偏差，所以x（k）并不一定是眼圖張開最大時(shí)所對(duì)應(yīng)的采樣值，x（k-1）為前一個(gè)碼元的采樣值，x（k-1/2）為采樣時(shí)刻在x（k）和x（k-1）中間位置對(duì)應(yīng)的采樣值。

通過圖1理解Gardner算法位同步鑒相誤差式（1）。當(dāng)相鄰碼元之間發(fā)生跳變時(shí)，且位同步已經(jīng)鎖定，如圖1（a）所示，則有x（k-1/2）=0，所以u(píng)（k）=0；若位同步信號(hào)滯后于理想時(shí)鐘，如圖1（b）所示，則有u（k）>0；若位同步信號(hào)滯后于理想時(shí)鐘，如圖1（c）所示，則有u（k）<0；另外，當(dāng)相鄰碼元之間沒有發(fā)生跳變時(shí)，x（k）-x（k-1）=0，則u（k）=0，此時(shí)位同步信號(hào)可能存在超前或滯后，但算法無法進(jìn)行判斷。這一點(diǎn)可以從碼元的特征加以解釋，因?yàn)橹挥性诖a元發(fā)生跳變的時(shí)刻才包含位同步信息，也才有可能加以利用。

圖1 Gardner算法示意圖

綜上可知，Gardner算法可以檢測(cè)出位同步信號(hào)的超前或滯后現(xiàn)象，將其經(jīng)過環(huán)路濾波器濾去高頻分量后，可用于控制模塊，產(chǎn)生位同步信號(hào)及內(nèi)插濾波器的偏移參數(shù)。在本文中運(yùn)用正交的方法來實(shí)現(xiàn)Gardner算法，因此將式（1）轉(zhuǎn)化成以下形式[3]：

式中，I，Q分別表示相互正交的信號(hào)。

根據(jù)式（2）可以得到Gardner算法同步環(huán)路的基本結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

圖2 Gardner算法同步環(huán)路結(jié)構(gòu)圖

2 Gardner算法的建模

在System Generator的基礎(chǔ)上進(jìn)行建模，而System Generator有一個(gè)和Simulink庫(kù)相同，且功能強(qiáng)大的庫(kù)，該包括很多以被引用在Simulink模型的模塊，從而達(dá)到設(shè)計(jì)要求。

2.1 定時(shí)誤差檢測(cè)

同步誤差檢測(cè)模塊的建模主要是在Gardener算法基礎(chǔ)上，根據(jù)式（2），并運(yùn)用System Generator庫(kù)中的模塊而建立的。所建的同步誤差檢測(cè)模塊的模型圖如圖3所示。在此模塊中加了一個(gè)使能輸入端口，此端口和位同步信號(hào)相連，因此該模塊的輸出信號(hào)的速率與位同步信號(hào)的頻率相同。

圖3 同步檢測(cè)模塊模型

2.2 環(huán)路濾波器

環(huán)路濾波器的作用是對(duì)定時(shí)誤差檢測(cè)模塊輸出的定時(shí)誤差進(jìn)行濾波，利用定時(shí)誤差產(chǎn)生數(shù)控振蕩器的步長(zhǎng)更新量，輸出給后面定時(shí)同步控制器模塊使用。環(huán)路濾波器采用有源比例積分濾波器，其傳遞函數(shù)的離散域形式為：

可以得出環(huán)路濾波器的時(shí)域－遞歸方程為：

式中，參數(shù)k1，k2由整個(gè)定時(shí)環(huán)路確定，其值設(shè)定見文獻(xiàn)[4]。

2.3 內(nèi)插濾波器

內(nèi)插器的功能是當(dāng)位同步信號(hào)到來時(shí)，輸出原信號(hào)的采樣值。如果當(dāng)位同步信號(hào)到來時(shí)正處于數(shù)據(jù)流中2個(gè)數(shù)據(jù)的中間時(shí)刻，事實(shí)上有很大幾率同步信號(hào)位于2個(gè)數(shù)據(jù)中間時(shí)刻，這時(shí)內(nèi)插器就根據(jù)相鄰的多個(gè)采樣值估算出該時(shí)刻的采樣值。該設(shè)計(jì)采用帶參數(shù)的4點(diǎn)分段擬合內(nèi)插的Parab算法，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)是Farrow結(jié)構(gòu)[5]。內(nèi)插濾波器的模型如圖4所示。

