在機檢測中基于CVT結構的可展曲面采樣策略

鄭惠江 王太勇 何改云

天津大學，天津，300072

0 引言

在機檢測系統是在加工中心原功能的基礎上增加了產品質量檢測的功能，建立起無需脫離生產環(huán)境即可完成加工—檢驗—再加工的閉環(huán)制造系統。在該系統中，根據CAD模型數據，按照采樣策略進行采樣點的選擇和布局后，進行測量軌跡的規(guī)劃，是在機檢測系統實現其基本功能的重要基礎之一。

在機檢測過程是采用接觸式測頭從工件表面點集的總體中選擇若干樣本來對總體情況進行評估的一種離散采樣過程。其中，采樣點的規(guī)模直接影響到檢測過程花費的時間，離散采樣的誤差直接影響到檢測質量［1］。因此，如何選擇樣本，使其既能準確地反映總體情況，又能減少采集的數據量，從而降低生產成本［2］是在機檢測必須要考慮的重要因素之一，也是判別采樣策略好壞的重要標準。

常用的采樣方法有均勻采樣法、隨機采樣法、Hammersley序列采樣法和Halton序列采樣法等。均勻采樣法［3－5］只有當采樣數量足夠多時，才能較好地反映采樣面的情況，但所需采樣時間過長；而當采樣點數量較少時，會造成測量結果與實際結果相差很遠，不具備參考性［6－8］。隨機采樣法由于采用純粹偶然的方法從總體中選取樣本，使得測量過程標準不一［7］。隨后發(fā)展的拉丁超立方體抽樣（latin hypercube sampling，LHS）方法所獲得總均值的方差比簡單隨機抽樣的方差要?。?］。其后提出的 Hammersley序列采樣法和Halton序列采樣法可以有效地降低采樣密度，并且能保證測量精度［1－3，10］。另外，董玉德等［7］在深入分析了Halton采樣法的基礎上，針對具體的幾何體給出相應的采樣算法，并驗證了Halton序列采樣策略比隨機采樣策略具有更均勻的采樣點分布。

本文利用CVT（centroidal voronoi tessellation）結構的特性，提出了基于CVT結構的可展面采樣策略。

1 基于CVT結構的可展面采樣策略

1.1 CVT結構采樣方法

圖1 隨機Voronoi圖和CVT圖

CVT是Voronoi結構的一種特殊形式，具有很多良好的特性，在圖像壓縮、聚類分析和數值積分優(yōu)化等領域中得到廣泛應用［11－12］。CVT結構采樣法就是在在機檢測（或其他坐標檢測）的過程中，選擇適當的密度函數ρ（y），將檢測區(qū)域Ω按照上述方法進行細分后，再以為采樣點對其進行采樣。

1.2 可展面采樣策略

Hammersley序列和Halton序列特別適合矩形平面，對于如圓、圓錐等其他幾何體必須進行相應的變形才可以計算出各種幾何體的采樣點分布情況［8］。

CVT采樣方法不僅適用于矩形平面的采樣，而且對于平面采樣的形狀沒有具體的要求，適用于多種平面形狀區(qū)域的采樣（圖2）［13，15］，因此其使用范圍十分廣泛。

圖2 幾種不同平面區(qū)域中采用CVT法采樣點布局結果

根據經典微分幾何，對于給定的參數曲面S（u，v），可以定義其Gauss曲率為

當K＝0時，稱該曲面為可展曲面，可展曲面是一種特殊的直紋曲面。在飛機、船體、汽車、風力發(fā)電機葉片等重大裝備的設計和制造等工程應用中，可展曲面是一類非常重要的曲面。因此，其加工質量的檢驗及采樣點布局策略也是制造業(yè)中研究的一個重要內容。

由于可展曲面可以嚴格展開成平面，則存在映射f：R3→ R2，使 得（x，y）＝f（x′，y′，z′）成立，其中（x′，y′，z′）表示可展曲面上的任意一點坐標，（x，y）表示其展開到平面坐標系下的坐標。顯然，同時存在映射f－1：R2→ R3，使得（x′，y′，z′）＝f－1（x，y）成立。利用以上兩個映射，可采用圖3所示的采樣策略選取可展曲面的采樣點集。

