基于鞍點(diǎn)逼近的陶瓷刀具磨損壽命可靠性分析

金雅娟 張義民 張艷林

東北大學(xué),沈陽(yáng),110004

0 引言

金屬切削過(guò)程中,刀具在切除金屬的同時(shí),其本身也逐漸被磨損,當(dāng)磨損發(fā)展到一定程度時(shí),刀具便會(huì)失去切削能力。因此,對(duì)金屬切削過(guò)程的摩擦、磨損進(jìn)行研究,具有重要的經(jīng)濟(jì)意義[1-3]。金屬切削刀具的可靠性是指刀具在規(guī)定的切削條件下和規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成規(guī)定的切削工作的能力[4],該項(xiàng)性能直接影響生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)品的質(zhì)量、工作效率及整個(gè)系統(tǒng)功能的正常發(fā)揮,因而是衡量切削刀具性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)之一,具有重大的研究意義。樊寧等[5]提出了利用 Monte-Carlo方法同切削實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法計(jì)算Al2 O3基陶瓷刀具磨損壽命的經(jīng)典可靠度與模糊可靠度。許崇海等[6]基于模糊數(shù)學(xué)和可靠性數(shù)學(xué)的基本理論,闡述了刀具模糊可靠性的基本概念和評(píng)價(jià)方法,建立了陶瓷刀具模糊可靠性與刀具材料力學(xué)性能的關(guān)系。

鞍點(diǎn)逼近是作漸近分析的一個(gè)非常有用的工具,最早起源于復(fù)變函數(shù),由Daniels[7]于1954年首先提出。它的一個(gè)很大的特點(diǎn)就是在小樣本情況下,逼近效果依然很精確。鞍點(diǎn)逼近理論的重要性已體現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的各個(gè)方面[8-10]。文獻(xiàn)[11-12]應(yīng)用鞍點(diǎn)逼近技術(shù)在概率不確定性方面作了大量的研究。本文將鞍點(diǎn)逼近理論應(yīng)用在陶瓷刀具磨損壽命可靠性分析中。

1 鞍點(diǎn)逼近理論

設(shè)X為隨機(jī)變量,X為隨機(jī)變量向量,fX(x)表示隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù),MX(t)表示隨機(jī)變量X的矩母函數(shù),則有

那么隨機(jī)變量X的累積母函數(shù)(CGF)可由下式表示[11]：

隨機(jī)變量X的累積母函數(shù)有如下兩個(gè)性質(zhì)[11]：

(1)假設(shè)X1,X 2,…,X n為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,并且用KXi(t)(i=1,2,…,n)表示它們的累積母函數(shù),那么的累積母函數(shù)可由下式表示：

(2)假設(shè)隨機(jī)變量 X的累積母函數(shù)為K X(t),那么Y=aX+b的累積母函數(shù)表示為

式中,a、b為常數(shù)。

極限狀態(tài)方程Y=g(X)的概率密度函數(shù)(PDF)可以通過(guò)下式求得[7]：

式中,KY(?)為Y=g(X)的累積母函數(shù);K″Y(?)為Y=g(X)的累積母函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù);ts為鞍點(diǎn),ts的值為K′Y(t)=y 的解。