2.4 控制器模塊

控制器模塊是由數(shù)控振蕩器NCO和分?jǐn)?shù)間隔計(jì)數(shù)器組成的，數(shù)控振蕩器NCO的功能是根據(jù)環(huán)路濾波器的輸出來調(diào)節(jié)輸出的位同步信號(hào)，分?jǐn)?shù)間隔計(jì)數(shù)器是計(jì)算內(nèi)插濾波器所需的分?jǐn)?shù)間隔，即小數(shù)偏移量。數(shù)控振蕩器是一個(gè)遞減的計(jì)數(shù)器，其差分方程[6]：

式中，η（m）是數(shù)控振蕩器的寄存器變量，w（m）是數(shù)控振蕩器控制字，控制字w（m）是一個(gè)正的小數(shù)，該控制數(shù)是根據(jù)環(huán)路濾波器的輸出確定的。

w（m）和環(huán)路濾波器的輸出datain之間關(guān)系：

內(nèi)插濾波器所需的分?jǐn)?shù)間隔為μk：

System Generator庫(kù)中Black Box模塊可以內(nèi)嵌硬件描述語言，比如VHDL和Verilog，嵌入后就能像其他模塊一樣使用。由上述分析可看到控制器模塊功能較復(fù)雜，運(yùn)用System Generator的基本模塊建模實(shí)現(xiàn)控制器模塊較困難，且效率不高，因此根據(jù)控制器模塊原理，運(yùn)用硬件描述語言Verilog編寫程序，然后把該程序內(nèi)嵌進(jìn)Black Box模塊中，最終實(shí)現(xiàn)控制器模塊。

3 硬件協(xié)同仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證并實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)，現(xiàn)在運(yùn)用小型SDR開發(fā)平臺(tái)SFF SDR DP作為目標(biāo)板，同時(shí)選用π/4-DQPSK作為信源實(shí)現(xiàn)并驗(yàn)證該系統(tǒng)。根據(jù)π/4-DQPSK信號(hào)的調(diào)制原理，運(yùn)用System Generator基本模塊實(shí)現(xiàn)對(duì)二進(jìn)制序列的π/4-DQPSK基帶調(diào)制，產(chǎn)生兩路相互正交π/4-DQPSK基帶信號(hào)，此兩路經(jīng)過滾降系數(shù)為0.5的升余弦成型濾波后，并加入均值為0的高斯白噪聲，輸出到Gardner算法的位同步模塊，最終輸出經(jīng)過同步的π/4-DQPSK信號(hào)。

搭建好系統(tǒng)后，在System Generator模塊中compilation type為Hardware Co-Simulation即與硬件協(xié)同仿真，然后點(diǎn)擊Generator產(chǎn)生硬件協(xié)同仿真模塊，將此模塊與未經(jīng)同步的π/4-DQPSK信號(hào)相連，連接好JTAG口，啟動(dòng)硬件協(xié)同仿真。運(yùn)用ChipScop觀測(cè)各點(diǎn)波形，圖5是定時(shí)誤差檢測(cè)模塊輸出的收斂曲線，從圖5中看到經(jīng)約700個(gè)符號(hào)周期后，整個(gè)環(huán)路到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)位同步。而圖6是同步前后π/4-DQPSK信號(hào)的星座圖。從圖6中看出Gardner算法能夠正確恢復(fù)位同步信號(hào)。

圖5 定時(shí)誤差收斂曲線

圖6 同步前后的星座圖

4 結(jié) 論

提出了基于System Generator的Gardner算法的建模與實(shí)現(xiàn)，在此過程中運(yùn)用System Generator的圖形化設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了Gardner算法的建模與仿真，免去HDL的復(fù)雜編程，提高了效率，縮短開發(fā)時(shí)間，同時(shí)也驗(yàn)證Gardner算法的正確性，Gardner算法每個(gè)碼元周期只需2個(gè)采樣點(diǎn)就能提取出位同步信號(hào)，這使得Gardner算法得到廣泛應(yīng)用。

[1]黃松.π/4-DQPSK基帶差分技術(shù)研究及數(shù)據(jù)傳輸實(shí)現(xiàn)[D].四川：電子科技大學(xué)，2006.

[2]田耘，徐文波.Xilinx FPGA開發(fā)使用教程[M].北京：清華大學(xué)出版社.，2008：11.

[3]Gardner F M.A BPSK/QPSK timing-error detector for sampled receivers[J].Commun.，1986（41）： 423-429.

[4]Shayan Y R，Le-Ngoc T.All digital phase-loccked loop：concept，design and applications[J].IEEE Proceedings，1989.

[5]Erup L，Gardner F M，Harris R A.Interpolation in digital modems-Part II：implementation and performance[J].Commun，1993（41）：998-1008.

[6]Gardner F M.Interpolation in digital modems-Part I：Fundamentals[J].IEEE Trans.，1993（41）：502-508.