圖3 可展曲面CVT采樣策略流程圖

1.3 計算實例

以圓柱面為實例，將圓柱面按圖3所示的算法過程展成平面，在該平面內按照基于CVT結構的采樣策略進行采樣點分布。這里采用直角坐標系表示圓柱面上的點坐標，則映射f和f－1由式（4）和式（5）分別來定義：

式中，（x，y，z）為圓柱表面的直角坐標；（x′，y′）為展開的平面坐標

若采樣點分布在300×300的平面上，采樣點數N 分別為16、64、169和256，使用MATLAB6.5按照上述可展曲面CVT采樣策略對計算實例進行運算，得到的圓柱面的采樣點分布結果如圖4所示。

圖4 基于CVT結構采樣策略的采樣點布局

2 采樣策略對檢測結果的影響分析

考慮到隨機過程可很好提供加工表面一階、二階以及更高階的統計量的情況，可通過構建相應的隨機過程來對不同粗糙度的加工表面進行數值模擬仿真［1，10-11］。

本文采用各向同性隨機過程來模擬加工表面：

其中，u（m，n）～N（0，1），該表面又可稱為高斯表面［10］，其數值模擬實例如圖5所示。

圖5 高斯表面實例

分別采用Hammersley序列采樣法、Halton序列采樣法和基于CVT結構的采樣方法進行采樣，對采樣點的分布進行對比。采樣點同樣分布在300×300的平面上，采樣點數N仍分別為16、64、169和256，各種采樣點的分布結果如圖6～圖9所示。然后分別計算不同采樣點數下各種采樣方法采樣點的采樣誤差均值和標準偏差值，3種采樣方法對檢測結果影響的具體情況如表1所示。

圖6 不同采樣方法16個采樣點布局比較

圖7 不同采樣方法64個采樣點布局比較

圖8 不同采樣方法169個采樣點布局比較

圖9 不同采樣方法256個采樣點布局比較

表1 不同采樣方法的采樣點誤差均值與標準偏差值

從表1的數據中可以看出，在不同的采樣點數目下，CVT采樣方法的采樣點誤差的值均小于Hammersley序列采樣法和Halton序列采樣法，其總體的平均值比其他兩種采樣方法分別小約19.3%和28.5%，其總體的標準偏差值也分別降低約67.1%和78.9%，表明其采樣過程中的采樣結果穩(wěn)定性更好。另外，CVT采樣方法整體采樣結果＾μr值的標準偏差比其他兩種采樣方法分別降低了約86%和83.1%。說明在加工表面存在粗糙度的采樣過程中，CVT采樣方法表現出更為準確的采樣精度和更為穩(wěn)定的采樣結果。因此，在同樣采樣精度的要求下，CVT采樣方法可以有效降低采樣點的數量，從而有效提高采樣效率。

3 采樣策略對采樣點分布均勻性的影響分析

文獻［7］和文獻［11］提出用采樣點在采樣面上的分布均勻性來評價采樣策略的優(yōu)劣。而采樣點均勻性可以從三個方面來描述：①在采樣空間中，采樣點與其他采樣點是否相近；②采樣點的密度均勻性是否能夠覆蓋整個采樣空間；③采樣點布局是否具有各向同性。為此分別定義變量dis和dev來考察Hammersley序列采樣法、Halton序列采樣法和基于CVT結構的采樣方法的采樣點分布的均勻性情況。

可以給出如下兩個定義：

表2 不同采樣方法的采樣點分布均勻度比較

從圖6～圖9中可直觀看出，CVT采樣方法相對于Hammersley序列采樣法和Halton序列采樣法有著較為均勻的采樣點分布。而且，隨著采樣點數的增加，CVT采樣法的采樣點分布均勻性更好。表2的數據中也很好地證明了這一點，在4種不同采樣點數下，CVT采樣法的dis值均大于其他兩種采樣方法dis值，其平均值分別比Hammersley序列采樣法和Halton序列采樣法高出近52%和21%；同時，在相同采樣點數下，CVT采樣法的采樣點間最小距離的標準偏差值dev比其他兩種采樣方法都小，平均要小35.53%，其中最大值為62.44%，表明CVT算法可以較大幅度地提高采樣點的分布均勻性。