Lugannani等[13]給出了計(jì)算Y=g(X)累積分布函數(shù)(CDF)的精確公式：

式中,Φ(?)、φ(?)分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。

2 陶瓷刀具磨損壽命可靠性分析

2.1 陶瓷刀具磨損壽命

陶瓷刀具的磨損機(jī)理主要有磨粒磨損、黏結(jié)磨損、化學(xué)反應(yīng)與擴(kuò)散磨損、氧化磨損等。對(duì)于Al2O3基陶瓷,由于其化學(xué)穩(wěn)定性好,摩擦因數(shù)小,所以在幾種磨損機(jī)理中,化學(xué)反應(yīng)與擴(kuò)散磨損的影響較小,可不考慮;黏結(jié)磨損和氧化磨損分別涉及由磨損副材料組合所決定的活化能以及材料的氧化活化能,由于活化能只是材料力學(xué)性能的隱函數(shù),故在本文中這兩種磨損機(jī)理不予考慮;而對(duì)于磨粒磨損,由于其磨損機(jī)理簡(jiǎn)單,磨損形貌清晰且較易測(cè)量,在切削用量較小的情況下,磨粒磨損所占的比例較大,因而可用磨粒磨損來(lái)衡量陶瓷刀具磨損性能的優(yōu)劣[5]。對(duì)于磨粒磨損,材料的斷裂韌度和硬度對(duì)材料的耐磨性有很大的影響,Evans等[14]和 Wayne等[15]證明,其磨損率w s為

式中,KIC為斷裂韌度;H為硬度;C為與摩擦條件有關(guān)的系數(shù),由于本文主要研究不同組分系的Al2O3基復(fù)相陶瓷刀具的磨損壽命問(wèn)題,而暫不考慮工件材料對(duì)刀具磨損的影響,所以在本文中C作為常數(shù)。

確定了磨鈍標(biāo)準(zhǔn)M即可確定磨損體積V,根據(jù)式(10),刀具的磨損壽命N為[5]

其中,C1為與切削過(guò)程有關(guān)的常數(shù),不考慮工件材料的影響,對(duì)于不同的Al2O3基陶瓷刀具材料,只要切削過(guò)程所使用的各工藝參數(shù)一致,則C1保持不變。

2.2 基本隨機(jī)參數(shù)均值與標(biāo)準(zhǔn)差的確定

以某種Al2O3基復(fù)相陶瓷刀具為例進(jìn)行說(shuō)明。許崇海等[16]已分別測(cè)得某種Al2O3基復(fù)相陶瓷刀具斷裂韌度和硬度的若干試驗(yàn)值,并利用回歸方法求得了兩項(xiàng)力學(xué)性能的概率分布函數(shù)分別為三參數(shù)的Weibull分布函數(shù)：

三參數(shù)Weibull分布的均值和方差分別為[17]

則由式(14)、式(15)可分別計(jì)算出斷裂韌度K IC和硬度H的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

當(dāng)極限狀態(tài)方程中含有非正態(tài)變量時(shí),可以用一個(gè)與原函數(shù)等效的正態(tài)分布代替,所選用的這個(gè)正態(tài)分布與原函數(shù)的等效條件是：在任一設(shè)計(jì)點(diǎn)處應(yīng)滿足分布函數(shù)值相等和概率密度函數(shù)值相等[17]。

設(shè)與原函數(shù)等效的正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ′Xi和σ′Xi,則[17]

式中,fXi(?)、FXi(?)分別為原函數(shù)的概率密度函數(shù)及分布函數(shù);φXi(?)、Ψ(?)分別為與原函數(shù)等效的正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)。

所以

根據(jù)式(20)及式(21)可求得等效正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為

一般采用迭代法計(jì)算等效正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,迭代數(shù)次即可收斂。

2.3 刀具磨損壽命可靠性分析模型

刀具的磨損壽命只反映刀具個(gè)體性能的優(yōu)劣,不能反映刀具的可靠性問(wèn)題,因此不能有效地應(yīng)用于實(shí)際。刀具可靠性通常指刀具在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)、在規(guī)定的條件下,完成規(guī)定的切削工作的能力[4]。要計(jì)算刀具的磨損壽命可靠性,首先必須確定一定的標(biāo)準(zhǔn),這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)稱為壽命閾值,通常壽命閾值是給定的。假定在一定的切削條件下,得到某種刀具的平均磨損壽命值 N1,在本文中,將平均磨損壽命 N1作為該種切削條件下的判斷標(biāo)準(zhǔn)[18]。可靠性分析計(jì)算的任務(wù)就是求出刀具的壽命大于壽命閾值N1的概率,或者,給出一定的概率(可靠性要求),求解壽命閾值N 1,即

