基于載荷-強度干涉模型的零件可靠性分析

高 鵬 謝里陽

東北大學(xué),沈陽,110004

0 引言

可靠性是貫穿于產(chǎn)品全生命周期內(nèi)用以衡量產(chǎn)品質(zhì)量的重要指標(biāo),包含于產(chǎn)品的規(guī)劃、設(shè)計、制造、試驗、管理以及維修的各個環(huán)節(jié)中。零件作為機械產(chǎn)品的重要組成部分,其可靠性的正確評估對于產(chǎn)品的安全運行具有重大的實際意義。

載荷-強度干涉模型是分析機械零部件可靠性的重要手段。在載荷和強度已知的條件下,可以利用載荷-強度干涉模型通過積分來計算零件強度大于載荷的概率。但是傳統(tǒng)的載荷-強度干涉模型往往只考慮載荷作用一次時零件的可靠度,忽略了載荷作用次數(shù)對可靠度計算的影響[1-5]。文獻[6]分析了考慮載荷作用次數(shù)的零件可靠度分析方法,較好地分析了載荷作用次數(shù)對零件和系統(tǒng)可靠性的影響,但建立的模型實際上將強度看作隨機變量,認(rèn)為載荷作用過程中強度不退化。文獻[7]分析了零件強度的退化規(guī)律。文獻[8]將載荷和強度這兩個因素相結(jié)合,考慮了強度隨載荷作用次數(shù)的退化規(guī)律,更加符合零部件的實際工作狀態(tài),但所建立的模型沒有考慮載荷的隨機性及其對強度退化過程的影響,不能用于隨機載荷下的零件可靠度分析。

此外,上述文獻中提出的模型只適用于零件承受一種載荷的分析,且沒有考慮載荷出現(xiàn)次數(shù)的隨機性。實際上,機械零部件除了承受正常的工作載荷以外,還會受到外界環(huán)境產(chǎn)生的隨機載荷的作用。當(dāng)外界載荷的出現(xiàn)次數(shù)與工作載荷的出現(xiàn)次數(shù)都是隨機的,且載荷不同時出現(xiàn)時,則要考慮載荷次數(shù)與時間的關(guān)系,分析零件可靠度與時間的關(guān)系。

因此,本文考慮隨機載荷對于強度退化的影響,提出考慮隨機載荷作用次數(shù)以及強度隨著載荷作用次數(shù)增加而逐漸退化時的可靠度計算模型,該模型反映了考慮強度退化時零件可靠度與隨機載荷作用次數(shù)的關(guān)系;在此基礎(chǔ)上,通過分析不同載荷的出現(xiàn)次數(shù)與時間的關(guān)系,得到多個載荷共同作用下可靠度隨時間的變化規(guī)律。

1 考慮強度退化時可靠度與載荷作用次數(shù)的關(guān)系

1.1 載荷-強度干涉模型理論

載荷-強度干涉模型被廣泛應(yīng)用于機械零件的可靠度分析,其基本思想是計算強度大于載荷的概率。這里的載荷和強度是廣義的,載荷可以是應(yīng)力、溫度、腐蝕、載荷的作用次數(shù)等,強度可以是疲勞強度、抗熱性、抗腐蝕性、零件的失效循環(huán)數(shù)等。

如圖1所示,陰影部分表示載荷和強度的干涉區(qū)。零件承受的載荷為s,強度為 r,f s(s)、f r(r)分別為載荷和強度的概率密度函數(shù)。假設(shè)載荷和強度是相互獨立的兩個隨機變量,用F r(?)表示強度的分布函數(shù),則載荷-強度干涉模型可表示為