4 結束語

本文討論了在機檢測測量過程中的采樣問題，對常用的采樣方法和策略進行了分析，給出了基于CVT結構的采樣方法。利用可展曲面的空間坐標映射關系，提出了基于CVT結構的可展曲面采樣取點策略。將各種采樣策略的采樣結果進行了對比，對比結果表明基于CVT結構的采樣策略比其他采樣方法具有更好的穩(wěn)定性、均勻性和更準確的采樣精度。該方法同樣可應用于各種可展曲面的采樣過程中。

［1］ Woo T C，Liang R，Hsieh C C，et al.Efficient Sampling for Surface Measurements［J］.Journal of Manufacturing Systems，1995，14（5）：345－354.

［2］ Lee G，Mou J，Shen Y.Sampling Strategy Design for Dimensional Measurement of Geometric Features U－sing Coordinate Measuring Machine［J］.International Journal of Machine Tools ＆ Manufacture，1997，37（7）：917－934.

［3］ Kim W S，Raman S.On the Selection of Flatness Measurement Points in Coordinate Measuring Machine Inspection［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacture，2000，40（3）：427－443.

［4］ Saito K，Miyoshi T，Yoshikawa H.Noncontact 3－D Digitizing and Machining System for Free－form Surface［J］.Annals of the CIRP，1991，40（1）：483－486.

［5］ Smith K B，Zheng Y F.Multi－laser Displacement Sensor Used in Accurate Digitizing Technique［J］.Transactions of the ASME，Journal of Engineering for Industry，1990，16（11）：482－490.

［6］ Raghunandan R，Venkateswara Rao P.Selection of an Optimum Sample Size for Flatness Error Estimation while Using Coordinate Measuring Machine［J］.International Journal of Machine Tools ＆ Manufacture，2007，47（3）：477－482.

［7］ 董玉德，汪玉璽，劉達新，等.三角平面Halton點采樣策略及其性能分析［J］.計算機輔助設計與圖形學學報，2007，19（8）：1063－1068.

［8］ Raghunandan R，Venkateswara Rao P.Selection of Sampling Points For Accurate Evaluation of Flatness Error Using Coordinate Measuring Machine［J］.Journal of Materials Processing Technology，2008，202（1／3）：240－245.

［9］ 方開泰.均勻試驗設計的理論、方法和應用——歷史回顧［J］.數理統計與管理，2004，23（3）：69－80.

［10］ Woo T C，Liang R.Dimensional Measurement of Surfaces and Their Sampling［J］.Computer－aided Design，1993，25（4）：233－239.

［11］ Romero V J，Burkardt J S，Gunzburger M D，et al.Initial Evaluation of Centroidal Voronoi Tessellation Method for Statistical Sampling and Function Integration［C］／／The 4th International Symposium on Uncertainty Modeling and Analysis（ISUMA’03）.Washington DC：IEEE Computer Society，2003：174－191.

［12］ Romero V J，Burkardt J S，Gunzburger M D，et al.Initial Application and Evaluation of a Promising New Sampling Method for Response Surface Generation：Centroidal Voronoi Tessellation［C］／／AIAA／ASME／ASCE／AHS／ASC. The 44th Structures，Structural Dynamics，and Materials Conference（5th AIAA Non－Deterministic Approaches Forum）.VA：American Inst.Aeronautics and Astronautics Inc.，2003：5527－5542.

［13］ Qiang Du，Gunzburger M，Ju Lili.Meshfree，Probabilistic Determination of Point Sets and Support Regions for Meshless Computing［J］.Comput.Meth.Appl.Mech.Engrg.，2002，191（13／14）：1349－1366.

［14］ Qiang Du，Faber V，Gunzburger M.Centroidal Voronoi Tessellation：Applications and Algorithms［J］.SIAM Review，1999，41（4）：637－676.

［15］ Ju Lili.Probabilistic and Parallel Algorithms for Centroidal Voronoi Tessellations with Application to Meshless Computing and Numerical Analysis［D］.Iowa：Iowa State University，2002.