式中,R為可靠度;f(x)為磨損壽命的概率密度函數(shù);g(X)為狀態(tài)函數(shù),可表示系統(tǒng)的兩種狀態(tài)。

為了簡(jiǎn)化求解過(guò)程,將狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為如下形式：

為了求出狀態(tài)函數(shù)的累積母函數(shù),首先將其作線性化處理,根據(jù)泰勒公式,在隨機(jī)變量的均值處將g(X)線性展開(kāi),并取展開(kāi)公式的前兩項(xiàng),則

根據(jù)上述隨機(jī)變量X的兩個(gè)性質(zhì),以及經(jīng)過(guò)泰勒展開(kāi)線性化的狀態(tài)函數(shù)g(X),狀態(tài)函數(shù)式

(25)的累積母函數(shù)可由下式表示：

3 數(shù)值算例

根據(jù)許崇海等[19]利用回歸方法求得的某種Al2O3基復(fù)相陶瓷刀具斷裂韌度和硬度兩項(xiàng)力學(xué)性能的三參數(shù)Weibull分布函數(shù),利用本文提到的三參數(shù)Weibull分布均值和方差的求解方法得到斷裂韌度K IC、硬度H的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為(μKIC,σKIC)=(6.03,0.3838),(μH,σH)=(92.326,0.4767),利用等效正態(tài)分布法,經(jīng)過(guò)三次迭代運(yùn)算,得到等效正態(tài)分布的斷裂韌度K IC和硬度 H 的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為(μ′KIC,σ′KIC)=(6.3129,0.3377)和 (μ′H, μ′H)=(92.1852,0.2402)。根據(jù)樊寧等[5]提供的數(shù)據(jù),取對(duì)數(shù)平均磨損壽命ln N1的平均值7.275為磨損壽命閾值,取ln C1為3.623。利用本文提出的鞍點(diǎn)逼近理論分析了陶瓷刀具的磨損壽命可靠性,并與用Monte-Carlo方法得到的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,結(jié)果如圖1、圖2所示。

圖1 概率密度函數(shù)比較曲線

在Monte-Carlo仿真計(jì)算中,根據(jù)文獻(xiàn)[5]提供的資料,隨機(jī)生成了20 000組斷裂韌度K IC、硬度 H樣本值,求得了 g(X)=N-N 1=C1K3/4ICH1/2-N1＞0時(shí)的概率。由圖1、圖2可以看出,由鞍點(diǎn)逼近法求得的Al2O3基陶瓷刀具的磨損壽命的狀態(tài)函數(shù)的概率密度函數(shù)曲線和累積分布函數(shù)曲線與用Monte-Carlo方法求得的結(jié)果基本上一致,并且尾部擬合較好,誤差很小,可靠性分析結(jié)果基本上一致。

圖2 累積分布函數(shù)比較曲線

4 結(jié)論

(1)利用等效正態(tài)分布法將服從Weibull分布的斷裂韌度K IC和硬度 H等效正態(tài)化,進(jìn)而應(yīng)用鞍點(diǎn)逼近技術(shù)分析了Al2O3基陶瓷刀具的磨損壽命可靠性。

(2)應(yīng)用鞍點(diǎn)逼近理論分析刀具的磨損壽命可靠性,得到狀態(tài)函數(shù)的累積分布函數(shù)的同時(shí),在沒(méi)有進(jìn)行累積分布函數(shù)求導(dǎo)的情況下,得到了狀態(tài)函數(shù)的概率密度函數(shù)曲線。

(3)由于鞍點(diǎn)逼近理論不僅應(yīng)用了隨機(jī)參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,并且將狀態(tài)函數(shù)的完整信息也應(yīng)用到了刀具磨損壽命可靠性分析中,所以得到了精度頗高的隨機(jī)響應(yīng)的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù),這一點(diǎn)也通過(guò)與Monte-Carlo數(shù)值分析方法對(duì)比得到了驗(yàn)證。

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