1.2 考慮強度退化時可靠度與載荷作用次數(shù)的關(guān)系

載荷大小的不同會對零件造成不同程度的損傷,同時強度也在載荷的多次作用下不斷退化,如圖2所示。零件承受不同大小的載荷時,其退化規(guī)律是不相同的。例如,在零件第一次承受的載荷分別為s1、s2兩種情況下,如果s1遠大于s2,它們對零件造成的損傷是不同的。那么當(dāng)載荷作用第二次時,載荷-強度干涉模型中的強度應(yīng)該使用不同的概率密度函數(shù)來描述。在指定的載荷作用次數(shù)內(nèi),隨機載荷每次出現(xiàn)的大小可能都不相同,所以在整個作用過程中,每次使用干涉模型進行計算時強度的概率密度函數(shù)是無法確定的。也就是說隨機載荷作用多次時,無法對零件強度退化的統(tǒng)計特性進行描述,或者說需要做大量的實驗進行統(tǒng)計分析,這在現(xiàn)實中是無法實現(xiàn)的。因此,本文提出隨機載荷作用下,考慮強度隨載荷作用次數(shù)增加而逐漸退化的可靠度計算模型來近似說明零件可靠度隨載荷作用次數(shù)的變化規(guī)律。

用f si(si),f ri(r i)分別表示第i次作用時載荷和強度的概率密度函數(shù),用R(n)表示零件總共承受n次載荷作用而不發(fā)生失效的概率,Ri表示載荷作用第i次時零件不發(fā)生失效的概率。假設(shè)零件的初始可靠度為R 0,則隨機載荷作用了n次(n≥1)后的可靠度為

前面已經(jīng)分析,在隨機載荷作用下,統(tǒng)計零件強度隨載荷次數(shù)的變化規(guī)律是非常困難的。為了使式(2)更加便于工程應(yīng)用,提出以下近似可靠性分析模型：

對于載荷 si,其取確定值 s0的概率為f si(s0)d s0,根據(jù)線性損傷等效原理,s0作用一次造成的損傷為1/Ns0(Ns0為s0作用下的零件使用壽命)。又由零件的S-N曲線,得到Ns0sm0=C(C為材料常數(shù)),所以1/Ns0=sm0/C。因此,隨機載荷si作用一次造成的損傷Q的期望值為

令E(Q)等價為載荷sqi作用一次所造成的損傷,則

稱sqi為損傷等效載荷。考慮強度退化及載荷作用次數(shù)時可靠度的計算方法如下：第一次載荷作用時,載荷與初始強度進行干涉,計算出作用一次的可靠度,計算損傷等效載荷sq1;第二次載荷作用時,強度的概率密度函數(shù)為確定的損傷等效載荷sq1作用一次后的概率密度函數(shù),與載荷進行干涉,得到第二次載荷作用時的可靠度,并計算損傷等效載荷sq2;第三次強度的概率密度函數(shù)為確定載荷sq1、sq2依次作用后的概率密度函數(shù);依此類推,最后將每次計算得到的可靠度相乘,則得到指定載荷作用次數(shù)下零件可靠度。

用f ri(ri|sq1,sq2,…,sqi-1)表示確定性的等效載荷sq1,sq2,…,sqi-1依次作用后零件強度的概率密度函數(shù),則

在實際工程中,為方便計算,往往對零件所承受的載荷用各態(tài)歷經(jīng)隨機過程來描述。這類隨機載荷的特點是載荷母體的概率分布與絕對時間無關(guān),可以通過對子樣的觀察來估計載荷母體的統(tǒng)計特征。因此,為了方便工程應(yīng)用,本文假設(shè)載荷具有以上的統(tǒng)計特性,并用 f s(s)表示載荷的概率密度函數(shù),強度概率密度函數(shù)遵循由 f s(s)確定的載荷sq作用下的變化規(guī)律,從而能夠方便地近似計算零件可靠度隨載荷作用次數(shù)變化的規(guī)律。這樣,式(5)可以寫成

其中,f ri(ri|sq)為確定載荷sq作用下零件承受第i次載荷時的強度概率密度函數(shù),通過實驗確定它的變化規(guī)律是易于實現(xiàn)的,從而使得該方法更適合工程應(yīng)用。

此外,由于式(6)考慮了強度退化現(xiàn)象,因此該模型更適合于機械零件在進入偶然失效期之后的分析。在早期失效期內(nèi),零件強度退化不是十分明顯,也即可以假設(shè)零件強度不退化。這時,零件可靠度隨載荷作用次數(shù)的變化規(guī)律為文獻[6]提出的數(shù)學(xué)模型：

假設(shè)載荷服從N(300,202)MPa的正態(tài)分布,零件強度也服從正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)差為20MPa,均值按照線性規(guī)律退化：

r(n)=400(1-0.000 015n)MPa

可靠度隨載荷作用次數(shù)的變化規(guī)律如圖3所示,可以看出,當(dāng)考慮強度退化時,零件可靠度下降較快。如果假設(shè)強度不退化,則過高地估計了零件可靠度。因此,使用考慮強度退化及載荷作用次數(shù)的可靠度計算模型來進行計算,可以方便地估計可靠性的變化規(guī)律,使計算結(jié)果更接近于實際情況。

圖3 可靠度隨載荷作用次數(shù)變化曲線

2 零件可靠度隨時間變化計算模型

以上分析了零件可靠度對載荷作用次數(shù)的變化規(guī)律。當(dāng)載荷出現(xiàn)次數(shù)可以用時間來描述時,還可以得到可靠度隨時間的變化規(guī)律。當(dāng)考慮零件出現(xiàn)次數(shù)的隨機性時,零件的時變可靠度分析將變得復(fù)雜,特別是當(dāng)零件承受多個載荷且載荷不同時出現(xiàn)時。本文僅考慮零件處于早期失效期時可靠度隨時間變化的規(guī)律,也即認(rèn)為零件強度不變或者變化較小。對于零件進入偶然失效期之后,考慮強度退化規(guī)律的可靠度分析模型將另文論述。如果載荷出現(xiàn)的次數(shù)滿足以下條件：

(1)當(dāng)t=0時,n(0)=0。

(2)在互不重疊的時間段內(nèi)載荷出現(xiàn)的次數(shù)相互獨立。

(3)在時刻t和足夠小的時間段Δt＞0,有

則時間t內(nèi)出現(xiàn)n次載荷的概率為

也即將載荷出現(xiàn)的次數(shù)看作是強度為λ(t)的泊松過程。

2.1 零件承受一個或者同時承受多個載荷時的可靠度分析

機械零部件除了承受正常的工作載荷外,還會受到外界環(huán)境產(chǎn)生的隨機載荷的作用,這時零件可能同時承受多個載荷。當(dāng)載荷同時出現(xiàn)時,可以進行載荷合成,計算出總載荷的概率密度函數(shù),從而計算出多個載荷共同作用時零件的可靠度,其計算方法與零件承受一個載荷時相同。如果零件承受一個隨機載荷,且將載荷出現(xiàn)的次數(shù)看作是強度為λ(t)的泊松過程,假設(shè)時間t內(nèi)載荷不作用,零件的可靠度為1,文獻[9]給出零件的可靠度計算公式：

式中,Fs(r)為載荷的分布函數(shù)。

2.2 零件承受連續(xù)載荷和沖擊載荷時的可靠度分析

以上分析了單個載荷或者多個載荷同時作用時零件可靠度隨時間的變化規(guī)律。但是,如果載荷不總是同時出現(xiàn),則不能簡單對載荷進行合成,并按照一個載荷作用下的可靠度模型進行計算,而需要根據(jù)載荷出現(xiàn)次數(shù)與時間的關(guān)系,進一步分析可靠度隨時間的變化規(guī)律。

零件在正常工作時可能會受到外界環(huán)境中一些偶然因素造成的沖擊載荷,因此穩(wěn)定載荷與沖擊載荷的疊加是比較常見的情況。當(dāng)零件承受載荷S1是平穩(wěn)載荷,S2是沖擊載荷,兩個載荷同時出現(xiàn)時的總載荷為S=S1+S2時,假設(shè)S1出現(xiàn)次數(shù)是強度為λ(t)的泊松過程,并假設(shè)單位時間內(nèi)S1的平均出現(xiàn)次數(shù)遠大于S2的平均出現(xiàn)次數(shù)。令時間t內(nèi)載荷S1出現(xiàn)的次數(shù)為n1=tf 1(f 1為S1單位時間內(nèi)出現(xiàn)的次數(shù)),S2在時間t內(nèi)出現(xiàn)的載荷次數(shù)n2服從泊松過程,則零件的可靠度計算公式為

2.3 多個載荷不同時出現(xiàn)時的可靠度分析

對于更一般的情況,當(dāng)零件承受多個載荷的作用且載荷不同時出現(xiàn)時,假設(shè)載荷出現(xiàn)次數(shù)是泊松過程。首先考慮零件承受兩個載荷的情況,載荷大小為S1、S2,總載荷為S=S1+S2。在時刻t,零件分別承受載荷S1、S2、S而不發(fā)生失效的概率為

如果S1、S2出現(xiàn)次數(shù)相互獨立,兩個泊松過程的強度分別為 λ1(t)、λ2(t),則

當(dāng)Δt→0,得到微分方程

初始條件為R(0)=1,對微分方程求解得

顯然,在求解方程式(10)的過程中會略去高階無窮小項,認(rèn)為Δt內(nèi)兩個載荷同時出現(xiàn)是小概率事件,可靠度計算結(jié)果偏高。

得到λ1(t)、λ2(t)的數(shù)值有時比較困難。為了工程應(yīng)用方便,可以使用 λ1(t)、λ2(t)的平均值來進行可靠度計算,也就是說將 λ1(t)、λ2(t)取均值并作為常數(shù)來計算。由泊松過程的性質(zhì)知,泊松強度λ=E(N(t)/t)。假設(shè)總的統(tǒng)計時間為T,將其劃分為u個時間段T 1,T2,…,Tu,即 T=T1+T2+…+Tu。在每個時間段內(nèi)分別測量w i(i=1,2,…,u)次載荷出現(xiàn)的次數(shù)Nij(i=1,2,…,u;j=1,2,…,wi),計算：

并將λ作為時間T內(nèi)泊松流強度均值的估計值,利用式(10)就可以求得零件可靠度在不同時刻的數(shù)值。

為了考慮載荷同時出現(xiàn)對可靠度的影響,特別是載荷同時出現(xiàn)的概率比較大時,假設(shè)分別只有S1、S2作用過程的強度為λS1(t)、λS2(t),S作用過程的強度為λ12(t)。于是可以得到：

當(dāng)Δt→0,得到微分方程

初始條件不變,解得

按照式(12)、式(13),得到 λS1(t)、λS2(t)、λ12(t)的平均強度為λ1、λ2、λ12,利用式(14)可以近似求解零件可靠度。當(dāng)零件承受兩個以上載荷時,可以使用同樣的方法得到可靠度隨時間的變化規(guī)律。

3 結(jié)論

傳統(tǒng)的載荷-強度干涉模型只用于分析靜態(tài)的載荷作用一次時零件的可靠度,而實際上零件往往承受載荷的多次作用,并且強度會在載荷的作用下不斷退化。算例表明,強度退化會導(dǎo)致可靠度隨著載荷作用次數(shù)的增加快速下降,因此強度不退化模型會導(dǎo)致可靠度的過高估計,考慮強度退化和載荷作用次數(shù)的可靠度計算模型能夠近似計算可靠度與載荷作用次數(shù)的關(guān)系,便于工程應(yīng)用。此外,載荷作用次數(shù)的隨機性會增加可靠度估計的難度,特別是當(dāng)零件承受多個載荷且不同載荷出現(xiàn)的次數(shù)也呈現(xiàn)出不同的統(tǒng)計特性時。因此,考慮不同載荷出現(xiàn)次數(shù)與時間的關(guān)系才可以得到可靠度與時間的關(guān)系。研究表明,當(dāng)載荷過程為泊松過程且多個載荷出現(xiàn)次數(shù)相互獨立時,可以通過求解微分方程對可靠度進行計算。但是如果載荷同時出現(xiàn)的概率較大,上述方法則會高估零件的可靠度。針對這個問題,本文提出了適合工程應(yīng)用的可靠度估計方法,較好地反映出零件可靠度隨時間的變化規(guī)律。

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